一类无穷区间上分数阶边值问题正解的存在唯一性

郭晓珍，王文霞

(太原师范学院 数学系,山西 晋中 030619)

近几十年来,由于分数阶微分方程在控制系统、流变学、黏弹性力学等诸多领域的应用,其理论及应用研究获得了广泛的关注,研究成果非常丰富,如白占兵[1]系统介绍了分数阶边值问题的基本理论及应用,解恒燕等[2]、刘建平等[3]研究了数值计算方法及参数敏感性分析,文献[4-6]和文献[7-8]分别研究了有限区间和无穷区间上分数阶边值问题正解的存在性.注意到和有限区间上边值问题的研究相比,无穷区间上边值问题的研究相对较少.而就无穷区间上边值问题正解或多解的存在性研究而言,其正解的唯一性研究更少.

最近,张海斌等[9]、Jia M等[10]和廖秀等[11]分别研究了如下无穷区间上分数阶微分方程:

在不同边值条件下正解及多解的存在性,其主要工具为锥拉伸与锥压缩不动点定理、Schauder不动点定理和Leggett-Williams不动点定理.

受上述研究的启发,本文将研究如下无穷区间上分数阶微分方程特征值问题:

(1)

和文献[9-11]使用的方法不同，本文主要运用单调算子方法及锥理论研究特征值问题(1)的唯一正解的存在性,讨论扰动参数对其唯一正解存在的最大特征值区间的影响,以及正解对参数的连续依赖性.

1 预备知识和引理

定义1[1]连续函数f:(0,+∞)→R的α>0阶Riemann-Liouville分数积分定义为:

其中,等式的右端在(0,+∞)有定义.

定义2[1]连续函数f:(0,+∞)→R的α>0阶Riemann-Liouville分数导数定义为:

其中,n是大于等于α的最小整数,等式的右端在(0,+∞)有定义.

引理1[1]如果u∈C[0,+∞)∩L[0,+∞)有α>0阶导数属于C[0,+∞)∩L[0,+∞),则:

其中,ci∈R,i=1,2,…,n,n-1<α≤n.

(2)

有唯一解u(t),且：

(3)

其中：

(4)

(5)

将c1带入式(5)即得式(3)成立.证毕.

引理3[11]函数G(t,s)满足如下性质：

接下来介绍本文所要用到的实Banach空间中有关概念和结论.设E是实Banach空间,θ为E中的零元素.P为E中的非空凸闭子集,若P满足：

x∈P,λ≥0⟹λx∈P;x∈P,-x∈P⟹x=θ,

给定e>0(即e∈P且e≠θ),记：

Pe={u∈E:存在l1=l1(u)>0,l2=l2(u)>0,使得l1e≤u≤l2e},

(6)

(7)

设D⊂E.算子T:D→E是递增的,若x,y∈D,x≤y⟹Tx≤Ty.若Tx*=x*,则x*∈D被称为是T的一个不动点.

2 主要结果

本文将使用如下条件：

由引理2容易看到,当条件(H1)～(H3)成立时,u∈P是边值问题(1)的解当且仅当u是下列积分方程的解：

定义算子A如下：

(8)

(9)

容易看到算子A:P→P,xμ∈P,且u是边值问题(1)的解当且仅当λAu+xμ=u.

|p(s)f(s,un(s))-p(s)f(s,u(s))|=

2p(s)f(s,(1+sα-1)r0)≤2r0p(s)f(s,1+sα-1),

由Lebesgue控制收敛定理和条件(H2)得：

在Adams中，根据上面的各零件之间的关系进行涡旋压缩机的刚柔耦合模型的虚拟装配，导入MNF文件进行柔性体的替换。图6为柔性体替换示意图。

即AΩ有界.

∀N0>0,[0,N0]为R+中的紧区间.当t1,t2∈[0,N0],t1>t2时,对任意的u∈Ω有：

下面证明A在无穷远处等度收敛.对任意的u∈Ω,有：

类似于文献[14]可知A在无穷远处等度收敛.由引理6可知算子A:P→P是全连续的.证毕.

定理1假设条件(H1)～(H3)成立,则对任意给定μ>0,存在λ*(μ)>0使得当λ∈[0,λ*(μ))时,边值问题(1)有唯一正解uλ∈Pe且当λ∈[λ*(μ),+∞)时,边值问题(1)没有正解.此外,唯一正解uλ有如下的性质：

又对任意的r∈(0,1),u∈Pe,由条件(H3)有:

t∈R+,即A(ru)≥rAu,u∈Pe,r∈(0,1).

此外,由引理7可知A是全连续的,故引理4的条件成立,于是由引理4知结论成立.证毕.

定理2假设条件(H1)(H2)(H4)成立,且f(t,0)在R+的任意子区间内不恒为0,那么对任意的μ∈(0,+∞),λ∈(0,+∞),边值问题(1)有唯一正解uλ∈Pe.此外,唯一正解uλ满足如下的性质：

(i) 对任意初值u0∈Pe,构建序列:

对任意的u∈P,由引理3、式(8)、(H1)、(H4)得：

即A(P)⊂Pe.

对任意的r∈(0,1),由(H4)有:

3 例子

考虑下面边值问题:

(10)

于是由定理2可知,对任意的μ∈(0,+∞),λ∈(0,+∞),边值问题(10)有唯一正解uλ∈Pe,且uλ满足定理2中的(i)～(iv).