魅力无限的子集与真子集

■史培喜

集合的子集与真子集的考试题型较多,主要分为三类:判断集合间的关系;求一个集合的子集与真子集的个数;利用两个集合间的关系求参数的值或取值范围。下面举例分析,供大家学习与提高。

一、集合间关系的判断

判断集合关系的三种方法:观察法,一一列举进行观察判断;元素特征法,先确定集合的元素是什么,再利用集合元素的特征进行判断;数形结合法,利用数轴或Venn图进行判断。

例1已知集合M={x∈Z|-

A.P={-3,0,1}

B.Q={-1,0,1,2}

C.R={y∈Z|-π

D.S={x∈N||x|≤}

解:易得集合M={-2,-1,0,1},集合R={-3,-2},集合S={0,1}。不难发现集合P中的元素-3∉M,集合Q中的元素2∉M,集合R中的元素-3∉M,而集合S={0,1}中的元素都在集合M中,所以S⊆M。应选D。

例2指出下列各对集合之间的关系。

(1)集合A={x|x是等边三角形},集合B={x|x是等腰三角形}。

(2)集合M=,集合N=。

(3)集合A={x|x2-x=0},集合B={x∈R|x2+1=0}。

解:(1)由于等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故AB。

(2)对于集合M,其组成元素是,分子部分表示所有的整数;对于集合N,其组成元素是,分子部分表示所有的奇数。由真子集的概念知,NM。

(3)因为A={x|x2-x=0}={0,1},B={x∈R|x2+1=0}=∅,所以BA。

二、判断集合的子集与真子集的个数

求解有限集合的子集问题要注意两点:合理分类,按照子集所含元素的个数依次写出;不要忽视两个特殊集合,即空集和集合本身。一般地,若集合A中有n个元素,则其子集有2n个,真子集有(2n-1)个,非空真子集有(2n-2)个。

例3集合P={3,4,5},Q={6,7},定义P*Q={(a,b)|a∈P,b∈Q},则P*Q的子集个数为( )。

A.7 B.12

C.32 D.64

解:由新定义可得集合P*Q中的元素为(3,6),(3,7),(4,6),(4,7),(5,6),(5,7),共6个,所以P*Q的子集个数为26=64。应选D。

例4设集合B是集合An={1,2,3,…,3n-2,3n-1,3n},n∈N*的子集。记B中所有元素的和为S(规定:B为空集时,S=0)。若S为3的整数倍,则称B为An的“和谐子集”。

求:(1)集合A1的“和谐子集”的个数。

(2)集合A2的“和谐子集”的个数。

解:(1)依题意可得集合A1={1,2,3}的子集为∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}。其中所有元素和为3 的整数倍的集合为∅,{1,2},{3},{1,2,3},所以A1的“和谐子集”的个数等于4。

(2)A2={1,2,3,4,5,6}。考虑到1+2=3,4+5=9,1+5=6,2+4=6,则A2的“和谐子集”分以下5类:①含1和2,不含4,5,此时把1和2看作一个整体,与3,6 组成一个新的“三元素”集,其子集有23个。②含4和5,不含1,2,同①有23个子集。③含1和5,不含2,4,同①有23个子集。④含2和4,不含1,5,同①有23个子集。⑤1,2,4,5均含,此时把1,2,4,5看作一个整体,与3,6组成一个新的“三元素”集,其子集有23个。其中∅,{3},{6},{3,6}多计算4次,故A2的“和谐子集”共有的个数为5×23-4×4=24。

三、由集合间的关系求参数的值或取值范围

已知两集合的关系求参数,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系。解决这类问题要合理利用数轴、Venn图帮助分析,要对参数进行讨论,要注意区间端点值的取舍。当题目中有条件B⊆A时,不要忽略B=∅的情况,还要注意验证端点值,做到准确无误。

例5设集合A={-1,1},B={x|x2-2ax+b=0},若B≠∅且B⊆A,求实数a,b的值。

解:因为集合B中的元素是关于x的方程x2-2ax+b=0的根,且B⊆{-1,1},所以关于x的方程x2-2ax+b=0 的根只能是-1或1,且要注意方程有两个相等根的条件是Δ=0。

因为B={x|x2-2ax+b=0}⊆A={-1,1},且B≠∅,所以B={-1}或B={1}或B={-1,1}。

当B={-1}时,由Δ=4a2-4b=0 且1+2a+b=0,解得a=-1,b=1;当B={1}时,由Δ=4a2-4b=0且1-2a+b=0,解得a=b=1;当B={-1,1}时,由(-1)+1=2a,(-1)×1=b,解得a=0,b=-1。

综上可知,a=-1,b=1或a=b=1 或a=0,b=-1。

例6已知三个集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-bx+2=0},同时满足BA,C⊆A的实数a,b是否存在? 若存在,求出a,b的所有值;若不存在,请说明理由。

解:A={x|x2-3x+2=0}={1,2}。

因为B={x|x2-ax+a-1=0}={x|(x-1)[x-(a-1)]=0},所以1∈B且B≠∅。又BA,所以a-1=1,即a=2。

因为C={x|x2-bx+2=0},且C⊆A,所以C=∅或C={1}或C={2}或C={1,2}。当C={1,2}时,b=3;当C={1}或C={2}时,由Δ=b2-8=0,可得b=±,此时x=±,与C={1}或C={2}矛盾;当C=∅时,由Δ=b2-8<0,可得-2

综上可知,存在a=2,b=3 或-2

感悟与提高

1.已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|mx-1=0},且A∩B=B,求实数m所构成的集合M,并写出M的所有子集。

提示:由题意可得,A={2,3}。由A∩B=B,可知B⊆A,所以B=∅或B={2}或B={3}。当B=∅时,由方程mx-1=0无解,可得m=0;当B={2}时,由2 为方程mx-1=0的解,可得m=;当B={3}时,由3为方程mx-1=0 的解,可得m=。故集合M=,所以M的所有子集为∅,{0},,

2.设集合A={x|-1≤x+1≤6},B={x|m-1

提示:易得集合A={x|-2≤x≤5}。当m≤-2 时,B=∅⊆A;当m>-2 时,B={x|m-1