由“最多能分多少个三角形”引发的思考

张银环

[摘 要]培养学生的探究能力，教师要引导学生细心观察、先猜想后验证，并学会有效运用转化、数形结合等数学思想，给学生的探究提供方法上的支持;要相信学生的能力，大胆放手，当学生遇到难以解决的问题时，适度地“扶”，确保学生探究的有效进行;语言上对学生进行激励和鼓励，让学生有自主探究的動力和信心，并将探究内化为自觉的行动，延伸到各种学习中。

[关键词]探究能力;三角形;培养

“最多能分多少个三角形”是苏教版教材五年级“平面图形的面积”单元中一个常见的数学问题。笔者曾带领学生解决过这样一道题：有一张长20厘米、宽14厘米的长方形彩纸，把它裁成底和高都是4厘米的直角三角形（不能拼接），最多能裁多少个？学生的基本做法：20÷4=5（长方形的长可以分成5个4），14÷4=3……2（厘米）（长方形的宽可以分成3个4，还多2厘米），5×3=15（个）（可以裁成15个边长为4厘米的正方形），最后再由15×2=30（个）得出结论“能分30个这样的三角形”。其中一个男同学若有所思地说：“老师，我觉得还可以裁出更多的三角形。”笔者笑着说：“那你先画图，画好了再把裁剪的方法告诉老师，好吗？”本是不经意的一句话，没想到这个男同学课后真的给笔者送来了一张裁剪示意图（如图1）。

看了这张示意图，笔者特别庆幸当时鼓励他继续思考，让他迸发出如此绚烂的思维火花。为了让笔者更明白他的意图，他还特意解释道：“老师，我是按实际长度画的，边长为6厘米的正方形里面的三角形我也用量角器测量了，其中一个角是90°，底和高也是4厘米。这样分的话，可以裁33个，比计算的30个要多。”笔者十分佩服他的探究精神，同时也意识到教师的一句评价对学生来说是多么的重要。笔者想了想，对他说道：“老师真的很佩服你敢于质疑、有想法就动手验证的精神！你的这个思路完全正确，老师都没有想到还可以这么分！”然后，笔者很认真地用勾股定理跟他解释了他所画的边长为6厘米的正方形里面的直角三角形的底和高并不是4厘米，但完全可以按这个方法切分，实际上当这个正方形的边长接近5.7厘米时，是可以裁成4个底和高都是4厘米的直角三角形的，也就是说确实能裁33个三角形。

这件事让笔者深思：学生的潜能究竟有多大？怎样激发学生的探究能力？教师能为学生探究能力的培养做些什么？

一、渗透数学思想，为学生探究能力的形成提供支持

学生会探究，离不开思想方法的支撑，离不开探究经验的积累。教师要教给学生多种数学思考方法，让他们将其转化为自己的思考方式，并形成能力。在小学数学教学中，有很多数学思想和方法可以向学生渗透。

1.观察比较的方法

数学学习中，仔细观察是一种重要的探究能力。从低年级开始，教师就要培养学生仔细观察的习惯。一位教师在教学“间隔排列”时，一开始便出示两幅图，要求学生仔细观察，找出不同，然后告诉学生要学会观察、善于观察才能学好数学。出示例题情境图时，她一组一组出示地物体，让学生自主观察、进行比较，说出发现。学生能够发现这几组物体的排列都是有规律的。探究间隔排列的两种物体的数量关系时，教师同样要求学生细心观察，将几组图进行比较。最后的总结，教师特别强调学会观察的重要性。

观察是学习数学的基础，所谓“磨刀不误砍柴工”，传授知识的同时教会学生用什么方法学是很重要的。

2.先猜想后验证的思想

小学数学教材中的综合实践、图形的特征、公式的推导等，都可以渗透先猜想后验证的方法。例如“圆的认识”一课，在探究圆内直径与半径的特征时，学生可以先思考，猜想圆的直径和半径的特征，再通过画一画、量一量、折一折等验证自己的猜想，得出结论。

3.转化的方法

面对复杂的问题，可将不熟悉的问题转化成熟悉的问题来解决，使难以解决的问题变得简单。苏教版教材中很多新知的学习和探究，都是利用学生已有的知识经验。例如，“平行四边形的面积”教学，就是将平行四边形进行切割、平移，使之变成长方形，从而推导出平行四边形面积公式的。苏教版教材五年级下册有专门的解决问题的策略——转化，转化的方法无论在数的领域还是形的领域都有广泛的应用，对学生以后的数学研究起着重要的作用。作为教师，要理解教材意图，将转化思想渗透给学生，为学生探究能力的形成和提高提供保障。

