用数学文化滋养理性精神——《走进幻方》教学

文|戚洪祥

与常规知识相比，数学文化因其特有的趣味性、故事性而被学生所喜爱。为了落实《数学课程标准（2011年版）》提出的“数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中”这一要求，现行的各版本教材通过原题植入、方法融入、史料嵌入等方式，从多个角度将数学文化引入数学教育教学活动。由“河图”“洛书”演变而来的“三阶幻方”因其神秘的“幻和”，常常在中低年级教学整数加法时出现，用以激发学生的学习兴趣。恰巧2020年盐城市中考将“三阶幻方”编入考题，以此为生活背景，设计了一节五年级数学文化活动课。

【教学过程】

一、挑战考题，激发学生学习兴趣

师：同学们知道中考吗？中考虽然离咱们小学生很遥远，但中考数学卷上却有我们小学生会做的题。这是一道2020年盐城市中考题，请你试试看。

PPT出示题目：

把1~9这9个数填入3×3的方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”。它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”。图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则涂阴影的小方格内应该填（）。

图1

图2

A.1 B.3 C.6 D.无法确定

生：我选A。我是根据图1，看到涂阴影的小方格对应的是1个圆圈，所以我认为它应该填1。

（教师借助PPT将两个图重叠在一起，出示图3。师生一起读图，2对应着2个点……而阴影部分对应着1个点，所以应该填1）

图3

生：我也选A，但我的方法与他不同。我是根据“任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等”这个信息来算的，根据斜线上的8、5、2可以算出和是15，最右边一列已经有了2和7，所以右下角那一格为6。这时最下面一行有了8和6，那么中间一个数就应该是1。

师：感谢这两位同学，一道中考题，我们五年级的同学却能用两种不同的方法解决，真是非常厉害，老师为你们点赞。你能继续将这个九宫格填完吗？

（学生独立思考后回答，教师呈现完整的“九宫格”）

师：这个九宫格图其实我们并不陌生。一年级时，我们就会填“九宫格”（出示图4）。到了四年级时，我们还学会了借助计算器从加法的角度探究“九宫格”的奥秘（出示图5）。

图5 苏教版四年级下册第43页

师：像这样横、竖、斜格中数的和都相等的方格图，在数学里叫“幻方”，相等的和叫“幻和”。“九宫格”的横、竖、斜都有三格，所以又叫“三阶幻方”，我们今天一起走进幻方，探索其中的奥秘。

二、问题引学，探究三阶幻方奥秘

1.独立观察，初探奥秘。

师：三阶幻方可不只有同学们填的这一种（PPT出示图6），观察一下，你发现了什么？

图6

生：每种填法横、竖、斜格中数的和都等于15。

师：是的，这个15就是三阶幻方的幻和。

生：我发现对角都是1和9、2和8、3和7、4和6这样一对一对的。

师：这一对一对有什么相同点？

生：它们的和都是10。

生：我发现5都在正中间一格。

师：一对的两个数和为10，再加上中心位置的5，所以幻和是15。

2.自主学习，突破难点。

师：有人研究过三阶幻方的所有填法，发现5如果不在中心位置，就填不起来了。你有什么疑问吗？

生：为什么三阶幻方的中心一定是5？

师：这个问题真好！请大家四人小组借助《学习单》研究一下。

生：我们选择的是第二种填法。中间横行的三个数分别是（9，5，1），中间竖行的三个数是（3，5，7），斜格的两组数分别是（4，5，6）和（8，5，2），这四组数的和是60。

生：我们选择的是第一种填法，和也是60。

生：我们也是60，我们选的是第四种。

生：其实每一种填法的和都是60，因为三阶幻方的幻和是15，四组数就是4个幻和，15×4=60。

师：感谢这位同学的解释，继续汇报第二个问题。

生：1至9的和是45。

生：我们发现4个幻和中5出现的次数最多，它出现了4次，其余每个数都只出现了1次。

生：60比45多了15，就是因为5多出现了3次，所以中间数一定是5。

师：（PPT演示）中间横行、中间竖行、两个斜格一共有12个小方格，它们的和是60。所有的方格都被圈到了，它们的和是45，处于中心位置的方格被圈了4次，也就是多圈了3次，所以相差的15就是中心方格中数的3倍，中间位置的数一定是5。

3.读思结合，理解填法。

师：三阶幻方的神奇奥秘一下子被大家发现了。如果没有这几个图做参考，你们能不能用1~9这9个数，也填一个三阶幻方呢？

（学生独立尝试，同桌检查）

师：这里有三阶幻方的几种填法，我们一起来了解一下。先来看名气最大的“杨辉填法”（PPT出示图7），谁来读一读？

图7

师：对照上面的图，你能看明白每句话的意思吗？动手试一试。

（学生动手尝试，同桌交流）

师：（PPT出示）“好玩的数学”系列丛书中的《幻方与素数》介绍了这样一种填法，谁读一读？

生：戴9履1，左3右7，2、4为肩，6、8为足，5在中间。

师：这段话比“杨辉填法”难懂一些，谁能结合填好的三阶幻方解释一下？

（学生尝试解释）

师：戴，就是头上戴的东西，也就是头的位置；履，就是鞋的意思，指向下面一行的中间。把三阶幻方想象成人，根据人体的各部分来记忆每个数的位置，也是我国古代数学家的创举。

