一道立体几何题的多视角解法探究

【摘 要】本文对一道立体几何题进行了深入的探究，从几何法、建系法、基底法等视角给出了解答，并对立体几何解题教学提出了一些建议。

【关键词】立体几何;几何法;建系法;基底法

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）16-0168-03

《中国高考评价体系》指导下的高考数学试题命题注重体现考查内容的基础性、综合性和全面性，重点考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力以及综合运用数学知识解决问题的能力，注重考查学生的数学素养和探究意识[1]。在数学解题教学中，教师要聚焦主干问题与方法，注重对学生的基础知识、基本能力和基本素养的训练，帮助学生建构全面合理的知识结构，同时也要注重学科内容的整合，引导学生从不同视角探求问题的

解法。

1   问题及分析

如图1，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，PA=PD=，E为PA的中点，点F在PD上，EF⊥平面PCD，M在DC的延长线上，且MC=CD。

（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD。

（2）证明：EF∥平面PBM。

（3）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值。

（4）过点C作BD的平行線，与直线AB相交与点G，①若点Q为CD中点，求E到平面PDQ的距离。②若点Q为CG上的动点，则二面角E-DQ-A能否等于60°？请说明理由。

问题分析：本题主要考查了空间中面面垂直和线面平行的证明、点面距离、线面角的求解及二面角存在性探究等问题，对学生的逻辑推理、数学运算、数学表达等能力提出了较高的要求。本题的每个小问的解法均不唯一，教师可以引导、鼓励学生从不同角度探求问题的解法，是一道典型的能够培养学生数学素养的好题。

2   问题解法探究

2.1  解题视角一：用几何法解题

解：（1）证明：∵ EF⊥平面PCD，CD平面PCD，∴ EF⊥CD，又∵ ABCD为正方形，∴ AD⊥CD，而AD与EF共面且不平行，故AD与EF相交，∴ CD⊥平面ADP，又CD平面ABCD，∴ 平面PAD⊥平面ABCD。

（2）证明：如图2所示，取BP的中点N，连接EN，过F作FK∥CD，连接NK，过A作AH⊥PD，∴ NF=AB

=1且NF∥AB，由题意知，EF=AH=，PF=

，又∵ ?PFK∽?PMD，∴ KF=1，则有，所以EF∥NK，又NK平面PBM，EF平面PBM，∴ EF∥平面PBM。

（3）将四棱锥P-ABCD扩成长方体ABCD-A'B'C'D'，如图2所示。因为EF∥AH，则求直线EF与平面PBC所成角正弦值的问题可转化为求直线AH与平面A'BCD'所成角正弦值的问题。过H作H'∥AD，过H'作

H'K⊥CD'，过D作DT⊥CD'，因平面A'BCD'⊥平面CDD'C'，且平面A'BCD'∩平面CDD'C'=CD'，所以H'K⊥平

面A'BCD'，DT⊥平面A'BCD'，即H'K，DT分别为点H'、

点D到平面A'BCD'的距离，由（2）可知AH=，则DH==，DH：HP=2：15，又因H'H∥D'P，?D'KH'∽?D'TD，

∴ ，且DT =，则

有H'K =，

又∵ AD∥平面A'BCD'，HH'∥平面A'BCD'，∴ 点A、H平面A'BCD'的距离分别为，，设直线EF与平面PBC所成角为θ，∴ sin θ=。

（4）①如图3所示，连接ED，EQ，过Q作QR⊥AD，连接RP，∴ QR=（AG+DC）=3，DQ== ，DQ==5，由秦九韶公式可知

，

设E到平面PDQ的距离为d，由VE-PDQ=VQ-DEP，得d==。

②如图3所示，过E作ES⊥AD，过S作SU⊥DQ，易知∠EUS为二面角E-DQ-A的平面角，由题意知ES=2，SD=，当点Q从G运动到C时，∠SDQ由∠SDG变为∠SDC，而sin∠SDG=，sin∠SDC=sin 90°=1，

∴ sin∠SDQ∈[，1]。假设二面角E-DQ-A能等于60°，则SU==，sin∠SDQ==。显然[，1]

