EQ-代数中的两类L-模糊前滤子及其性质

2021-10-13刘梦柯左卫兵

兰州文理学院学报(自然科学版) 2021年5期

刘梦柯,左卫兵

(华北水利水电大学数学与统计学院,河南郑州 450046)

0 引言

为了研究模糊型理论中真值构成的代数系统和解决逻辑证明中的若干问题, 文献[1]提出了EQ-代数的概念. EQ-代数是剩余格的推广形式, 众多学者从不同角度对EQ-代数进行了研究, 得到了许多重要成果[2-7]. (前)滤子概念在EQ-代数中起着重要作用. 文献[8]在EQ-代数中提出蕴涵前滤子和正蕴涵前滤子的概念; 基于模糊集思想, 文献[9]在EQ-代数中提出了模糊前滤子和素模糊前滤子的概念; 文献[10]提出了模糊蕴涵(前)滤子和模糊正蕴涵(前)滤子, 并讨论了它们之间的关系; 文献[11]基于L-模糊子集, 在EQ-代数中提出了L-模糊滤子的概念, 得到了L-模糊滤子的等价刻画, 并讨论了L-模糊滤子与EQ-同态和EQ-同余的关系.

本文受上述文献的启发, 延续上述工作, 提出EQ-代数上的L-模糊正蕴涵前滤子和L-模糊蕴涵前滤子的概念,得到了二者的一些等价刻画, 并研究了他们之间的关系, 丰富了L-模糊滤子理论.

1 预备知识

定义1[1]一个(2,2,2,0)型代数ε=〈E,∧,⊗,～,1〉，其中∀x,y,z,s∈E满足:

(1)〈E,∧,1〉是一个交换幂等幺半群(即有最大元1的∧半格);

(2)〈E,⊗,1〉是一个交换幺半群,其中⊗是保序的(x≤y当且仅当x∧y=x);

(3)x～x=1；

(4)((x∧y)～z)⊗(s～x)≤(z～(s∧y))；

(5)(x～y)⊗(z～s)≤(x～z)～(y～s)；

(6)(x∧y∧z)～x≤(x∧y)～x；

(7)(x∧y)～x≤(x∧y∧z)～(x∧z)；

(8)x⊗y≤x～y.

则ε称是一个EQ-代数.

定理1[8]ε是一个EQ-代数,∀x,y,z∈E,有下列性质成立:

(1)x～y=y～x,x～y≤x→y;

(2)x≤1～x=1→x≤y→x;

(3)(x～y)⊗(y～z)≤(x～z);

(4)(x→y)≤(y→z)→(x→z);

(5)(x→y)≤(z→x)→(z→y);

(6)(x→y)≤(x∧z)→(y∧z);

(7)如果x≤y,则z→x≤z→y,y→z≤x→z；

(8)x⊗y≤x∧y≤x,y.

定义2[10]若ε=〈E,∧,⊗,～,1〉是一个EQ-代数,μ是E上的模糊子集,如果μ满足下列条件:对∀x,y,z∈E,有

(L1)μ(1)≥μ(x);

(L2)μ(y)≥μ(x)∧μ(x→y)，

则称μ是ε的模糊前滤子.

如果它同时满足:

(L3)μ((x⊗y)→(y⊗z))≥μ(x→y),

则称μ为模糊滤子.

定义3[10]模糊前滤子μ如果满足:

(PL1)对∀x,y,z∈E,有

μ(x→z)≥μ(x→(y→z))∧μ(x→y),

称μ为模糊正蕴涵前滤子.

如果它同时满足(L3)，那么μ叫做模糊正蕴涵滤子.

定义4[10]若ε=〈E,∧,⊗,～,1〉是一个EQ-代数,μ是E上的模糊子集,如果μ满足下列条件:对∀x,y,z∈E，有

(IL1)μ(1)≥μ(x);

(IL2)μ(x)≥μ(z→((x→y)→x))∧μ(z),

称μ为模糊蕴涵前滤子.

如果它同时满足(L3),那么μ叫做蕴涵滤子.

若μ:E→L是一个映射,μ叫做E的L-模糊子集.在无特别说明的情况下,文中的L均指完备剩余格(L,∧,∨,⊗,→,0,1).

定义5[11]设ε=〈E,∧,⊗,～,1〉是一个EQ-代数,μ是E上的L-模糊子集,如果μ满足下列条件:对∀x,y,z∈E,有

(1)μ(1)≥μ(x);

(2)μ(y)≥μ(x)∧μ(x→y)，

则称μ是ε的L-模糊前滤子.

