具有年龄结构的两种群模型平衡点的稳定性

郭 鑫,史振霞,程万鹏

(兰州交通大学 数理学院,甘肃 兰州 730070)

0 引言

19世纪初期以来, 为了揭示生态学与数学之间的自然关系, 人们对数学生态学的研究有了越来越浓厚的兴趣, 而研究种群生长、死亡、竞争、捕食关系的种群生态学是数学上最为成熟的生态学领域之一.2019年, 何舜在文献[1]中利用第一比较定理以及构造Lyapunov函数, 研究时滞互惠模型

得到了正奇点全局稳定的充分条件, 其中：ri,Ki,αi(i=1,2)是正常数；εi,τi(i=1,2)是非负常数；τi(i=1,2)分别表示其中一个种群的生长孕期和成熟期.

在自然界中, 时滞一般表示资源再生时间、成熟周期、哺乳时间和反馈时间等, 反映的是种群的历史状态会对现在状态产生影响[2,3]. 除时滞现象外, 空间扩散也是普遍存在的, 如在生物种群模型中, 每个个体一般以随机的方式在走动, 并且它们在空间上的分布是不均匀的, 这就产生了种群在空间上的扩散过程. 在大多数模型建立时会假定每个个体在整个生命过程中的所有特征是一样的,具有同样的繁殖能力以及与其他种群竞争的能力. 然而对大多数生物来说, 这是不现实的, 因为幼体肯定比成体弱. 例如, 刚出生的幼体需要父母的抚育,它们根本没有能力与其他个体竞争, 短时间内也没有繁殖能力. 为了区别各年龄段所具有的不同特征, 通常引入年龄结构[4-5]. 因此,对具有年龄结构和时滞的两种群模型的研究具有重要的理论价值和现实意义.

利用特征值法、Hurwitz法以及构造辅助函数,Aimei Huang等[6]研究了具有时滞的K型三维L-V扩散系统, 得到了具有时滞的K型三维L-V扩散系统所有平衡点的稳定性.

受文献[6]中所用方法的启发, 此处考虑下列具有年龄结构和时滞的两种群模型

(1)

平衡点的稳定性,其中di>0,ri>0,aij≥0是常量.

文章主要研究了具有年龄结构的两种群互惠模型边界平衡点的稳定性, 同时给出了判断两种群互惠模型正平衡点渐近稳定的一个充分条件.

1 两种群模型边界平衡点的稳定性

(2)

这里a12,a21∈[0,1),且恒为常量, 则模型(2)有以下3个边界平衡点:

由于a12,a21∈[0,1),显然有1-a12a21>0,故而模型(2)存在正平衡点

(3)

其中

模型(3)有如下形式的非平凡解[7-10]:

uj(x,t)=cjeλt+iσx,j=1,2,

当且仅当把uj(x,t)=cjeλt+iσx,j=1,2代入模型(3)后所得系数矩阵所对应的行列式满足:

(4)

其中:λ为复数;σ为实数.

定理1两种群模型(2)的边界平衡点E0(0,0)是不稳定的.

存在σ>0,使得至少有一个djσ2-rj<0,j=1,2,则方程λ+djσ2-rj=0至少有一个正根, 故而模型(2)的边界平衡点E0(0,0)是不稳定的.

定理2两种群模型(2)的边界平衡点E1(1,0),E2(0,1)都是不稳定的.

存在σ>0,使得d2σ2-r2(1+a21)<0, 故方程λ+d2σ2-r2(1+a21)=0有一个正根, 可得模型(2)的边界平衡点E1(1,0)是不稳定的. 而对于模型(2)的边界平衡点E2(0,1), 其证明过程类似于其边界平衡点E1(1,0)的证明过程, 故此处省略.

2 两种群模型正平衡点的渐近稳定性

正平衡点稳定性反映了两个物种是可以持续共存, 因此，正平衡点的研究对于生物种群模型来说是极其重要的. 下面, 讨论模型(2)正平衡点E3的渐近稳定性.

(5)

记

则方程(5)变成

λ2+ρ1(λ)λ+ρ2(λ)=0.

(6)

为了简单起见, 引入符号:

有vi>0,i=1,2,3,4, 且由于aij∈[0,1)以及diσ2≥0, 则有

(7)

接下来, 分以下3种情形讨论.

情形一：若τij=0(i,j=1,2), 则方程(6)变为

(8)

其中

由式(7)可得

情形二：若τii=0(i,j=1,2), 则方程(6)变成

(9)

其中

假设τij=0,i,j=1,2,i≠j.通过Rouche’s定理知, 只需证当方程(9)满足条件(Q)时方程(9)没有纯虚根, 可得方程(9)的所有根都有负实部. 反之, 随着τij(i,j=1,2,i≠j)从零递增到某一正数, 方程(9)部分根的实部将由负数递增到零, 最终变为正数. 若方程(9)有一个纯虚根λ=iφ, 其中φ是一个有限实数, 则由方程(9)可得

将上式的实部和虚部分开, 有

f(φ)=-φ2+v1v2-v3cos[φ(τ12+τ21)],

(10)

g(φ)=(v1+v2)φ+v3sin[φ(τ12+τ21)].

(11)

记

a:=v1+v2,
q(φ):=v1v2-v3cos[φ(τ12+τ21)],
b(φ):=v3sin[φ(τ12+τ21)],

则式(10)及式(11)变为

f(φ)=-φ2+q(φ),g(φ)=aφ+b(φ),

其中：

v1+v2-v3≤q(φ)≤v1+v2+v3,
-v3≤b(φ)≤v3.

下面构造辅助函数,

(12)

综上，若条件(Q)成立, 易证式(10)无实根, 也就是说方程(9)无纯虚根,它的根是实部不会随τij(i,j=1,2，i≠j)的增加由负的变为零，最终变为正的，即它所有的根都有负实部.

情形三：当τjj(j=1,2)充分小时, 即当τjj(j=1,2)由零增加到充分小的正数时, 假设方程(6)有一个纯虚根λ=iμ, 其中μ是一个有限实数. 对于任意小的ε>0, 存在充分小的δ(ε)>0, 使得0<τjj<δ(ε)(j=1,2)时, 有

e-iμτjj=cos(μτjj)-isin(μτjj)=
1-O(ε)-iO(ε),j=1,2.

将上述等式代入方程(6)得

(iμ)2+ρ1(iμ)·iμ+ρ2(iμ)=0,

其中

分离上式的实部和虚部得

(13)

记

则式(13)变为

v1v2-v3≤q(μ)≤v1v2+v3,
-v3≤b(μ)≤v3

成立. 综上, 如果τjj(j=1,2)由零增加到一个充分小的正数时,O(ε)只是一个非常小的扰动项,故而F(μ)和G(μ)受到式(12)的控制. 重复情形二的过程, 可得当条件(Q)成立时,式 (6)无纯虚根, 即方程(6)所有的根都有负实部.

综上可知，只要条件(Q)成立并且τjj,j=1,2充分小, 则(5)所有的根都有负实部, 故可得到以下定理.

注1如果条件(Q)成立并且τjj(j=1,2)充分小, 则系统(2)的正平衡点E+是唯一渐近稳定的平衡点, 因此是全局渐近稳定的.

3 结语

利用特征值法以及Horwitz法，研究了具有年龄结构的两种群互惠模型边界平衡点的稳定性，由τij与0的关系分三种情形讨论，得到当条件(Q)成立并且τjj(j=1,2)充分小时,该模型正平衡点是渐近稳定的，进而得到该模型平衡点是唯一渐近稳定的.