∴ 当点Q在CG上运动时，二面角E-DQ-A不能等于60°。

2.2  解题视角二：通过建立空间直角坐标系解题

解：（1）同解题视角一。

（2）如图4所示，以AD中点O为坐标原点，以过点O且垂直于AD的直线为x轴，以OD为 y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则O（0，0，0），A（0，?1，0），B（2，?1，0），C（2，1，0），D（0，1，0），P（0，0，4），E（0，?，

2），M（，1，0），G（4，?1，0），设F（0，y，z），则=（0，y+，z?2），=（0，1，?4），∵ EF⊥PD，

∴ =0，即 y?4z=? ，又∵F在PD上，有4y+z=4，则F（，），∴=（0，，），又=（2，?1，?4），=（，2，0），设平面PBM的法向量为=（x1，y1，z1），由，得=（1，，

），由，知⊥，

∴ EF∥平面PBM。

（3）=（2，?1，?4），=（0，2，0），设平面PBC的法向量为=（x2，y2，z2），由，得=（2，0，1），又∵=（0，，），设EF与平面PBC所成的角为α，则。

（4）①由Q为CG中点，知Q（3，0，0），=（3，?1，0），=（0，?1，4），设平面PDQ的法向量为=（x3，y3，z3），由，得=（4，12，3），而=（0，，?2），设E到平面PDQ的距离为d，则d=。

②因Q为CG上的动点，可设，且0 ≤ λ ≤1，∵ =（2，?2，0），∴ =（2λ，?2λ，0），=+

=（2+2λ，?2λ，0），=（0，?，2），设平面EDQ的法向量为，由=（x4，y4，z4），，得=（4λ，4+4λ，3+3λ），平面ADQ的法向量可取=（0，0，1），假设二面角E-DQ-A能等于60°，则有

，

经整理得5λ2?22λ?11=0，解之得λ1=，

λ1=，λ1，λ2[0，1]，所以当点Q为CG上运动时，二面角E-DQ-A不能等于60°。

2.3  解题视角三：利用基底法解题

解：（1）同解题视角一。

（2）在Rt?POD中，OD=1，OP=4，PD=，

∴ cos∠ODP=，=，=2，=2，由（1）知CD⊥PD，CD⊥AD，如图4所示，以，，

为基底，∴，，，则=，，，设平面PBM的法向量为，由，得=，

由，知⊥，∴ EF∥平面PBM。

（3）由（2）知，，

设平面PBC的法向量为，由，得，又，设直线EF与平面PBC所成角为θ，则有sin θ=

。

（4）①，设平面PDQ的法向量为，由，得，又，设E到平面PDQ的距离为d，则d==。②设，且0 ≤ λ ≤1，即，所以，，设平面EDQ的法向量为，由，得

，因OP⊥平面

ADQ，可取作为平面ADQ的法向量，=，假设二面角E-DQ-A能取到60°，则有

=，

整理得5λ2?22λ?11=0，解之得λ1=，λ1=，λ1，λ2[0，1]，∴ 當点 Q 为CG上运动时，二面角E-DQ-A不能等于60°。

3   对立体几何解题的教学建议

立体几何是高中数学的主干内容，是培养学生逻辑推理、数学运算、数学建模、直观想象等核心素养的重要载体，教师可在立体几何解题教学中通过一题多变、一题多解等方式引导学生全面思考，尽可能探求同一问题的多种解法，让学生在较少的题量训练中获得较大进步。

几何法、建系法、基底法是解决立体几何问题的常用方法。运用几何法解题需有一定的平面几何、立体几何相关知识;运用建立空间直角坐标系法解题的关键在于如何建系及求点的坐标;运用基底法解题需要几何体中具有三条长度已知的不共面且两两夹角可求的线段作为基底。在立体几何解题教学中，教师需引导学生从多个视角去探求问题的解法，培育学生的数学核心素养。

【参考文献】

[1]人民教育出版社课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书数学必修2[M].北京：人民教育出版社，2009.

【作者简介】

杨清华（1986～），男，苗族，广西柳州人，本科，中学一级教师。研究方向：高中数学教学与解题。