犹豫模糊环境下几类多属性决策方法

王佳佳

(湖北民族大学 数学与统计学院，湖北 恩施 445000)

20世纪40年代，决策理论逐渐发展为经济学和管理学的交叉学科.随着社会科技的不断发展，决策精炼地描述为人类对方案进行选择的行为或结果.不难发现，决策与人类意识密不可分，即决策者的主观偏好影响决策结果.后来，在对备选方案实际决策时，决策者会综合方案的多层面(多属性)性能.大到国家政策方针[1]制定，小到企业供货商选择[2]都体现着多属性决策(multi-attribute decision making,MADM)问题.例如，在全国高校学科评估中，一级评估指标体系有四个.为了解决实际MADM问题，许多MADM方法被提出.如：基于混合加权测度的MADM方法由曾守桢等[3]提出.Chen等[4]借助ELECTRE方法解决了第三方逆向物流供应商选择问题和Mahmoudi等[5]将拓展的PROMETHEE方法应用到海外教师排名等领域[6-7].MADM问题逐渐发展为现代决策科学的重要组成部分.

随着决策理论在各个领域的应用不断丰富，决策过程积累了海量、复杂的未知因素(社会经验不足),精确的模型无法刻画实际的不确定性.为此，提出合适的信息表达方式是准确决策的前提条件.在这种情况下，模糊集(fuzzy set,FS)[8]应运而生.FS可以对复杂现实情况进行模糊度量[9]、模糊决策[10]等.随后，FS的理论与应用都得到了迅速发展.理论上，分为自身理论与拓展理论.自身理论中最具代表的是粗糙集理论[11]与可信性理论[12].拓展理论包括2-型模糊集[13]、区间值模糊集[14]、L-模糊集[15]、直觉模糊集[16]等.FS广泛应用于B2R低碳物流决策[17]等各个领域[18].然而，FS理论要求每个元素只有一个隶属度，无法反映实际决策中的犹豫信息.为描述犹豫不决的情形，Torra提出FS的另一种拓展形式——犹豫模糊集[19](hesitant fuzzy set,HFS)，HFS容许一个元素的隶属度是[0,1]上一些的值.HFS比FS的其他拓展形式更能全面地刻画犹豫信息，这引起了国内外学者的广泛关注.随后，Xia等[20]给出HFS的数学表达式，为刻画犹豫信息提供了简洁有效的工具.随着科技的不断进步促进了社会发展，决策问题日趋多样化，复杂化，决策者要求用更客观的方法解决实际问题的需求也更加严格.因此，本文对几类的犹豫模糊多属性决策(multi-attribute decision making under hesitant fuzzy environment,HF-MADM)方法进行研究.

1 犹豫模糊集的发展历程

HFS中元素的隶属度是不唯一的.多个隶属度是HFS的特征，其代表着决策者犹豫不决的信息.决策者是决策过程中的关键因素，决策者的经验、认知都是有限的，很难通过精确的数值表达对方案的评估，所以HFS可以充分地反映出实际过程.然而，Torra[19]只给出了HFS的语义定义，这限制了HFS的应用发展.为了便于表达和拓展应用，HFS的数学表达式被Xia等[20]定义.

定义1[20]设U是一个有限集，HFS表示为：M={〈u,hM(u)〉|u∈U},其中hM(u) 是一些[0,1]上数值的集合，其代表着对象u属于M的隶属程度，hM(u)也被称为犹豫模糊元(hesitant fuzzy element,HFE).

图1 犹豫模糊集成算子之间的关系Fig.1 The relationship between hesitant fuzzy aggregation operators

除了这些集成算子之外，HF-MADM方法的应用也得到拓展：Xu等[21]将TOPSIS方法引入到犹豫模糊环境中解决了能源政策的选择.Liao等[22]利用HF-VIKOR方法对国内航空公司服务质量进行评价.Zhang等[23]构造出区间犹豫模糊近似算子去解决实际问题.Liao等[24]提出基于满意度的交互式决策方法.结合HFS与ELECTRE Ⅱ的思想，Chen等[4]选择了合适的第三方逆流电池物流供货商.Mahmoudi等[5]将拓展的HF- PROMETHEE方法应用于海外教师招聘、企业发展项目选择.Liang等[25]提出基于误差分析的聚合算法，对网上信贷平台进行评估.基于后悔理论与群体满意度，刘小弟等[26]提出犹豫模糊随机多属性决策方法，对现有基础项目的融资风险进行评估.Yang等[27]提出新的犹豫模糊相关系数，并应用到实际供应商选择和医疗诊断问题.Ranjbar等[28]HFS多隶属度的特点建立了犹豫模糊线性规划模型.Zhou等[29]在犹豫模糊环境下考虑前景理论解决了组合证券选择问题.根据Pawlak冲突分析理论，张慧敏等[30]建立犹豫模糊信息系统下的冲突分析模型，为企业提供合理地发展规划选择.在犹豫模糊决策问题的驱动下，Wang等[31]引入提出HF-3WD模型，解决了现有方法不能对方案分类的问题，并将模型应用到医疗诊断领域.

