微型球形压缩机的几何模型与运动学分析

董耀辉，王陆一，赵远扬，李连生

（1.青岛科技大学 机电工程学院，山东青岛 266061；2.深圳市中安动力科技有限公司，广东深圳 518000）

0 引言

微型压缩机是指结构紧凑、几何尺寸较小的机器。不同于常规压缩机，它具有质量轻、体积小、易携带等特点，可满足在较小空间下的运行要求。

目前，国内外有许多机构和学者专注于微型压缩机的研究开发和工程化应用。在结构方面，回转式的性能一般优于往复活塞式，所以更受关注。美国Aspen公司研发的微型转子式压缩机［1］（14-24-000X），使用R134a工质，排量为1.4 cm3，应用该压缩机的制冷系统可以在38 ℃的环境温度下产生300 W的制冷量。国内的钟晓晖等［2］提出的微型三角转子式压缩机，也是典型的回转式结构，使用R22工质，系统在40 ℃的环境下同样可以产生300 W的制冷量，但该型压缩机还有许多问题亟待解决，处于研发实验阶段。

微型制冷系统一直是制冷领域研究的热点。桑岱等［3］综合分析了几种制冷方式在微型制冷系统的性能和表现，指出蒸气压缩式制冷明显优于吸收式和热电制冷，认为高能量密度的能量源和微型化压缩机将是未来蒸气压缩技术革新的关键。马泽昆等［4］使用KTN微型全封闭转子式压缩机，进行了自复叠制冷系统的实验研究，结果表明微型自复叠系统在32 ℃的环境温度下运行20 min可以得到-65.5 ℃的低温环境，为微型转子式压缩机和微型制冷系统实现更低制冷温度以及未来商用提供了依据。

微型压缩机在航天航空、军工、医疗、制冷等领域的应用十分广泛，微型化的进一步发展需要研究开发新结构的微型机械。

微型球形压缩机是基于球形变容积理论而发明的一种新的容积式微型压缩机［5］，具有零件少、运行稳定、变工况性能好等优点。该结构压缩机自发明以来，发明人已进行了一些研究工作［6-9］，但基于相同原理的微型球形泵的研究更深入一点［10-17］，且已有工程应用。针对球形压缩机，有关几何理论、动力学理论等详细推导尚无公开报道。

本文针对微型球形压缩机，在前人研究工作的基础上，进行了几何理论和运动学分析，以推动微型球形压缩机技术的发展。

1 几何理论及运动学分析

1.1 球形压缩机结构及工作原理

球形压缩机主要部件如图1所示，机芯组件由活塞轴、活塞、销轴（铰链）、转盘和转盘轴构成。

图1 球形压缩机零件Fig.1 Spherical compressor parts drawing

如图1，2所示，球形压缩机的压缩腔（又称容积腔或基元容积）由缸盖、活塞与转盘围成，活塞顶面、转盘侧面与工作腔内壁面具有相同的球心并形成密封动配合。活塞轴与竖直方向的偏角为α，缸盖上设有活塞轴孔，活塞轴可在此孔内绕自身轴线旋转。转盘底面伸出转盘轴斜插在主轴上的凹槽内。缸盖上设有吸气和排气孔口，工作时，电机带动压缩机主轴旋转，在主轴与活塞轴孔的作用与限制下，转盘与活塞做旋转运动，在旋转的同时转盘与活塞以铰链为支点做相对摆动，使容积腔大小随主轴转角变化，从而实现气体的吸入、压缩和排出。

图2 球形压缩机剖面Fig.2 Profile of spherical compressor

1.2 特征角度分析

活塞偏角α不仅影响压缩腔的容积，而且影响机芯内主要部件相对运动。如图3所示，此为初始状态时的压缩机活塞正视图，活塞的中心线是图中的虚线，图中α1为转盘与水平方向夹角，α2为活塞偏角，α=α1=α4=α，α1=π / 2-2α，即活塞切角（反映扇形活塞大小）为π-4α。可得α3=π-α1-2 α2+ α4=4α。即工作腔最大张角为 4 α，在运动过程中转盘与活塞的相对摆动为4 α。在其它尺寸参数不变的情况下，增大活塞偏角，工作腔最大张角随之增大，压缩机的吸气量也相应增加。