如果它同时满足:

(3)μ((x⊗y)→(y⊗z))≥μ(x→y),

称μ是ε上的L-模糊滤子.

可见L-模糊滤子是在定义2的基础上将模糊子集的隶属值由[0,1]推广到一般的完备剩余格L所得.

2 L-模糊正蕴涵前滤子

定义6设ε=〈E,∧,⊗,～,1〉是一个EQ-代数,μ是E上的L-模糊子集,如果μ满足下列条件:对∀x,y,z∈E，有

(F1)μ(1)≥μ(x);

(F2)μ(y)≥μ(x)∧μ(x→y);

(F3)μ(x→z)≥μ(x→(y→z))∧μ(x→y),

称μ是ε上的L-模糊正蕴涵前滤子.

如果它同时满足:

(F4)μ((x⊗y)→(y⊗z))≥μ(x→y)，

则称μ是L-模糊正蕴涵滤子.

显然,L-模糊正蕴涵前滤子是L-模糊前滤子.

注L-模糊正蕴涵(前)滤子与定义3的形式类似,但此定义如定义5是将模糊子集的隶属值由[0,1]推广到一般的完备剩余格L所得.

例1设ε=({0,a,b,c,1},∧,⊗,～,1),其中0≤a,b≤c≤1,运算“⊗”,“～”及“→”定义如下.

0abc1000000a0a0aab00bbbc0abcc10abc1

～0abc101ba00ab11aaba11bbc0ab1c10abc1

→0abc1011111ab1b11baa111c0ab1110abc1

则ε是一个EQ-代数[11].

定义映射μ:E→L,L={0,m,n,q,1}是一个完备剩余格,其中0≤m,n≤q≤1,μ(0)=μ(a)=μ(b)=μ(c)=m,μ(1)=q.验证可知,μ是ε中的一个L-模糊正蕴涵前滤子.

对∀λ∈L,定义μλ={x∈E|μ(x)≥λ},称μλ为μ的一个λ-截集.

定理2μ是EQ-代数E上的一个L-模糊正蕴涵前滤子的充要条件是:对∀λ∈L,若μλ≠∅,则μλ是E的正蕴涵前滤子.

证明必要性:若μλ≠∅,则∃x0∈E使得μ(x0)≥λ,所以μ(1)≥μ(x0)≥λ,即1∈μλ.

若x,x→y∈μλ,则μ(x),μ(x→y)≥λ,又因μ是EQ-代数E上的一个L-模糊正蕴涵前滤子,则μ(y)≥μ(x)∧μ(x→y)≥λ,所以y∈μλ.

若x→(y→z),x→y∈μλ,则μ(x→(y→z)),μ(x→y)≥λ.进一步有μ(x→z)≥μ(x→(y→z))∧μ(x→z)≥λ,所以x→z∈μλ.故μλ是正蕴涵前滤子.

充分性:对∀x∈E,令λ1=μ(x),因为μλ是正蕴涵前滤子,所以1∈μλ1,因此μ(1)≥λ1=μ(x);对∀x,y,z∈E,令λ2=μ(x)∧μ(x→y),则有μ(x),μ(x→y)≥λ2,所以x∈μλ2,x→y∈μλ2.同样地,因为μλ是正蕴涵前滤子,有y∈μλ2,则μ(y)≥λ2=μ(x)∧μ(x→y);对∀x,y,z∈E,令λ3=μ(x→(y→z))∧μ(x→y),则有μ(x→(y→z)),μ(x→y)≥λ3,故x→(y→z)∈μλ3,x→y∈μλ3,又因为μλ是正蕴涵前滤子,所以x→z∈μλ3,则μ(x→z)≥λ3=μ(x→(y→z))∧μ(x→y),所以μ是L-模糊正蕴涵前滤子.

定理3如果μ是EQ-代数上的L-模糊正蕴涵前滤子,那么对于∀x,y,z∈E，下列式子成立:

(1)x≤y⟹μ(x)≤μ(y);

(2)μ(x→y)∧μ(y→z)≤μ(x→z).

证明(1)由x≤y,得x→y=1,从而μ(x)≤μ(1)=μ(x→y),所以μ(x)=μ(x)∧μ(x→y)≤μ(y).

(2)由x→y≤(y→z)→(x→z),得μ(x→y)≤μ((y→z)→(x→z)),所以μ(x→y)∧μ(y→z)≤μ(y→z)∧μ((y→z)→(x→z))≤μ(x→z).

定理4设μ是E上的L-模糊前滤子,则μ是L-模糊正蕴涵前滤子,当且仅当∀x,y,z∈E,μ(x∧(x→y)→y)=μ(1).

