释疑解惑完善体系

宋扬

摘  要：人教A版《普通高中教科书·数学》中的条件概率内容从条件概率的定义出发，衍生出概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，使概率知識体系更加完善，更利于解决实际问题，反映出着眼学生核心素养的时代要求.

关键词：条件概率;概率乘法公式;全概率公式;贝叶斯公式

研读人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“新教材”）选择性必修第三册“7.1.1 条件概率”，发现第46页明确指出概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件[A]与[B]，若[PA>0]，则[PAB=][PAPBA]. 至此，笔者眼前一亮，联想起一道概率高考题引发的热议，看到该公式对原来解释不清的概率问题释疑解惑、清澈见底，尤其以概率的乘法公式为逻辑起点，完善知识体系的强大功能，不禁为新教材的改编叫好.

考虑到新教材、新知识、新方法一定会给广大一线教师带来某种陌生感，为便于大家理解新教材、运用新教材，笔者谈谈自己的学习体会，谨供同行参考，不妥之处，敬请指正.

一、缘起一桩陈年“公案”

2006年高考数学北京卷理科第18题是一道概率试题，如下.

某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.

方案1：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过;

方案2：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.

假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是[a，b，c]，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.

（1）分别求该应聘者用方案1和方案2考试通过的概率;

（2）略.

应聘者用方案2考试，通过的概率是[P=13ab+13bc+][13ac]，并无悬念;问题出在对[13]与[ab]，[bc]，[ac]相乘关系的解释.

有的教师认为，完成此事分为选两科和考试通过，类比排列组合中分步乘法计数原理，得相乘关系;有的教师认为，选两科与考试通过是相互独立事件，得概率的相乘关系.

面对这些说法，首都师范大学马恩林老师撰文（见文[1]）做出了详尽的指正，并说明要解释[P=][13ab+13bc+13ac]的合理性，就要利用概率的乘法公式[PAB=PAPBA]. 如果设事件[D]为考试及格，事件[A，B，C]分别表示选出课程[A，B]，[C]，则选出课程[A，B]且考试及格的概率为[PABD=PABPDAB=13ab]，其余类推.

马老师的指正，直击肯綮. 但遗憾的是，当年的中学教材，并没有明确马老师介绍的、出现在大学教材中的概率乘法公式，只有限定事件[A，B]独立的概率乘法公式[PAB=PAPB]. 因此，马老师在文[1]中给出“现行教材中，两个概率能够相乘的唯一理论依据是独立事件的概率乘法公式”的结论，于是，一道高考题的解法不能用现行（当年）知识解释，引发了热议.

马老师曾在文尾谨慎地指出，不排除存在着我们尚不了解、但能够用中学数学教材中概率论的基础知识作为依据的正确解释. 并希望通过此文抛砖引玉，但无奈当时回应者寡，终归不得要领，致使这道高考题成为概率教学的一桩“公案”.

现在看来，马老师留有余地的预判是正确的. 因为我们当年只需要对条件概率的计算公式[PBA=][nABnA=PABPA]去分母变形，即得不限事件独立的概率乘法公式[PAB=PAPBA]，但是当年却被这样一层“窗户纸”蒙蔽，以致造成该公式“犹抱琵琶半遮面”般隐匿其间，至今才真相大白.

二、条件概率地位升华

新教材中，概率乘法公式撕掉面纱，化茧成蝶，成为重要的概率计算公式，不仅使这桩“公案”尘埃落定，还使得条件概率的教学地位陡然提升.

我们不妨还按照原教材中条件概率的计算公式（不做去分母变形）继续分析学生当年的学习状况，学生在古典概型的基础上学习条件概率，只需按照古典概型的方法，在事件[A]发生的前提条件下，得出缩小后的样本空间[A]，于是，求[PBA]就是以[A]为样本空间，计算事件[AB]的概率，即[PBA=nABnA]，这是一个新知识含量不多（仅限条件概率称谓），实则运用古典概型知识就可以解决的简单计算问题. 而公式[PBA=][nABnA=PABPA]形同虚设，最多是从特殊到一般的角度说明了[nABnA=PABPA]的演变的合理性，实则是没有下文的“断头路”. 由此造成“条件概率”在知识逻辑体系中的作用降低，甚至成为可有可无的点缀.

现在新教材的处理就不同了，条件概率的地位今非昔比，其计算公式[PBA=PABPA]演变成重要的概率乘法公式[PAB=PAPBA]. 该公式的一般性表现在于它的成立与否不以事件[A，B]是否相互独立为前提条件，甚至可以根据需要，把公式[PAB=PAPBA]转换成[PAB=PBPAB]，这就为该公式开辟了广泛的运用前景.

三、释疑解惑 清澈见底

例1  将仅颜色不同的5个白球、5个黑球混在一起，从中任意摸出一球，不放回地连续摸两次，求两次都摸出白球的概率.

