关于二次函数中面积问题的探究与思考

王莉璠

[摘  要] 面积最值、等面积、面积比值是二次函数面积问题常见的三种类型，探究三类问题的解法策略及思路十分重要，可提升学生解决综合性问题的能力. 文章将深入剖析问题难点，基于问题类型开展解法探究并反思教学，提出相应建议.

[关键词] 二次函数;面积;类型;解法;思想

问题综述，难点剖析

二次函数与图形面积相结合是中考考查的重点，常作为压轴题综合考查学生的能力. 该类问题的得分占比往往不高，主要原因是学生难以构建合理的模型转化几何面积. 从图形特点和问题形式来看，主要有两大难点. 难点一，所涉图形多不规则，需要采用合适的方法构建面积模型;难点二，问题往往涉及动点，属于几何动态问题，图形变化多样，需要采用一定的方法化动为静. 从问题形式来看可分为面积最值、等面积存在性和面积比值三种情形，因此总结上述三种问题的解法，构建解题策略，即可通解函数与面积问题.

分类探究，策略总结

函数与面积问题的构建形式较为多样，但总体来看可分两步进行：第一步，分析图形特点，构建面积模型;第二步，结合面积模型，转化、分析求解. 解析过程要充分利用数学的两大思想：数形结合和模型思想.

题型一：面积最值问题

面积最值，即求面积的最大值或最小值，在函数背景下通常有两种设问形式，可直接求面积最值，也可求面积取得最值时的动点坐标等.

解析方法有两种，一是采用铅垂法，过三角形的顶点作垂线，则可将原三角形分割为两个同底三角形，两个三角形的底就为垂线段，高则为两个定点的横向距离;二是采用切线法，原理与圆的切线相类似，以平行于三角形固定边的一条直线来逐步平移靠近二次函数的图像，当只有一个交点时，该点则为三角形取得面积最大值时的交点.

例1  如图1所示，已知抛物线经过点A（-1，0），B（3，0）和C（0，3）三点.

（1）求抛物线的解析式;

（2）若点M是线段BC上异于端点的点，过点M作MN∥y轴，设与抛物线的交点为N，设点M的横坐标为m，请用含有m的代数式表示MN的长.

（3）在（2）的条件下，连接NB和NC，分析当m为何值时，△BNC的面积取得最大值.

解析：（1）点A和B位于x轴上，可直接设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将点C（0，3）代入其中，可解得a=-1，整理可得抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.

（2）求MN的长，只需表示出点M和N的坐标即可，已知点B和C的坐标，可求得直线BC的解析式为y=-x+3. 点M的横坐标为m，则点M（m，-m+3），由于MN平行于y轴，且点N位于抛物线上，则点N（m，-m2+2m+3）. 综合点M和N坐标可得MN的长为MN=-m2+3m（0

（3）求△BNC取得最大面积时m的值，MN将其分割为两个同底三角形（如图2），即△CMN和△BMN，则其面积可表示为S =S +S = MN·x -x ，代入线段MN的长和点坐标可得S = ·（-m2+3m）·3=- m- 2+ （0

评析：上述第三问是关于二次函数与面积最值的问题，实际上考题三小问在逐步引导学生利用铅垂法求解面积最值. 第一问确定抛物线的解析式，第二问作三角形的铅垂线，推导三角形的底，在完成前两问的基础上可直接构建关于图形面积的函数模型，由函数性质求最值. 因此使用铅垂法求面积最值分三步进行：第一步，作铅垂线，分割三角形，表示底边线段;第二步，基于割补法构建面积模型;第三步，利用函数性质分析面积最值.

题型二：等面积问题

等面积问题，重点突出了图形的面积相等. 图形面积模型往往难以直接构建，需要通过等量转化来简化模型. 采用的方法为等积转化法，若三角形同底，则对应高相等，可作底边的平行线，推导直线解析式;若为高相等，则可推知底相等，此时可考虑图形的中点.

例2  如图3所示，已知抛物线y=ax2+bx（a>0）与双曲线y= 相交于点A和B. 已知点B的坐标为（-2，-2），点A位于第一象限內，且tan∠AOx=4，过点A作直线AC∥x轴，与抛物线的另一交点设为点C.

（1）求双曲线和抛物线的解析式;

（2）求△ABC的面积;

（3）分析抛物线上是否存在一点D，使得△ABD的面积等于△ABC的面积. 若存在，请求出点D的坐标;若不存在，请说明理由.

