浅谈“鸡兔同笼”问题的解决策略
2021-10-14曾家国
曾家国
◆摘 要:源于《九章算术》的鸡兔同笼问题,可谓家喻户晓。在新课程推进的今天,鸡兔同笼问题出现在数学教科书“解决问题的策略”这一章节,使解法条理化、系统化,更易于学生接受、理解和应用。
◆关键词:鸡兔同笼;解决问题;策略
鸡兔同笼问题是我国古代著名趣题之一,出自《孙子算经》。原题为:今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?鸡兔同笼问题可以被赞誉为数学思维的“体操”,帮助学生主动构建起解题的数学模型,有利于学生数学能力的培养。孔子曰:举一隅不以三隅反,则不复也。鸡兔同笼是典型而有趣的数学问题,曾经是仅作为课外拓展内容,现在已经作为小学生必须掌握的知识,进入小学数学教材,并且在小学低、中、高各年段都会遇到此类问题。从解决的角度而言,可以有一系列的方法,比如画图法、列表法、假设法方程法以及抬腿法等。鸡兔同笼问题,也蕴含着丰富的数学思想方法,比如划归的思想,枚举的思想,数形结合的思想,假设的思想,方程的思想以及建模的思想等。在我们的教学实践中,教师的不同定位就带来了不同教学设计的可能性,定位于不同的解题方法不是随意的,而应该将解法的难度与学生的认知水平结合起来考虑。
一、小学低段学生如何解决鸡兔同笼问题
在小学阶段,低段(一二年级)的孩子活泼天真,他们对于数学学习尚处于启蒙阶段。我们需要做的,不是教会学生解决问题的策略、解决问题的技巧,而是要如何激发他们学习数學的兴趣,以此保护他们的求知欲,让其感受数学的趣味性,让他们感知数学不是枯燥的,而是非常好玩的。这才是低段教学“鸡兔同笼”问题的侧重点。教学时,我们可以这样做:把那道经典题的数字“小”化:已知共有鸡和兔10只,共有28只脚,问鸡和兔各有几只?教学中,我们首先可以用故事的形式引人,再引领学生找出题目中隐含的条件(兔子有4条腿,鸡有2条腿)。然后启发学生;利用画图的方式来表达自己的想法,可以提示学生用Ο和[ΙΙ]分别表示头和腿,让其感受数形结合的数学思想。先画10个头,鸡免最少也有2条腿,就先给每个头画两只脚,共20条,还剩8条,再每个头加2条,可以加4个头,画完后,再让学生数一数:4条腿的是兔,2条腿的是鸡,各有多少,便一目了然。
除此之外,我们也可向学生介绍古人发明的抬腿法:假设鸡和兔训练有素,吹一声哨,抬起一条腿,剩下28-10=18条腿。再吹哨,又抬起一条,还剩18-10=8条,这时鸡都一屁股坐地上了,兔子还两只脚立着。所以,兔子有8+2=4只,鸡有10- 4=6只。让学生参与到真正的实践操作中,体会数学真是有趣好玩!
二、小学中段学生如何解决鸡兔同笼问题
到中段后(三四年级),学生对数学知识已经有了一定的积累和了解,在学习方法上也增加了更多接受的可能性。对他们而言,能够用自己的方式挑战一个难题,其成功的自豪感将无以言表。所以,让这一阶段的学生在自主学习的过程中对列表法进行学习和优化,应是我们该重点关注的。此时,我们可以直接用《孙子算经》的原题引入:今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?甚至还可以把数字变大,让学生自行探鸡索,为什么要将数字变大呢?数字的大化可以迫使他们去寻找新的方法、规律,去化繁为简,化难为易。在已有画图方法的基础感受在数字大的情况画图方法的不适用。于是出现列表枚举。下面我将以上面小化过的例题为例。
在此方法中,学生会感受到它的繁琐,但在这里使用列表法的重点还在于发现其规律(每增加一只鸡就减少一只兔,腿也就减少2条),由此他们可以将逐一优化为跳跃列表法或取中列表法。让学生在实践操作的过程中先进行有序思考,完整列表,再进行表格优化,从而理解优化表格的作用和意义,实现跳跃性思考。在此过程中充分感受数学逻辑的严密性和推理性。在使用列表法时,我们不仅仅只停留在找出答案即止,要懂得回顾兔增加鸡减少及腿数的变化规律,即发现增加1只鸡就减少2条腿,那要减少多少条腿才是28条呢?40-28=12(条),而12条腿则需要增加多少只鸡呢?12÷2=6(只),所以鸡有6只。这不这是假设法吗?反之,我们从表格右边往左边看,则相当于先假设全是鸡,有10×2=20条腿,每增加1只兔就增加2条腿,总共需要增加28 -20=8条腿,8÷2=4(只),所以兔有4只。学生在使用列表法可能会显得繁琐,但它却是假设法的过渡,学生能在枚举与假设中充分感受到数形结合的形象性、便捷性,感受数学的魅力和趣味。
三、小学高段学生如何解决鸡兔同笼问题
高段(五六年级)的学生在数学学习上已经接触了不少的数学模型和数学思想。鸡兔同笼的知识对他们来说已经不再陌生和新奇。这时在让学生用画图法和假设法解题后,可以要求学生用方程进行解题。根据“鸡+兔=10只”和“鸡腿数+兔腿数=28条”两个数量关系,于是可以列出如下方程:
解:设鸡有X只,免有(10-X)只。
2X+4(10-X)=28
在高段学生的教学中,我们需要做的不再是针对一道两道题的具体讲解,而是应帮助学生进行梳理和总结,归纳画图法,列表法,假设法,方程法以及抬腿法之间的内在联系,让学生建立起鸡兔同笼问题的数学模型,并在利用模型解决同类问题的过程中得到新的启示和收获,学会用数学的思维解决生活遇到的问题,真正达到学以致用的目的。
看似复杂的题目解答起来却是如此地巧妙,这就是神奇的数学。叶圣陶曾说:“教师之主导作用,益在于善于引导启迪,俾学生自奋其力,自致其知,非为教师之滔滔讲说,学生默默聆听。”“学无定法”,教师在教学中应该关注于对学生的学习方法的考量,让学生自己去探寻数学知识间的联系才是教学之道。解决数学问题有时并没有固定的解题模式可以套用,唯有切实培养学生的数学能力,能够将已学的数学知识“举一反三”甚至于“举一反百”,做到数学知识之间的融会贯通,活学活用,这才是学之道的真谛。
参考文献
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[2]秦和平,肖定堂.“鸡兔同笼”问题中的思想方法及其渗透策略[J].湖北教育,2009(11).
[3]熊明.在实数教学中渗透极限思想[J].课程教育研究(中),2012(6).