图3 特征角度示意Fig.3 Schematic diagram of characteristic angle

1.3 活塞运动分析

运动学分析是研究压缩机几何关系的重要方法，球形压缩机活塞的运动规律［9］如式（1）～（3）所示。

式中 ϕ——活塞转角，（°）；

θ——主轴转角，（°）；

α——活塞偏角，（°）；

ωφ——活塞角速度，rad/s；

ωθ——主轴角速度，rad/s；

aφ——活塞角加速度，rad/s2。

由式（1）～（3）得到不同偏角下的活塞运动情况，如图4～6所示，主轴每旋转180°，活塞都会旋转90°，活塞角速度ωφ总是在1/2 ωθ处上下波动，且不同活塞偏角会对运动过程中的参数变化产生不同的影响。活塞偏角越大，在活塞运动过程中，ωφ偏离1/2 ωθ的程度就越大，其角速度、角加速度的波动幅度也会变大。选取主轴转速为3 500 r/min，如图 5，6 所示，α =5°时，活塞角速度、角加速度的变化幅度约为1.4 rad/s和511 rad/s2。α=25°时，活塞角速度、角加速度的变化幅度约为36.1 rad/s和13 330 rad/s2。在压缩机运行稳定性和吸气量等多方面考虑，一般选取α的取值范围为 10°～20°。

图5 活塞角速度变化Fig.5 Change of piston angular velocity

1.4 工作腔夹角分析

根据主轴转角、活塞偏角、活塞转角3个参数，可推导出工作腔（容积腔）张角，进而求得工作腔容积的变化规律。

如图2所示，转盘斜插在主轴上，活塞通过销轴与转盘连接，三者的运动相互联系，但也可以单独表示。活塞绕自身轴线的转动，如图7所示，O点是活塞、转盘所在球的球心，X'Y'Z'坐标系是XYZ坐标系沿Y轴旋转α后得到的，OZ'方向与活塞轴方向一致，OZ'也是活塞转动的轴线，OY（OY'）方向是初始位置（θ=0°）时销轴的方向。当压缩机工作时，活塞以OZ'为轴线旋转，销轴在X'OY'平面内运动，活塞、销轴的运动都可以在X'Y'Z'坐标系中表示出来。在活塞运动过程中，如图7，8所示，向量 μ是从O点指向活塞壁面边线中点的向量，其可以代表转盘壁面的实时位置，σ，λ代表销轴、转盘轴位置的向量，ε是从O点指向转盘壁面边线中点的向量，可代表转盘工作腔壁面的位置。

图7 压缩机运动示意Fig.7 Schematic diagram of compressor movement

图8 向量示意Fig.8 Vector schematic diagram

在初始位置时，在X'Y'Z'坐标系中，代表闭合腔（张角为零）活塞壁面位置的向量：

当活塞运动时，壁面中心线向量可表示为：

该向量在XYZ坐标系中的表示可用下式求得：

其中Ry为坐标转换矩阵，其表达式为：

活塞壁面中心线在XYZ坐标系下可表示为：

由装配关系可知，销轴与活塞的运动完全一致，可通过相同的方法得到销轴在XYZ坐标系下的位置：

转盘运动可以在XYZ坐标系中直接表示，在XYZ坐标系中，转盘轴方向始终与垂直方向有α的夹角，其运动轨迹为以活塞所在球形球心为顶点的锥面，在初始位置（θ=0°）时，代表转盘轴的向量可表示为：

在转盘运动过程中，转盘轴的位置向量为：

由转盘轴和销轴的位置，利用空间向量积原理，可计算出转盘壁面的位置向量ε。

ε即代表转盘壁面实时位置的向量。

已知活塞壁面位置向量 μ2与转盘壁面位置向量ε，两向量之间的夹角可以通过夹角公式求得：

进一步得到工作腔张角（代表容积）随主轴转角、活塞偏角的变化关系。

图9 不同活塞偏角下工作腔夹角随主轴转角的变化关系Fig.9 Variation of working chamber angle with shaft rotation angle at different piston angles