解析：（1）简答，根据点坐标与两曲线的相交关系可得双曲线的解析式为y= ，抛物线的解析式y=x2+3x.

（2）可求得点C（-4，4），A（1，4），则线段AC=5，又知点B（-2，2），则点B到AC的距离为6，即△ABC底边上的高为6，所以△ABC的面积为S= ×5×6=15.

（3）探究△ABD的面积等于△ABC的面积时点D的坐标，可将两个三角形视为是同底AB. 由面积相等可知点C和D到底边AB的距离相等，即直线CD必然平行于AB.

过点C作CD∥AB，与抛物线的交点就为点D，如图4所示. 可推知直线AB的解析式为y=2x+2，则直线CD的斜率k =2，结合点C坐标可得直线CD的解析式为y=2x+12，与抛物线解析式联立，可得x=3或x=-4，即点坐标为（3，18）或（-4，4），其中（-4，4）为点C，舍去，所以点D的坐标为（3，18）.

评析：上述第（3）问探究△ABD与△ABC面积相等时点D的坐标，采用了直线平移法. 这是基于两三角形存在相同的底，故可推得高相等，进而转化为两线平行. 其中隐含了“平行线之间，距离处处相等”的性质定理. 建立几何特性与等面积之间的关联是问题突破的关键点，也是平面几何性质在函数中的应用体现.

题型三：面积比值问题

面积比值问题十分常见，通常给出面积之比的条件，探究动点坐标或线段长. 解析关键是将面积比转化为线段比，通常采用等比转化的方法. 若图形相似，可将面积比转化为线段比;若有等底或等高，则可以转化为高之比或底之比.

例3  在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4过点A（3，4），与x轴相交于点B（-1，0），与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D.

（1）求抛物线解析式;

（2）如图5，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD，与AB交于点Q，连接AP，当S =2S 时，求点P的坐标.

解析：（1）将点A和B坐标分别代入抛物线解析式，即可求得解析式，即y=-x2+3x+4.

（2）由S =2S 可得S = ·S ，△AQD和△APD在PD上有相同的高，则 = . 过点P和Q分别作PM⊥DB于点M，QN⊥BD于点N，如图6，则有 = = . 由点A和B可得直线AB的解析式为y=x+1，设点P（m，-m2+3m+4），结合点D坐标可得直线DP的解析式为y= x+ ，可推得点Q的纵坐标为 ，即QN= ，PM=-m2+3m+4. 所以 = ，解得m=1± ，点P在直线AB上方抛物线上，则-1

评析：上述第（2）问在解析面积之比时，先进行面积转化，再进行等比转化，是对三角形面积公式的变相应用. 求面积比值条件下的动点坐标，可采用设参法，即首先设定坐标参数，推导相关线段长，然后基于面积比值条件构建关于坐标参数的方程，进而解方程求解.

解后反思，教学建议

上述基于二次函数面积问题的三种类型进行了解法剖析，并结合实例进行了思路讲解，下面进行深入反思.

1. 挖掘问题本质，总结知识要点

二次函数的面积问题涉及函数与几何两大部分的知识，面积问题实则就是坐标系背景下的几何类型问题，解析的重点是二次函数的性质、图形的面积属性、几何性质等. 教学中要引导学生认识问题本质，总结问题的知识要点，如函数解析式的求法，面积模型构建方法，解方程的技巧、函数最值的解法等，帮助学生夯实基础，为后续的综合探究做铺垫.

2. 剖析问题类型，归纳问题解法

二次函数面积问题类型众多，不同类型的解法也不相同，故基于问题类型开展解法探究十分重要，如上述总结了面积最值、等面积、面积比值三种类型的解法，并结合实例探究破解思路. 数学教学中建议参考上述探究模型，采用“类型归纳—解法探究”的模式，有针对性地剖析问题，探究破解方法，同时可结合对比探究方式，分析解法异同，帮助学生形成解题策略，构建完善的方法体系.

3. 关注数学思想，提升数学素养

二次函數面积问题的破解过程需要用到一定的数学思想，如数形结合、模型、方程、等量转化等思想. 利用数形结合整体分析问题，基于模型思想构建面积模型，从而转化面积条件，构建方程求解，这是数学思想链的分析过程. 教学中建议重点讲解数学思想的使用技巧，引导学生结合思想内涵分析问题，让学生逐步感知思想，体会数学思想的价值，在潜移默化中提升学生的数学素养.