证明由x∧(x→y)≤x→y,x∧(x→y)≤x可得:x∧(x→y)→(x→y)=1,x∧(x→y)→x=1,所以μ(x∧(x→y)→(x→y))=μ(1),μ(x∧(x→y)→x)=μ(1),故μ(1)=μ(x∧(x→y)→(x→y))∧μ(x∧(x→y)→x)≤μ(x∧(x→y)→y),所以μ(x∧(x→y)→y)=μ(1).

反之只需证(F3).由定理1(6)可得:x→(y→z)≤(x∧y)→y∧(y→z),x→y≤x→(x∧y),所以μ(x→(y→z))≤μ(x∧y→y∧(y→z)),故:μ(x→(y→z))∧μ(x→y)≤μ(x∧y→y∧(y→z))∧μ(x→x∧y)≤μ(x→y∧(y→z)).因为μ(y∧(y→z)→z)=μ(1),故μ(x→(y→z))∧μ(x→y)≤μ(x→y∧(y→z))∧μ(y∧(y→z)→z)≤μ(x→z).因此μ是L-模糊正蕴涵前滤子.

推论1若μ是E中的L-模糊正蕴涵前滤子,则μ(x⊗(x→y)→y)=μ(1).

证明因为μ是E中的L-模糊正蕴涵前滤子,由定理4可知μ(x∧(x→y)→y)=μ(1),又因x⊗(x→y)≤x∧(x→y),所以由定理1(7)可得x∧(x→y)→y≤x⊗(x→y)→y,因此μ(1)=μ(x∧(x→y)→y)≤μ(x⊗(x→y)→y),所以μ(x⊗(x→y)→y)=μ(1).

定理5设μ是E上的L-模糊前滤子,则μ是L-模糊正蕴涵前滤子当且仅当μ(x→(x→y))≤μ(x→y).

证明已知x→x=1,则有μ(x→x)=μ(1),所以μ(x→(x→y))=μ(x→(x→y))∧μ(x→x)≤μ(x→y).

反之只需证(F3).由定理1(7)可得x→(y→z)≤((y→z)→(x→z))→(x→(x→z)),x→y≤(y→z)→(x→z)，因此,μ(x→(y→z))≤μ(((y→z)→(x→z))→(x→(x→z))),μ(x→y)≤μ((y→z)→(x→z)).又因μ是L-模糊前滤子,所以μ(x→(y→z))∧μ(x→y)≤μ(((y→z)→(x→z))→(x→(x→z)))∧μ((y→z)→(x→z))≤μ(x→(x→z))≤μ(x→z).故μ是L-模糊正蕴涵前滤子.

推论2μ是E中的L-模糊正蕴涵前滤子,则μ(x～(x→y))≤μ(x→y).

文献[10]引入了弱交换性,将其推广到L-模糊子集中,得到如下定义.

定义7如果μ是E中的L-模糊前滤子,若它满足对于∀x,y,z∈E,有μ(x→(y→z))=μ(y→(x→z))成立,则称μ具有弱交换性.

定理6设μ是E上满足弱交换性的L-模糊前滤子,则μ是L-模糊正蕴涵前滤子当且仅当μ(x→(y→z))≤μ((x→y)→(x→z)).

证明由定理1(7)得(x→y)→y≤(y→z)→((x→y)→z),则μ((x→y)→y)≤μ((y→z)→((x→y)→z)).已知μ((x→y)→(x→y))=μ(1),由弱交换性得μ(x→((x→y)→y))=μ(1).再由定理1(7)及(x→y)→y≤(y→z)→((x→y)→z)可得x→((x→y)→y)≤x→((y→z)→((x→y)→z)),所以μ(1)=μ(x→((x→y)→y))≤μ(x→((y→z)→((x→y)→z))),故μ(x→((y→z)→((x→y)→z)))=μ(1),又因为μ是L-模糊正蕴涵前滤子,由(F3)可知:μ(x→(y→z))=μ(x→(y→z))∧μ(x→((y→z)→((x→y)→z)))≤μ(x→((x→y)→z)),由弱交换性得μ(x→((x→y)→z))≤μ((x→y)→(x→z)),所以μ(x→(y→z))≤μ((x→y)→(x→z)).

反之，由μ(x→(y→z))≤μ((x→y)→(x→z))且μ是L-模糊前滤子得μ(x→(y→z))∧μ(x→y)≤μ((x→y)→(x→z))∧μ(x→y)≤μ(x→z),即(F3),所以μ是L-模糊正蕴涵前滤子.

