与李超代数osp(2,2)相关的超Dirac方程族

赵敬文，虞 静，刘建贞

(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

构造新的可积方程族一直是孤立子与可积系统领域的热门研究。主要是从谱问题的空间部分出发，应用谱问题空间和时间部分的相容性条件，构造出一个可积方程族，并通过迹恒等式将方程族表示成哈密顿结构[1]。该方法在2008年被推广到超李代数B(0,1)上[2]。1928年，Dirac方程被提出以来，关于Dirac方程的n重达布变换和孤立子解受到广泛关注[3-5]，同时基于李超代数B(0,1)上的超Dirac方程族的构造[2]及其双非线性化[6]等方面也被深入研究。正交辛李超代数osp(2,2)作为另一种类型的超李代数，由Scheunert在1978年提出[7]。目前学者们针对李超代数osp(2,2)的超AKNS方程族及其非线性化[8]的研究比较多，而基于该李超代数的其它类型的超可积方程族研究甚少。故本文试图构造基于osp(2,2)的超Dirac方程族，并通过超迹恒等式，将其表示成超哈密顿结构。

1 与李超代数osp(2,2)相关的超Dirac方程族

李超代数osp(2,2)的基由8个4阶方阵组成[9]，文献[8,10]给出了8个4阶方阵的具体形式。为了构造与该李超代数相关的超Dirac方程族，本文考虑如下的空间矩阵谱问题：

φx=Uφ,U=U(u,λ)=pe1+(λ+q)e2+(-λ+q)e3+α1e5+α2e6+β1e7+β2e8

(1)

式中，e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8是李超代数osp(2,2)的一组基，u=(p,q,α1,α2,β1,β2)T是1个位势向量，p,q是偶位势，α1,α2,β1,β2是奇位势，λ是1个谱参数，φ=(φ1,φ2,φ3,φ4)T是1个向量特征函数。

为了导出与李超代数osp(2,2)相关的超Dirac方程族，首先解驻定方程：

Vx=[U,V]=UV-VU

(2)

式中，

V=Ce1+(A+B)e2+(A-B)e3+De4+Ee5+Fe6+Ge7+He8

(3)

A,B,C,D,E,F,G,H是待定的关于位势及其导数的函数。

将U和V代入式(2)，可得：

(4)

令

(5)

将式(5)代入式(4)，并比较λ的同次幂系数，可得：

(6)

式中，j≥0。不难得到递推关系式：

(7)

L31=α1+2α2∂-1q,L32=α2-2α2∂-1p,L33=q-α2∂-1α2+β1∂-1β1,

L34=-∂-p+α2∂-1α1+β1∂-1β2,L35=-α2∂-1β2-β1∂-1α1,L36=α2∂-1β1-β1∂-1α2,

L41=-α2-2α1∂-1q,L42=α1+2α1∂-1p,L43=∂-p+α1∂-1α2+β2∂-1β1,

L44=-q-α1∂-1α1+β2∂-1β2,L45=α1∂-1β2-β2∂-1α1,L46=-α1∂-1β1-β2∂-1α2,

L51=β1+2β2∂-1q,L52=β2-2β2∂-1p,L53=-α1∂-1β1-β2∂-1α2,

L54=-α1∂-1β2+β2∂-1α1,L55=q+α1∂-1α1-β2∂-1β2,

L56=-∂-p+α1∂-1α2+β2∂-1β1,L61=-β2-2β1∂-1q,L62=β1+2β1∂-1p,

L63=-α2∂-1β1+β1∂-1α2,L64=-α2∂-1β2-β1∂-1α1,

L65=∂-p+α2∂-1α1+β1∂-1β2,L66=-q+α2∂-1α2-β1∂-1β1

从式(6)中不难得到B0,x=D0,x=0，故可取初始值B0=D0=0，并取所有的积分常数为0，这样就可以唯一确定所有Aj,Bj,Cj,Dj,Ej,Fj,Gj,Hj(j≥1)的表达式。下面仅列举前3项结果：

B1=D1=0,A1=q,C1=p,E1=α1,F1=α2,G1=β1,H1=β2,

D3=-α1,xβ2+α1β2,x-α2,xβ1+α2β1,x+pα1β2+pα2β1-qα1β1+qα2β2.

接下来考虑时间部分的谱问题：

φtn=V(n)φ,V(n)=(λnV)+

(8)

式中，

(9)

由式(1)和式(8)的相容性条件，得到零曲率方程：

(10)

将U和V(n)的表达式代入式(10)，得到方程族：

(11)

在式(11)中，取n=1，得到一个平凡的方程：

ut=(px,qx,α1,x,α2,x,β1,x,β2,x)T

(12)

在式(11)中，取n=2，得到第一个非平凡的方程：

(13)

式中，Lax对由式(1)中的U和V(2)给出，其中V(2)为：

(β1λ-β2,x)e7+(β2λ+β1,x)e8.

观察式(13)，不难发现，当奇位势α1=α2=β1=β2=0时，方程即为：

这恰为著名的Dirac方程。故称方程(13)为超Dirac方程、方程族(11)为超Dirac方程族。

2 超Dirac方程族的超哈密顿结构

通过超迹恒等式将超Dirac方程族(11)改写成超哈密顿结构。超迹恒等式如下：

(14)

计算式(14)中各项，得到：

(15)

将式(15)代入式(14)，并比较λ-n-1项的系数，有：

(16)

式(16)中，令n=1，不难导出s=0，则有：

(17)

因此，超Dirac方程族(11)可表示成超哈密顿结构：

(18)

3 结束语

本文从李超代数osp(2,2)出发，首先构造了它的基矩阵的一个线性组合，并将之视为空间部分的谱矩阵。然后根据空间部分的谱问题和时间部分的谱问题的相容性条件，得到与李超代数osp(2,2)相关的超Dirac方程族。最后通过计算超迹恒等式，把超Dirac方程族表示成超哈密顿结构。同时发现，当超Dirac方程族中n为2且奇位势为0时，超Dirac方程族恰好为经典系统中的Dirac方程族。下一步将针对与李超代数osp(2,2)相关的超KN方程族以及超CKdV方程族展开进一步研究。