综上，受益于HFS的提出，不仅使实际HF-MADM问题形成完整体系，而且拓展了决策理论的应用范围.由于HF-MADM问题更能反映实际决策情况，因此，对HF-MADM问题深入研究具有现实意义.

2 现有犹豫模糊环境下的多属性决策方法

HF-MADM问题一般分为两种情况：一种是单个决策者对方案在每个属性下的评估值犹豫不定；另一种是由多个决策者形成的专家组对方案进行评价时，很难以达成一致意见.这两种HF-MADM问题都通俗易懂，每种决策问题都有被学者做相应研究.然而，通常考虑的是第二种情形，原因是：单个决策者受认知，经验等影响，对方案的决策时往往说服力不强，由多个不同领域的决策者组成的专家组可以更准确的反映出方案的评价值.研究生入学面试、国家领导的选拔等都是由多个决策者决定的.目前，对决策者的心理状态的获取还是有一定的难度的.例如：决策者内心认为0.5或者0.6，在对方案实际评价时决策者一般都是精确数值，很难得知决策者的内心状态.因此，本文探讨的是第二类HF-MADM方法.

2.1 HFWA算子

Xia等[20]提出许多犹豫模糊聚合算子解决HF-MADM问题.下面，简要回顾HFWA算子.

假设有n个HFEsh1,h2,…,hn,每个HFE的权重为w1,w2,…,wn,则HFWA为：

(1)

在HF-MADM问题中，每个方案有n个属性.利用HFWA算子，可以聚合出每个方案的整体值.最后根据降序原则进行排序.

2.2 HF-TOPSIS方法

TOPSIS方法是一种解决MADM问题的经典方法.核心思想是:方案与正理想解的距离越近，与负理想解的距离越远，则该方案较优.鉴于TOPSIS方法的优势，Xu等[21]提出HF-TOPSIS方法解决HF-MADM问题.除此之外，在犹豫模糊环境下，建立了基于离差最大化方法的优化模型，确定属性客观权重.HF-TOPSIS方法的流程图如图2所示.

艺术创作中空间追求是以艺术创作本身为目的，艺术家在创作时往往不是刻意去塑造空间，而是依靠画面身的因素组织视觉效果的艺术创作形式，使观者忘掉自我，进入画面。正如中国传统绘画追求的空间，它不是简单的视觉三维的空间模式，而是冲破客观的时间和空间的禁锢，把不同时间、空间中的事物，经过主观的布置与编排，从而建构出表达画家精神思想的空间境界。这种独特的空间观，打破了时空的限制，具有历史的超前性。

图2 HF-TOPSIS方法流程图Fig.2 The flow chart of HF-TOPSIS method

2.3 HF-TODIM方法

决策者是决策过程中必不可少的.决策结果与决策者的心理行为有关.在犹豫模糊环境下，Zhang等[32]提出考虑决策者心理行为的HF-TODIM方法，推翻了决策者完全理性的严格假设，弥补了现有HF-MADM方法的不足.HF-TODIM方法的具体过程如下.

步骤1 对决策矩阵正规化处理.

步骤2 选择参考属性，计算属性的相对权重向量.

步骤3 计算方案相较于其他方案的收益与损失.

步骤4 确定方案的优势度.

步骤5 得到方案的全局前景值.

步骤6 根据前景值排序.

2.4 HF-ELECTRE Ⅱ方法

ELECTRE Ⅱ方法通过考虑方案间的级别优于关系(强级别优于关系、弱级别优于关系)，构建出强指向图和弱指向图.在对关系图进行迭代后获得方案的排序结果.Chen等[4]结合HFS与ELECTRE Ⅱ方法，提出HF-ELECTRE Ⅱ方法.HF-ELECTRE Ⅱ方法的步骤如图3所示.

图3 HF-ELECRERE Ⅱ方法的步骤Fig.3 The steps of HF-ELECTRE Ⅱ method

2.5 HF-PROMETHEE方法

由上述HF-ELECTRE Ⅱ方法可知，只考虑了差异的存在性，忽略的差值的大小.因此，Mahmoudi等[5]提出拓展的HF-PROMETHEE方法，其核心是通过偏好函数测量两方案间的优劣程度，并计算出每个方案的出、入流量，最后，通过净流量对方案进行排序.其方法的主要过程为：首先，计算出两两方案间的犹豫差距.根据差距，可以计算方案间的犹豫偏好度.其次，由已知的属性的权重，计算加权犹豫偏好度.紧接着，方案的犹豫全局偏好指数可以被计算.由于犹豫全局偏好指数为HFE，借助打分函数可以获得犹豫全局变量的打分值.最后，每个方案的出、入流量可以被确定，并且借助净流量对方案进行排序.

2.6 基于冲突理论的方法

HFE之间的距离测度和属性权重是犹豫模糊决策理论中值得研究的课题.HFE之间的距离测度前提条件是两者长度保持一致，现有研究[21]根据决策者的风险偏好对较少的元添加数据.这种处理方式对原始数据结果存在一定的影响.