定理7如果μ和ν是两个L-模糊前滤子,且对∀x∈E,有μ(x)≤ν(x),μ(1)=ν(1),若μ是L-模糊正蕴涵前滤子,那么ν也是L-模糊正蕴涵前滤子.

证明因为μ是L-模糊正蕴涵前滤子,所以有

ν(x∧(x→y)→y)≥
μ(x∧(x→y)→y)≥
μ(x∧(x→y)→(x→y))∧
μ(x∧(x→y)→x).

由于x∧(x→y)≤(x→y),x∧(x→y)≤x,则

x∧(x→y)→(x→y)=1,

x∧(x→y)→x=1,

所以

μ(x∧(x→y)→(x→y))=μ(1),
μ(x∧(x→y)→x)=μ(1),

因此

ν(x∧(x→y)→y)≥
μ(x∧(x→y)→y)≥μ(1)=ν(1),

故

ν(x∧(x→y)→y)=ν(1).

由定理4得ν是L-模糊正蕴涵前滤子.

3 L-模糊蕴涵前滤子

定义8设ε=〈E,∧,⊗,～,1〉是一个EQ-代数,μ是E上的L-模糊子集,如果它满足下列条件:对∀x,y,z∈E,有

(IF1)μ(1)≥μ(x);

(IF2)μ(x)≥μ(z→((x→y)→x))∧μ(z),

称μ是ε的一个L-模糊蕴涵前滤子.

如果它同时满足:

(IF3)μ((x⊗y)→(y⊗z))≥μ(x→y),

则称μ为L-模糊蕴涵滤子.

注L-模糊正蕴涵(前)滤子与定义4的形式类似,但此定义是将模糊子集的隶属值由[0,1]推广到一般的完备剩余格L所得.

例2设ε=({0,a,b,c,1},∧,⊗,～,1),其中0≤a≤b≤c≤1,运算“⊗”,“～”及“→”定义如下:

0abc1000000a0000ab0000bc0000c10abc1

～0abc1010000a01bbbb0b1ccc0bc1110bc11

→0abc1011111a01111b0b111c0bc1110bc11

则ε是一个EQ-代数[8].

定义映射μ:E→L,L={0,m,n,q,1}是一个完备剩余格,其中0≤m≤n≤q≤1,μ(1)=μ(a)=μ(b)=μ(c)=q,μ(0)=m,验证可知μ是ε中的一个L-模糊蕴涵前滤子.

定理8μ是EQ-代数E上的一个L-模糊蕴涵前滤子的充要条件是:∀λ∈L,若μλ≠∅,则μλ是E的蕴涵前滤子.

证明必要性:若μλ≠∅,则∃x0∈E，使得μ(x0)≥λ,所以μ(1)≥μ(x0)≥λ,即1∈μλ;若x,x→y∈μλ,则μ(x),μ(x→y)≥λ.因μ是EQ-代数E上的一个L-模糊正蕴涵前滤子,有μ(y)≥μ(x)∧μ(x→y)≥λ,所以y∈μλ;若z→((x→y)→x),z∈μλ,则μ(z→((x→y)→x)),μ(z)≥λ,进一步有μ(x)≥μ(z→((x→y)→x))∧μ(z)≥λ,所以x∈μλ.故μλ是蕴涵前滤子.

充分性:对∀x∈E,令λ1=μ(x),因为μλ是正蕴涵前滤子,所以1∈μλ1,因此μ(1)≥λ1=μ(x);对∀x,y,z∈E,令λ2=μ(z→((x→y)→x))∧μ(z),则有μ(z→((x→y)→x)),μ(z)≥λ2,所以z→((x→y)→x)∈μλ2,z∈μλ2.同样地,因为μλ是蕴涵前滤子,有x∈μλ2,则μ(x)≥λ2=μ(z→((x→y)→x))∧μ(z).

所以μ是L-模糊蕴涵前滤子.

定理9μ是EQ-代数上的L-模糊蕴涵前滤子,那么x≤y蕴涵μ(x)≤μ(y).

证明因为x≤y，所以x→y=1,由定理1(2)可知(y→y)→y=1→y≥y,再由定理1(7)得x→((y→y) →y)≥x→y=1,则x→((y→y)→y)=1,因此μ(x→((y→y)→y))=μ(1),所以μ(x)=μ(x→((y→y)→y))∧μ(x)≤μ(y).

定理10设μ是E中的L-模糊前滤子,则μ是L-模糊蕴涵前滤子当且仅当μ(x→y)→x)≤μ(x).

