新3D锯齿离散超混沌系统及其在保密传输中的应用

闫文浩, 张艳鹏, 邢亚男，丁 群

(黑龙江大学 电子工程学院, 哈尔滨 150080)

0 引 言

混沌理论具有对初值的敏感、内禀随机性、遍历性、拓扑传递性和正的李氏指数等特性[1-3],被广泛应用到保密通信中[4-11]。混沌同步是混沌保密通信的基础，研究起步于20世纪90年代，美国科学家Peroca L M等证明了互相耦合的混沌系统，在一定条件下可以产生同步现象[12-13]。在混沌同步方法中，从驱动—响应同步法、主动—被动同步法、反馈同步法、耦合同步法到自适应同步法、脉冲同步法、广义同步法、基于状态观测器的同步法等[14-20]，混沌同步方案包括电路混沌同步、激光混沌同步等[3,21-22]。离散混沌系统同步研究有连续混沌系统离散化同步和(直接)离散混沌系统同步2种方法，本文对连续混沌系统离散化同步方法开展研究。混沌系统同步主要基于模拟电路与数字电路两种实现方式，目前均以理论研究和仿真实验占有主导地位。

Angeli A D等[23]指出，大多数研究一直专注于模拟电路系统，影响实际应用，在通信方案表现出内在的弱鲁棒性，即不可避免地出现错误电路元件的值，以及产生的干扰通过通信链路可以严重影响同步过程，并能使其无效。在实际应用中，由于电路元件的差异及电路受到环境的影响，在同步通信中使得电路系统的元器件特性产生变化，使同步电路固有参数失配，在实际应用面临较大的困难。文献[24-26]阐述了混沌保密通信同步方案的同时也强调了数字混沌应用前景。数字混沌的前提是离散混沌系统的实现，由于离散系统能够实现参数的严格匹配，具有比连续系统更多的优势，所以开始转向离散非线性映射混沌系统同步研究。

在离散混沌同步研究的基础上，需要面向实际研究一种简单易实现的同步算法求解同步问题并分析类比同步性能指标。对经典传统离散化同步系统进行对比分析，设计性能优良的同步控制器及保密通信系统。

本文主要基于安全通信的背景，以适合于离散混沌系统同步传输为主要目的展开研究。提出了一种基于锯齿混沌的3D离散超混沌系统。并通过平衡点分析、Lyapunov指数分析以及近似熵分析，验证了此系统是一个离散超混沌系统。利用驱动—响应法建立了主从系统的同步，为图像的保密传输方案奠定了基础。通过理论证明和数值仿真验证此方法的有效性，通过相关仿真实验分析证明了此系统的安全性和可行性。

1 新3D锯齿离散超混沌系统

离散混沌系统可在加密传输系统中使信号同步，也可作为密钥序列发生器对明文信息进行加密。基于锯齿混沌的方程结构和Henon映射，通过进一步研究与比较，设计了一种基于锯齿混沌的3D离散超混沌系统，可表示为

(1)

其中:a,b,c,d,e均为系统参数；N为正整数，取N=2。

1.1 混沌的证明

Lyapunov指数(LE)是证明混沌存在的广泛使用的指标。它度量了一个动力系统从极其接近的初始状态出发的两个轨迹的平均收敛速度。用LE的定义来证明系统(1)是混沌系统。

定义1：如果一个动力系统满足:①相平面是整体有界的;②至少有一个正的LE。那么它就是混沌的。

推论1：如果动力系统有多于一个正 LE，就会产生超混沌行为。

命题1:若系统(1)满足系统参数cd>1,则系统(1)是混沌系统。

证明：显然系统(1) 是全局有界的，该系统的Jacobian 推导如下

(2)

系统(1)从观测时间0 到观测时间k-1 的Jacobian矩阵乘法为

(3)

令γ1(Φk),γ2(Φk)和γ3(Φk) 是矩阵Φk的3个特征值，则系统(1)的3个LEs计算如下

(4)

则有

(5)

当系统参数cd>1时，LE1+LE2+LE3>0,则LE1,LE2,LE3至少有一个正的。

1.2 相图

当系统参数a=0.3,b=0.1,c=2.3,d=0.5,e=0.5，且初始状态(x0,y0,z0)=(0.3,0.7,0.6)时，系统(1)的动力学轨道见图1。 由图1可见， 系统1 的输出序列基本充满(0,2)整个空间，说明该系统具有很好的遍历性。初始值相差δ=10-3对输出序列的影响见图2。由图2 可见，该系统是对初始值敏感的。