张慧敏等[30]提出按照比例同时添加元素，使二者的长度为最小公倍数.具体过程如下定义.

定义2[30]设H1,H2为两个HFE，H1的元素长度为|H1|，H2的元素长度为|H2|，a=[|H1|,|H2|]为H1,H2的最小公倍数，H1,H2添加后的犹豫模糊数为：

(2)

按成比例添加元素，保留了原始数据的模糊信息.

对于HF-MADM问题中属性权重未知的情况，文献[30]提出了基于冲突度的属性权重计算方法.其原理为：冲突度越大的属性，表明在该属性下决策者的不一致性越高.在决策时，应该给予极大地关注，因此所对应的属性权重占比就越大.其方法为：

假设HF-MADM问题有方案集U={u1,u2,…,um}，属性集C={c1,c2,…,cn}，决策者对方案ui(i=1,2,…,m)在属性cj(j=1,2,…,n)下的评价值为Hij.

(3)

(4)

犹豫模糊环境下，基于冲突分析的权重方法，为确定属性权重提供了新思路，丰富了HF-MADM方法的理论.

2.7 结合三支决策的方法

上述6种HF-MADM方法，存在一个共性，即只能对方案进行排序.正如引言所述的，决策是指的是行为或结果.上述方法都侧重于决策行为，忽略了决策结果.基于Bayesian最小决策规则，Yao[33]提出的三支决策方法可以将方案划分为三个域：正域、边界域和负域.对应的决策结果：接受、待考虑和拒绝.鉴于三支决策理论与方法与人类决策的认知过程相符，Wang等[31]利用三支决策理论去解决HF-MADM问题.考虑到犹豫模糊决策矩阵的没有类标签的特殊性，借助级别优于关系代替等价类，进而估计每个方案的条件概率.该方法的思维导图如图4所示.

图4 Wang等方法的思维导图Fig.4 Wang et al.’s method of mind mapping

通过与三支决策理论结合，Wang等[31]的方法不仅可以实现对方案的决策，根据方案的期望损失值还能对方案进行排序.结合三支决策理论的方法为解决HF-MADM问题提供了新思路.

3 算例

上述HF-MADM方法，原理不尽相同，各有优势.没有哪种方法是万能的，涉及到具体的HF-MADM问题还应根据实际情况选择合适的方法.

下面，将上述所例举的方法应用于一个电池回收中物流供货商选择的实际案例中(Chen等[4]).该问题中，专家组中有3个决策者(E1,E2,E3)，从7个方面(c1,c2,…,c7)评估5个供货商(u1,u2,…,u5).不同方法的结果如表1所示.

表1 不同方法的排序结果和最佳方案Tab.1 The ranking results and the optimal alternative of different methods

由表1 的可知，几类HF-MADM方法最佳方案一致.验证了几类HF-MADM方法是合理的.各类方法的排序原则不同导致排序结果不同，下面依次分析几类方法的优势与特征.

HFWA算子通过加权的方式对模糊信息集成，根据集成值对方案进行排序.该方法简单，容易计算.HF-TOPSIS方法考虑方案与正理想解、负理想解之间的距离，通过相对贴近度进行排序.HF-TOPSIS方法减少了决策过程的复杂性，提高决策方法的准确性.HF-TODIM方法在解决HF-MADM问题时，有效地捕捉决策者的心理行为，借助整体的前景值进行排序.此方法结合决策者的心理行为，更符合决策的实际过程.HF-ELECTRE-Ⅱ方法对两两方案进行比较，确定出优于关系.根据强优于关系和弱优于关系对方案进行排序.HF-ELECTRE-Ⅱ方法考虑了方案的优劣势，可以处理复杂的HF-MADM问题.HF-PROMETHEE方法计算出方案相比于其他方法的偏好程度.该方法借助净流量值降序原则排序.针对实际HF-MADM问题，使用HF-PROMETHEE方法可以计算出差距值.基于冲突理论的方法给出了一种新的HFE拓展方法，并提出了基于冲突理论的属性权重方法.此方法可以保留原始的犹豫模糊信息.结合三支决策的方法考虑了方案在采取每种行为时的损失值，根据损失最小的原则，实现对方案的分类，并通过期望损失值对同一类的方案进行排序.该方法既可以实现排序，又能对方案进行分类.

综上，在解决实际HF-MADM问题时，结合决策者的需求和几类方法的优势，选取恰当的决策方法是必要的.

4 结论

对于HF-MADM问题，本文阐述了几类HF-MADM方法的原理.将几类HF-MADM方法应用于电池回收行业的物流供货商选择的问题,最终的排序结果也验证了不同方法各有优势.

此外，对于实际的HF-MADM问题，方案的期望损失值[31]不应是最终排序的决定因素.在未来的研究中，可以进一步在效用理论[34]、前景理论[35]、遗憾理论[36]下展开研究.