4.实践应用，体验填法。

师：你还有什么问题吗？

生：三阶幻方是不是一定要用1~9这9个数？

生：有没有四阶幻方、五阶幻方？

师：好问题！我们依次来研究，对于第一个问题，你们觉得呢？

生：我觉得2~10也行。

生：只要9个数是等差数列就一定行。

师：请你用5、15、25、35、45、55、65、75、85这9个数来填一填。

生：（展示填法，如图8）中间数为45，幻和为135。

图8

三、学法迁移，自主探究四阶幻方

1.整体观察，自由表达。

师：会不会有四阶幻方呢？（PPT出示图9）老师这里就有一

图9

个，谁来介绍一下它？

生：它有四行，每行四个数。

生：填的数是1~16这16个数。

生：与三阶幻方不同，它没有中间一个数，因为4是偶数。

生：它的幻和是34。

师：请大家验证一下，它的幻和是不是34？

生：（验证并汇报）每行、每列、斜行四个数的和都是34。

生：我还发现左上角的四个数16、2、5、11这四个数的和也是34。

生：每个角上四个数的和都是34。

师：是的。在这个四阶幻方中，不止每行、每列、斜行四个数和相等，左上、左下、右上、右下四个区域方格中数的和也都等于幻和。（PPT借助不同的颜色相机呈现）

2.读图辨析，自悟填法。

师：想不想知道四阶幻方是怎么填的？（PPT出示下图）请大家仔细观察，试着用简短的语言总结一下四阶幻方的填法。

生：先把16个数从小到大写成四行，然后先把四个角上的数对换一下，最后再把中间的四个数对换一下。

师：你说的对换是怎样的？

生：（演示）这样斜过来对换。

3.尝试应用，自破定势。

师：说得真好！老师在一年级的书上看到了这样的一个方格图（PPT出示图10），用刚才的方法进行变换，能将它变成一个四阶幻方吗？咱们先猜一猜。

图10 苏教版

一年级下册第78页

生：我猜不能，因为它们不是等差数列，中间少了11、21、31三个数。

师：看来许多同学都同意你的观点。猜想需要验证，请大家利用《学习单》上4×4的方格图，换一换，填一填。

生：我将3和39、9和33、15和27、17和25分别调换，然后计算发现横、竖、斜得到的和都是84，竟然是一个四阶幻方。（如图11）

图11

师：现在你想说什么？

生：填的数不一定是连续自然数，也不一定是等差数列的数。

师：是呀！幻方里的数是不固定的，但它们都有一定的规律。

四、归类填法，尝试构造奇阶幻方

1.归类填法，引出数学阅读。

师：回顾学习过程，你现在头脑中有没有产生新的问题？（PPT出示三阶幻方、四阶幻方图）

生：有没有五阶幻方？它应该怎么去填呢？

师：刚刚研究了三阶幻方、四阶幻方，自然而然就会想到有没有五阶幻方，甚至六阶、七阶，如果用从1开始的连续自然数去填，它们的幻和又会是多少？我在准备这节课的时候，也与同学们一样，产生了许多问题。有了问题怎么办呢？

生：上网查资料、看书。

师：这些都是好方法，老师喜欢用课外阅读来解决自己的问题。通过阅读《幻方与素数》这本书，我对幻方问题有了非常详细的了解。这是根据书中的内容，总结出了所有“奇阶幻方”的填法。（PPT出示填法）1居上行正中央，依次斜填不能忘；上出下补右则左，无路可走下一格。

奇阶幻方

师：请你来读一读，想一想每句是什么意思。

生：奇阶幻方，就是三阶、五阶、七阶这样的，奇数的幻方。

生：“1居上行正中央”的意思就是把1写在最上面一行的正中间位置。“依次斜填不能忘”，我的感觉就是应该要斜过来填。

师：你的感觉真好，就是要斜着向上填。

2.直观演示，准确理解填法。

师：后面两句是有难度的，下面我们以三阶幻方为例，借助演示，边读边填边理解。（PPT出示图12）

图12

3.实践体验，形成创造能力。

师：请用这样的方法，在《学习单》上自己构造一个三阶幻方或五阶幻方。

（学生尝试填，教师巡视并展示学生作品，略）

师：有兴趣的同学，课后可以用这样的方法尝试去创造一个更高阶的奇次幻方。