函数单调性教学实践研究

雷会荣

(江苏省徐州财经高等技术学校基础部 江苏徐州 221008)

《江苏省五年制高等职业教育数学课程标准》指出，数学教学应“根据五年制高等职业教育学生的认知水平，提出与学生认知基础相适应的逻辑推理、空间想象、数据处理等能力要求”，既要让高职学生“了解数学的思想方法和精神实质，真正掌握数学这门学科的精髓”，同时“要尊重学生的基础，遵循学生的认知规律”。高职数学教学中，应本着严谨性和量力性相结合的原则，把握好适度的严谨，采用多元化教学手段。下面，我基于着这一原则，探讨高职数学函数单调性的教学[1]。

一、教材分析

函数单调性是高职数学教材第一册的2.3节内容，学生在初中学习了一次函数、二次函数和反比例函数，对函数单调性有一个初步的感性认识。本节在此基础上，进一步学习函数单调性的严格定义，后续将研究幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的单调性。在三年级第六册书还将以导数为工具，研究函数的单调性。因此，本节课的知识，既是初中学习的延续和深化，又为后面的学习奠定坚实基础。

李邦河院士说“数学根本上是玩概念的”，数学概念教学应是数学教学的重点。在高职数学教材中，函数单调性概念的符号语言，也是在教材中反复出现并在各种例题、练习中均用到，对高职学生来说虽有难度但不能随意删掉；同时考虑到高职学生的知识基础和认知能力，数学的概念教学采用情境教学可以激发学生学习兴趣，同时采用信息化手段化抽象为形象，以问题串形式启发引导学生循序渐进生成概念。例题和练习选择计算能力要求不高的题目，让学生通过认知和实践，能深入地理解函数单调性的符号语言，不会因为运算的复杂性影响对概念的理解掌握，体现了适度严谨的原则。因而，高职“函数的单调性”教学目标确定如下：

1.能结合一次函数、二次函数，说明函数的变化趋势。

2.能借助具体函数的图像直观，经历符号化过程，抽象出函数的单调性概念。

3.能利用函数图像写出函数的单调区间，能利用定义证明一次函数的单调性。

4.能积极参与同学间、师生间的交流活动，培养自己观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力。

二、教学过程

（一）创设情境，引入课题

课前布置预习任务，学生复习一次函数、二次函数、反比例函数及其图像，并寻找生活中的事物变化图像，例如本地某一天温度随时间变化图、一年的降雨量图、我国近十年的经济增长图、某股票一月走势图、青春期女生的身高变化图、艾滨浩斯遗忘曲线图等，要求每个学生提交至少一种，选取部分优秀作品用于课堂展示、欣赏，引导学生观察图像的特点，获得“从左到右看，图像的某些部分有上升、某些部分有下降”的整体认识，引出本节课要学习的内容[2]。

以任务的方式创设情境，促使学生完成对新课的学习准备，引入新课，同时拉近数学和生活的距离，激发学生对数学的学习兴趣，点燃学生的数学学习参与热情，扩展学生的知识面，也通过渗透函数是研究生活中事物运动变化规律的数学模型的概念，培育了学生的数学模型化核心素养[3]。

（二）循序渐进，生成概念

选取学生课前预习作业，以一次函数、二次函数图像来研究分析，设计下列问题串，启发、引导学生循序渐进、深入思考，建构函数单调性概念。

问题1：观察下面，说说它们图像有什么变化特征？

（1）y=x+1；（2）y=-x+1；（3）y=x2；

设计意图：以一次函数、二次函数图像为例，以学生已有的知识基础作为先行组织者来建构新知识，符合认知规律，利于新知识的学习。通过对图像分析，学生直观感知图形“上升”“下降”，归纳函数图像的共同属性，抽象出本质属性，从而形成函数单调性的图形语言概念：即从左往右观察函数图像，如果图像在区间D上呈上升（下降）趋势，则称函数在区间D上是单调增函数（减函数）。