证明由定理1(2)有(x→y)→x≤1→((x→y)→x),故μ((x→y)→x)≤μ(1→((x→y)→x))，所以μ((x→y)→x)∧μ(1)≤μ(1→((x→y)→x))∧μ(1)≤μ(x)，即μ((x→y)→x)≤μ(x).

反之由μ是L-模糊前滤子及μ(x→y)→x)≤μ(x)可知:μ(z→((x→y)→x))∧μ(z)≤μ((x→y)→x)≤μ(x),所以μ是L-模糊蕴涵前滤子.

定理11每个L-模糊蕴涵前滤子是L-模糊前滤子.

证明由L-模糊蕴涵前滤子的定义,有μ(x)≤μ(1).现证μ(x)∧μ(x→y)≤μ(y)成立.因为y≤1→y,所以x→y≤x→(1→y).再由定理9得μ(x→y)≤μ(x→(1→y))=μ(x→((y→1)→y)),则μ(x)∧μ(x→y)≤μ(x)∧μ(x→((y→1)→y))≤μ(y).满足L-模糊前滤子定义.

定理12每个L-模糊蕴涵前滤子是L-模糊正蕴涵前滤子.

证明已知x∧(x→y)≤x,x∧(x→y)≤x→y,则由定理1(7)可知:x→y≤(x∧(x→y))→y,因此x∧(x→y)≤(x∧(x→y))→y.再由定理1(7)得((x∧(x→y))→y)→y≤(x∧(x→y))→y,所以有μ((((x∧(x→y))→y)→y)→((x∧(x→y))→y))=μ(1).由定理10有μ(x→y)→x)≤μ(x),所以μ(1)=μ((((x∧(x→y))→y)→y)→((x∧(x→y))→y))≤μ((x∧(x→y))→y),故μ((x∧(x→y))→y)=μ(1),最后根据定理4可得,μ是L-模糊正蕴涵前滤子.

定理13如果μ和ν是两个L-模糊前滤子,且对∀x∈E,有μ(x)≤ν(x),μ(1)=ν(1),若μ是满足弱交换性的L-模糊蕴涵前滤子,那么ν也是L-模糊蕴涵前滤子.

证明∀x,y∈E,设z=(x→y)→x,由x≤z→x可得(z→x)→y≤x→y,所以z=(x→y)→x≤((z→x)→y)→x,z→(((z→x)→y)→x)=1,则μ(z→(((z→x)→y)→x))=μ(1),由弱交换性得μ(((z→x)→y)→(z→x))=μ(1),又因μ是L-模糊蕴涵前滤子,由定理10可得μ(1)=μ(((z→x)→y)→(z→x))≤μ(z→x),所以μ(z→x)=μ(1)=ν(1)≤ν(z→x),ν(z→x)=ν(1),又因ν是L-模糊前滤子,则ν(z)∧ν(z→x)≤ν(x),所以ν(z)≤ν(x),即ν((x→y)→x)≤ν(x).由定理10,ν是L-模糊蕴涵前滤子.

定理14设μ是满足弱交换性的L-模糊正蕴涵前滤子,则μ是L-模糊蕴涵前滤子当且仅当μ((x→y)→y)≤μ((y→x)→x).

证明由定理1(4)可知(x→y)→y≤(y→x)→((x→y)→x),所以μ((x→y)→y)≤μ((y→x)→((x→y)→x))≤μ((x→y)→((y→x)→x)).已知y→x≤1,由定理1(7)可知1→x≤(y→x)→x.再由定理1(2)可知x≤1→x≤(y→x)→x,所以((y→x)→x)→y≤x→y.进一步有(x→y)→((y→x)→x)≤(((y→x)→x)→y)→((y→x)→x),所以μ((x→y)→((y→x)→x))≤μ((((y→x)→x)→y)→((y→x)→x)).由定理10有μ((((y→x)→x)→y)→((y→x)→x))≤μ((y→x)→x),所以μ((x→y)→y)≤μ((y→x)→x).

反之由y≤x→y及定理1(4)可得(x→y)→x≤(x→y)→((x→y)→y),(x→y)→x≤y→x,所以μ((x→y)→x)≤μ((x→y)→((x→y)→y)),μ((x→y)→x)≤μ(y→x),故μ((x→y)→x)≤μ((x→y)→((x→y)→y))∧μ(y→x).由定理5知μ((x→y)→((x→y)→y))≤μ((x→y)→y)),所以μ((x→y)→x)≤μ((x→y)→y)∧μ(y→x)≤μ((y→x)→x)∧μ(y→x)≤μ(x).最后由定理10知,μ是L-模糊蕴涵前滤子.