2 几何模型

2.1 行程容积计算

行程容积是指压缩机转动一圈过程中吸入的气体容积，与压缩机的结构、尺寸等相关，如图10所示，球形压缩机的行程容积，只与球形活塞半径R、铰链横截面半径r以及活塞偏角α有关。该型压缩机的行程容积：

图10 R，r示意Fig.10 Schematic diagram of R and r

2.2 压缩腔容积与张角的关系

该模型工作腔结构比较规范，工作腔容积与夹角成正比，可以直接通过夹角计算出体积，如下式所示：

式中 V——工作腔容积，mm3；

K——转换系数，mm3/°；

β——工作腔张角，rad。

K代表工作腔内每单位角度内的容积，表征了工作腔容纳工质气体的能力，大小与压缩机结构有关，当压缩机结构及尺寸确定时，K也确定。如图10所示，K与工作腔所在球的半径R正相关，与铰链横截面半径r负相关。在设计球形压缩机时，应当从满足结构强度、最大吸气量等多个角度考虑R与r的取值，再通过K值和工作腔张角得到工作容积的大小。

2.3 α变化对容积的影响

由式（1）可知，活塞转角φ与主轴转角θ是近似1/2的关系，α的变化会对活塞以及转盘的运动过程产生影响。当α增大时，活塞角速度、角加速度（绝对值）的峰值、平均值以及变化幅度都将变大。α过大会导致转盘与活塞的相对摆动过大、密封面的宽度下降和活塞、转盘的不匀速转动增加，不利于压缩机的稳定运行及变频控制。当α较小时，活塞与转盘的运动会更加稳定，但会导致工作腔的最大容积变小，压缩机理论排气量减少。此外，α值还与排气口设置与内容积比大小相关，过大过小的α取值，都会影响压缩机的结构设计和特征参数（压力、排量等）。

2.4 泄漏线长度计算

球形压缩机的泄漏主要发生在活塞、转盘边线处，工作腔张角变化也会造成泄漏线的变化，单个工作腔中，根据几何计算，活塞及转盘边线泄漏线长度为：

工作腔张角变化造成的泄漏线长度：

另外，活塞镶块的存在也会产生泄漏线，泄漏线长度与活塞镶块的尺寸有关。

活塞镶块在单个工作腔中产生的泄漏线长度为：

式中 d——镶块在活塞面上的宽度，mm；

h——镶块在活塞面上的高度，mm。

压缩机泄漏线总长度L=2（L1+L2+L3）。

3 冰箱用球形压缩机几何参数计算

球形压缩机有可能在冰箱中获得应用。本文选取R134a为制冷剂，对球形压缩机在家用冰箱中的应用进行了初步计算。冰箱压缩机的制冷量（热负荷）和测试工况见表1。

表1 循环计算设计参数Tab.1 Design parameters of refrigeration cycle

压缩过程按等熵压缩考虑，R134a的等熵指数为1.18，通过查询R134a热力性质表，得到计算理想循环中有关压力、各点比焓值和过热蒸汽比体积等参数。

图11 制冷循环示意Fig.11 Schematic diagram of refrigeration cycle

选取压缩机主轴转速为3 000 r/min，即活塞转速为25 r/s，计算循环各点的状态参数，最终得到所需工作腔容积V0=4.01 cm3。

如表2所示，当活塞偏角α=15°时，选取R=21 mm，r=10 mm，工作腔最大容积为4.59 cm3，可以满足上述循环计算中对吸气量的要求。因为α，R和r这3个参数将影响工作腔容积的大小，R和r的取值及比例关系对压缩机结构、运行状态、泄漏线长度等都有影响，需在具体设计时对α，R与r进行优化。

表2 R，r取不同值时的工作腔最大体积Tab.2 Maximum volume of working chamber at different values of R and r

4 结语

球形压缩机是容积型压缩机的一种新结构，微型化发展前景广阔。本文用数学方法描述各部件运动，通过空间向量表述并推导工作腔扇形夹角的变化趋势，利用三重积分，可以准确求得不同结构参数下工作腔（压缩腔）的最大容积，分析了关键结构参数活塞偏角α对压缩机几何设计计算的影响，列出了泄漏线计算公式，并以冰箱压缩机为对象，进行了几何参数的简单计算。