选择部分学生的课前作业，利用函数的图像特征分析函数的单调性，深化学生用图像的升降判断函数单调性的认知。

问题2：结合函数图像，试用自变量和函数的变化规律，说明函数图像的“上升”（“下降”），函教师利用几何画板，动态地演示问题1中的三个函数图像，当点从左往右滚动过程，将点的坐标变化情况同步显示出来，直观地显示函数图像从左至右上升（下降）时，x增大时函数y增大（减小）。学生据此不难归纳得出函数单调性的自然语言概念：函数在定义域的某个集合上，随着自变量x增大数f(x)也增大（减小），则称函数f(x)在数集I上是增函数（减函数）。

设计意图：利用信息化手段，化抽象为形象，化静态为动态，启发引导学生将形转化为数，将单调函数概念的图形语言转化为自然语言，用自然语言描述函数的单调性。对于高职学生，既能激发学生的学习兴趣，又可以降低理解抽象的数学概念的难度。

问题3：如果f(x)=x+1，试填空：

（1）f(50)=_______，f(100)=_______，f(50)______f(100)（<或>）；

（2）如果x1）；

（3）如果任意x1）。

设计意图：抽象出单调函数的概念，是本节课的难点。此处重在突破本节难点，让学生在教师搭建的脚手架下，以简单函数为例，化解学生理解的难度，但不影响揭示单调函数的本质特征，由特殊到一般，循序渐进，同时让学生充分理解对全称量词“任意”这一逻辑用语；以问题启发引导学生，最终形成符号语言表达具体的函数单调性的概念；也体现职业教育的特点，适当降低理论要求，“不过分追求系统性、完整性和严密性”，本着严谨性和量力性相结合的原则，提高学生数学抽象核心素养，提高学生思维品质。

对于函数f(x)=x+1，任意x1∈R，x2∈I，当x1

问题4：试用符号语言表示函数f(x)在数集上是单调函数

对于函数f(x)，任意x1∈I，x2∈I，当x1

对于函数f(x)，任意x1∈I，x2∈I，当x1f(x2)，则称函数f(x)在I是单调减函数。

如果函数f(x)在区间D上是单调增函数或单调减函数，则称函数f(x)在区间D是单调函数，区间D为单调区间。

设计意图：由特殊到一般，由具体到抽象，水到渠成地得到一般函数单调性概念的符号语言，类比得到单调减函数的符号语言概念，进一步得到单调函数、单调区间概念。在函数单调性概念的形成过程中，充分尊重学生的基础，遵循学生的认知规律，学生经历由具体到抽象的过程，有利于数学抽象核心素养的培养。

（三）例题及练习，强化理解

1.写出函数f(x)=-2x+1的单调区间，并证明；

通过例题及练习，深化学生对符号化定义的理解，以及对“任意”全称量词的进一步理解。

三、教学反思

本次课的教学设计，通过创设丰富的生活情境，拉近数学与生活的联系，激发学生学习兴趣；借助信息化教学手段，降低学生理解抽象的数学理论学习难度。教学过程注重知识衔接，联系学生在初中学习的一次函数、二次函数和反比例函数，联系后面将学习的函数的奇偶性、周期性等函数的性质以及函数的导数等知识，帮助学生建构良好的知识体系或概念网络图[4]。

课堂以问题串形式，给学生搭好脚手架，引导学生思考、交流、讨论、归纳，让学生合作学习，循序渐进，逐步生成抽象的函数单调性概念的符号语言，体现以学生为学习主体的教学理念。教学中重视培养学生的数学核心素养，函数单调性概念的教学过程中，培养了学生的数学抽象、直观想象素养，以及对“任意”全称量词的理解和利用概念证明函数单调性，培养了学生的逻辑推理、数学运算素养。在核心素养形成中，进一步提高了学生数形结合思想、模型化思想、特殊与一般思想等数学思想和数学方法。因此，函数单调性概念的教学，将培养学生的核心素养和提高数学思想融合在一起，从而实现高职数学教学的最终目的。