图1 锯齿混沌的3D离散超混沌系统坐标投影

图2 锯齿混沌的3D离散超混沌序列演化

1.3 Lyapunov指数分析

在非线性动力学理论中，LE用定量的方法描述相空间中轨道的无穷小偏差。相空间中的两个轨道彼此靠近，随着时间的推移将呈指数分离。LE值越大，相空间轨迹分布越快,表明系统对初始条件越敏感。取d=1,锯齿混沌的3D离散超混沌序列的LEs见图3。由图3可见，在参数c>1时，系统至少有一个正的LE,与1.1节的理论证明相吻合。因此，当参数c>1时，系统1处于混沌状态。

图3 锯齿混沌的3D离散超混沌序列的LEs

1.4 近似熵分析

对序列进行近似熵分析，以检验二进制序列的复杂度。不同于其它的非线性动力学参数，近似熵主要是从衡量一个时间序列复杂度的角度来度量信号中产生新模式的概率大小。如果时间序列的熵值越大，说明此时间序列随机性越强，能够产生出新模式的概率越大。假设原始序列为{xi}，预先给定模式维数(m=2)和相似容限r，近似熵的值与参数m,r和N的选取有关，近似熵测试结果见表1。

表1 锯齿3D离散混沌序列近似熵分析值

由表1可见，系统(1)在两种r值情况下，由该混沌系统产生的3个混沌序列的近似熵基本相同，即3个序列的复杂度基本相同，并且随着序列长度的增加，逐渐趋向稳定，同时复杂度均很高，满足保密通信的要求。证实了该混沌系统所产生的3个混沌序列都可以应用于产生序列密码，并且达到一定长度时，复杂度相对较好。

2 3D锯齿离散超混沌系统的同步

以该超混沌离散系统为例，实现非线性反馈方法的同步。其中，驱动系统为

(6)

则响应系统：

(7)

控制律为

(8)

定义系统误差ei(k-1)=yi(k-1)-xi(k-1)(i=1,2,3),则驱动系统(6)和响应系统(7)的同步误差离散系统为

(9)

定理1：对于线性离散系统

e(k)=Ae(k-1)

(10)

其中，A∈Rn×n是系数矩阵。如果A的所有特征值的模≤1，那么系统(9)是渐进稳定的。

证明：设V(e(k-1))=eT(k-1)e(k-1)则

V(e(k))-V(e(k-1))=eT(k)e(k)-eT(k-1)e(k-1)=eT(k-1)ATAe(k-1)-eT(k-1)e(k-1)

由矩阵A的所有特征值<1，可得矩阵ATA的所有特征值λ(ATA)为≤1的正数。所以

V(e(k))-V(e(k-1))=eT(k)e(k)-eT(k-1)e(k-1)=eT(k-1)ATAe(k-1)-

eT(k-1)e(k-1)≤(λmax(ATA)-1)eT(k-1)e(k-1)<0

即由Lyapunov稳定性判断可知，系统(10)是渐进稳定的。

根据定理1，误差系统(10)能够渐进稳定，即系统(6)和系统(7)能够达到同步。运用Matlab 2016a软件实现系统仿真，设混沌系统(6)和(7)的初值分别为：(x10,x20,x30)=(0.4,0.5,0.2),(y10,y20,y30)=(0.3,0.7,0.6),同步误差的仿真结果见图4，同步误差很快趋于0。

图4 驱动—响应系统的同步误差

3 离散混沌加密传输系统

以彩色图像加密传输系统为例，离散混沌图像加密传输系统框图见图5。彩色图像分为R，G，B3色分量，每个分量由像素矩阵值组成，分别表示为Rn×m(x,y),Gn×m(x,y),Bn×m(x,y),其中n为矩阵的行数，m为矩阵的列数，n×m为图像的像素个数。彩色图像先转换成3个颜色分量的矩阵，采用混沌序列加密算法，将图像的3个颜色分量矩阵按行排列顺序分别转换成整数值序列R(i)、G(i)、B(i)，其中i∈(0,n×m)。选取像素值的范围为0～255，每一位的像素值可以转换成8位二进制数，此时获得基于彩色图像的二进制序列R(i)、G(i)、B(i)，其中j∈(0,n×m×8)。基于锯齿离散混沌系统的x2序列，经过区域量化后产生二值序列用来异或加密，分别对R，G，B3个颜色分量做同样处理，得到的是3个颜色分量加密后的序列值，按8 bits组成一个十进制数，还原成图像序列值及图像像素矩阵，合成得到加密后的彩色图像。将加密后的图像与混沌序列做一次异或运算还原原始图像。

图5 离散混沌图像加密传输系统

量化：区间量化法的数学表达式[27-28]为

(11)

加密：

(12)

解密：

(13)