4.数形结合的思想

数形结合是学习数学、解决数学问题的一种重要方法。解决复杂的行程问题时，画线段图可以引导学生深刻地理解题意，清晰地看出题中的数量关系。例如，“鸡兔同笼”问题，通过简单的示意图就能形象地理解看似复杂的问题。例如计算“[12]+[14]+[18]+[116]+[132]”，如果在一个正方形里分别表示这些分数，就能轻松得出答案1-[132=3132]。

此外，“化曲为直”“一一对应”等数学思想方法在小学数学中都有体现。课堂上，教师不仅要教给学生数学探究与思考的方法，更要善于总结，鼓励学生自觉应用这些数学思想方法进行探究学习。

二、有“扶”有“放”，为学生探究能力的施展搭建平台

课堂教学是培养学生探究能力的主阵地，探究新知时，教师要给予学生充分的探究机会和时间，为学生搭建探究的平台。学生的潜能是无限的，教师大胆地“放”，学生便能养成遇事主动探索、乐于探索的习惯，形成探究能力。

一位教师在教学“表面涂色的正方体”时，出色地演绎了“放”。他只是给学生提供了研究的切入点：三面涂色、两面涂色、一面涂色的小正方体分别在正方体的什么位置（要求学生明确先干什么再干什么）。在整个探究活动中，学生自主观察、自主操作、自主交流，就连汇报也都是学生自主完成：学生介绍发现了什么，其他学生补充;有疑问，学生大胆提出，疑问的解决也由学生完成。这样的课堂，学生真正体会到了探究的乐趣，提高了学习数学的兴趣。这就是“放”的魅力。毕竟，来自学生主观的体验，远比被动接受知识效果好。

对于学生自主探究时不能解决或难以解决的问题，教师应当适度地“扶”一下。笔者在初次教学“圆的周长”时，让学生自主尝试测量圆的周长，发现学生只想到用“绕线法”进行测量，而不知道还可以用“滚测法”，经反思发现这是学生生活经验缺失所致。对此，笔者改进了教学设计：在导入环节“初识圆的周长”中，用PPT呈现 “车轮滚一圈”的动画情境。有了这样有意识地“扶”，学生实际测量时自然想到了“滚测法”。

“扶”与“放”，要结合实际，学生能解决的问题，大胆地“放”;学生难以解决的问题或解决过程中遇到困难的，则选择性地、智慧地“扶”。如何把握这个度，就要看教师的基本功了。

三、激励性的语言，为学生探究能力的发展添加催化剂

教师的一句话，往往对学生影响至深。作为教师，应充分相信学生的能力，鼓励学生敢于质疑、乐于探究，不轻易否定学生的想法，不吝啬自己的激励性语言，多问问“还有不同的意见吗？” “还有不明白的地方嗎？”“能想办法试一试吗？”

评价学生时，要对学生在回答问题时和探究过程中的表现给予肯定和鼓励。某教师在教学“多边形的面积”时，对学生的评价就对学生探究能力的发展有着重要的意义：在展示学生把五边形分成三个三角形的画法时，对画得好的学生进行评价：“你画得很有条理，做到了有序。”当一个学生说出“每增加一条边，多边形的内角和就增加180°”时，她给出评价：“你的数感真棒！观察真仔细！”当有学生因画法混乱而出错时，她这样鼓励：“希望你以后画图时能做到有序。”

这样的评价，既具体又有针对性，使学生知道自己好在哪里，不足在什么地方，更重要的是让其他学生也能明白在探究时怎么做更好。轻声细语中不但体现教育智慧，还对学生探究能力的培养和发展影响至深。

学生会探究、善探究、乐探究，往小了说，有助于他们的终身发展;往大了说，对一个国家和民族的未来影响深远。作为教师，要教给学生探究的方法与思想，努力创造条件培养学生的探究能力使其成为一种自觉的个人能力，这就是教育的目标和价值所在。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 陈志金.小学数学生态课堂“对话式教学”的实践与思考[J].考试周刊，2020（75）：43-44.

[2] 王悦.浅谈小学数学课堂教学自主探究式学习的实践与尝试[J].考试周刊，2020（75）：75-76.

[3] 温明霞.小学数学教育中核心素养的培养途径探索[J].考试周刊，2020（9）：101-102.

（责编 黄春香）