分析：设[Ai i=1，2]代表第[i]次摸出白球，则据古典概型的知识，得出[PA1A2=A25A210=5×410×9=29];或改变试验方式，理解为一次摸出两个白球，也不改变概率，于是得到[PA1A2=C25C210=5×410×9=29].

从试验方式到样本空间，上述两种解法都无懈可击，都是学生应该掌握的方法. 但是，在教学实践中，经常有人把上述题目的解答过程表述为[PA1A2=][510×49=29]，教师通常的做法是默认答案正确. 但是，如何解释呢？

若把该解法理解为两次摸出白球的概率之积（因为第一次摸出白球的概率为[PA1=510]并无歧义），但这样必须有两次摸出白球的事件相互独立. 而事实上，第一次摸出白球与否，势必对第二次是否摸出白球造成影响. 显然，这样的解释是不能自圆其说的.

有了对任意两个事件[A，B]，只需[PA>0]，就有概率乘法公式[PAB=PAPBA]成立，我们解释解法[PA1A2=510×49=29]就变得轻而易举了. 因为[PA1A2=][PA1PA2A1=510×49=29]. 其中，[PA2A1=49]是缩小样本空间的产物.

例2  某种电器设备，电路开关闭合会引发红灯或绿灯的闪动. 已知开关第一次闭合，闪红灯和闪绿灯的概率都是[12]. 开关第二次闭合时，若第一次闪红灯，则再闪红灯的概率是[13]，闪绿灯的概率是[23];若第一次闪绿灯，则再闪红灯的概率是[35]，闪绿灯的概率是[25]. 求开关第二次闭合后闪红灯的概率.

分析：设事件[A]为“第二次闭合后闪红灯”. 显然事件[A]由事件“第一次闪红灯后第二次又闪红灯”和事件“第一次闪绿灯后第二次闪红灯”构成. 若学生根据两个事件互斥，得到解法[PA=12×13+1-12×][35=715]，教师该如何点评？

很明显，根据两个互斥事件构成和事件的概率等于两事件的概率和并无歧义，问题出在“第一次闪红灯”与“第二次闪红灯”（包括“第一次闪绿灯与第二次闪红灯）的概率为什么可以相乘？如果运用独立事件的概率公式来解释，显然是说不通的，因为第一次闪灯的颜色势必对第二次闪灯的颜色造成影响. 如果没有学习概率的乘法公式，这是无法避免的纠结.

正确的解法依然是要运用概率的乘法公式，即设[Ai i=1，2]代表第[i]次闪红灯，[Bi i=1，2]代表第[i]次闪綠灯，则有[PA=PA1A2+B1A2=PA1A2+PB1A2=][PA1PA2A1+PB1PA2B1=12×13+1-12×35=715.]

例3  已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？（选自新教材选择性必修第三册第47页.）

分析：欲说明中奖的概率与抽奖的次序是否有关，我们不妨任意设定一个抽奖顺序（如依“甲、乙、丙”顺序抽奖），然后计算他们各自的获奖概率，看是否与顺序有关.

解决此题，如果不用概率乘法公式，只能运用古典概型的知识，得[P甲中奖=A11A22A33=13]，[P乙中奖=][A12A11A11A33=13]，[P丙中奖=A22A11A33=13]. 这种解法虽然说明三人中奖的概率相同，但对任意选定的抽奖顺序“甲、乙、丙”的展示，却不够明确.

而借助概率的乘法公式就不同了，我们可以设[A，B，C]分别表示甲、乙、丙3名同学中奖的事件，任取抽奖顺序为“甲、乙、丙”，那么三人中奖的概率分别是[PA=13]，[PB=PAB=PAPBA=1-13×][12=13]，[PC=PAB=PAPBA=1-13×12=13].

如此求证，“甲、乙、丙”的抽奖顺序鲜明，计算简便，说明他们中奖的概率与抽奖的次序无关更有力度，概率的乘法公式功莫大焉.

四、逻辑奠基，完善体系

有了概率的乘法公式，我们就有了计算两个事件[A，B]都发生的概率的一般方法. 有时需要根据两个事件的发生顺序，来选择使用[PAB=PAPBA]或[PAB=PBPAB]. 由此联想，若三件事[A，B，C]都发生，概率如何求？自然可以根据实际需要，确定事件[A，B，C]的发生顺序，把该公式类似地推广为[PABC=][PAPBAPCAB]. 若求多个事件都发生的概率，亦可依此类推.

该公式揭示了两个条件概率之间的关系，在现实生活中有着广泛的应用. 至此，新教材完成了从条件概率到概率乘法公式，从概率乘法公式到全概率公式，进而到贝叶斯公式的推演，可谓逻辑贯通、“枝繁叶茂”. 对比新、旧教材的条件概率部分，感到随着课程改革的渐次深入，我们的教材也在日臻完善，反映出着眼学生核心素养的时代要求.

参考文献：

[1]马恩林，连四清. 概率计算中概率乘法问题的商榷[J]. 数学通报，2007，46（8）：55-56.