其中：i∈(0,n×m)，j∈(0,n×m×8)，将加密后的图像二进制序列E(j)按每8 bits转换成十进制整数序列，再转化成n×m阶的矩阵，将3个颜色方向矩阵合并成彩色加密图像。

选择以标准的Lena(256×256)图像为例进行加解密实验见图6。图6(a)为原始图像，在同样量化方法下给出Logistic，Henon-X，锯齿混沌3D离散超混沌(mod1)x2序列及(mod2)x2序列作为加密序列，其序列加密效果见图6(b)～图6(e)。经锯齿混沌3D离散超混沌序列(mod2)x2序列解密效果见图6(f)。由图6可见，Logistic混沌序列的加密结果中能看见人物的轮廓；Henon-X序列加密的结果可清楚的辨认出原图的人物信息；锯齿3D离散超混沌系统 (mod2)x2序列和锯齿3D离散超混沌系统(mod2)x2序列加密已经完全无法获得任何原图的信息，并且能正常解密。

图6 混沌序列图像加密结果

4 离散混沌加密传输系统安全性分析

对离散混沌图像加密进行安全性分析，主要包括图像加密直方图分析、密钥空间分析、密钥敏感性分析和相关性分析。

4.1 直方图分析

直方图是图像像素的统计特征和分布情况的一种表现形式。彩色图像要分别从R，G，B3个颜色分量表示直方图。一幅明文图像直方图的分布是非均匀的，体现了图像像素分布特点，对于加密后的图像，应该是趋于均匀的分别对混沌序列图像加密结果的R，G，B3个颜色分量和原始图像Lena进行直方图分析，分析结果见图7、图8。由图7、图8可见，根据原始图像以及加密图像的直方图结果，锯齿3D离散超混沌序列(mod2)加密后的图像直方图明显均匀化有很大幅度提高，均匀化程度明显，有更好的加密效果。

图7 原始图像的直方图

图8 加密后图像的直方图

4.2 密钥空间分析

密钥空间的大小影响着加密算法的安全性和抵抗穷举攻击的能力。选择锯齿3D离散超混沌系统X序列加密，该混沌系统初值x0，y0和z0作为密钥，如果密钥长度为64 bits，那么密钥空间为2192，远大于2100。密钥空间是以指数幂次增长，大小足以抵抗穷举攻击。

4.3 密钥敏感性分析

密钥敏感性是加密算法安全性分析的重要指标，密钥敏感性越高表明加密算法的安全性越高。采用的混沌序列加密算法，其密钥为系统初值(x0,y0,z0)=(0.3,0.7,0.6)，仅对初值x0做微小的改变，将加密密钥变成(x0,y0,z0)=(0.3×10-5,0.7,0.6)，密钥敏感性测试结果见图9，在密钥微小改变的情况下，无法获得正确的解密结果。

图9 解密结果

4.4 相关性分析

图像像素相关性的分析是加密图像加密效果分析的重要指标。相邻两点像素的相关系数为

(14)

其中：x和y分别为相邻两点的像素值；E(x)和E(y)为数学期望；D(x)和D(y)为方差；N为像素对的数量。

(15)

(16)

分别作原始图像以及用混沌序列加密后的图像的相邻像素分布图。由于图像像素分布特点以及相关性的特点，分别从垂直方向、水平方向以及对角线方向图形进行分析。利用提到的锯齿混沌3D离散超混沌 (mod2)X序列作为加密序列进行分析。

加密前相邻像素相关性分布见图10，分别是在水平方向、垂直方向、对角方向，原始图像的R，G，B3个颜色分量像素相关性分布图。由图10可见，原始图像的相邻像素点分布较为集中，具有较大的相关性。加密后相邻像素相关性分布见图11，分别在水平方向、垂直方向、对角方向，经过混沌序列的加密之后的图像在R，G，B3个颜色分量上的相邻像素点分布较为分散，相关性明显下降。

图11 加密后相邻像素相关性

根据以上加密结果的安全性分析，可见离散混沌系统在离散混沌同步的基础上对图像加密传输同样有应用价值，本文提出的锯齿混沌3D离散超混沌(mod2)序作为加密序列，相对于一维Logistic序列加密和二维Henon混沌序列加密具有一定优势。

5 结 论

提出了一个基于锯齿的3D离散超混沌系统，从3个角度对其进行分析，验证此混沌系统是超混沌系统,且具有很好的复杂度。通过驱动—响应法建立了同步，从理论和实验仿真方面确立了此算法的可靠性，且同步时间较快。将此同步算法应用于图像加密的保密传输方案中，由仿真结果可见，解密出来的图像几乎与原图像保持一致，成功实现了保密传输，具有很强的安全性及可行性。