利用Weingarten映射计算曲面主曲率的新方法
2021-09-22王利娟
【摘 要】本文主要是在Weingarten变换下，利用高等代数中的矩阵初等变换法来求解曲面的主曲率。具体是通过对Weingarten矩阵进行初等变换，得到其特征值，进而计算出曲面的主曲率，得到计算主曲率的一种新方法。
【关键词】Weingarten映射;矩阵初等变换;主曲率
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2021）16-0013-02
微分几何是应用性很强的一门数学专业课，由于其固有特点，学起来比其他课程更困难、更枯燥。如果能在保证教学质量的基础上加强与之前学过的课程的联系，如高等代数在微分几何中的应用，这样会增强学生对微分几何课程的亲切感，发挥学生的主观能动性，从而提高学生的学习兴趣，减轻学生的学习压力。本文介绍的是一种高等代数在计算曲面主曲率中的新方法。
1 基本方法阐述
在曲面的微分几何中，把曲面在每一点的单位法向量平移到以原点为中心的单位球面上的映射称为高斯映射。接下来，高斯映射的切映射将诱导两个切空间之间的线性变换，这个映射被称为Weingarten映射。
众所周知，满足σ（），=，σ（）的算子称为自伴算子，而在二维线性空间中，自伴算子的特征值为实特征值，Weingarten映射为自共轭的，这就保证了它的特征值为实特征值[1]。
定理1：在曲面S上任意一点P处，Weingarten变换的两个特征值λ1，λ2正好是曲面在P的主曲率，对应的特征方向是曲面S在P点的主方向[2]。
由Weingarten映射的定义可以导出Weingarten矩阵。
要求曲面S上任一点的主曲率，即求矩阵ω的特征值，传统方法是由|λI?ω|=0，求得ω的全部特征根，进而得到主曲率。本文通过对Weingarten矩阵进行初等变换求主曲率，得到求主曲率的新方法。此方法主要基于以下定义与定理[3]。
定义1：设λ—矩阵B（λ）=（bij（λ））是n阶方阵，若对任意i=1，2，…，n有①若bij（λ）为常数，则bij（λ）=1，且该元素所在列的其它元素为0，即bij（λ）=。
②若bij（λ）=φi（λ），φi（λ）为λ的非零次多项式，则bkj（λ）=0，k=i+1，i+2，…，n。则称B（λ）的第i列为规范列;若B（λ）的所有n个列都是规范列，则称B（λ）是规范λ—矩阵。
定理2：设A为n阶方阵，求A的特征值步骤如下：
①将（A?λE）规范化，化成规范λ—矩阵B（λ）。②若bii（λ）≠1，则令bii（λ）=0，i=1，2，…，n，方程bii（λ）=0的根，则为特征根。
2 举例
例1：求螺面（u，v）={ucos v，usin v，bv}的主曲率。
解：由（u，v）={ucos v，usin v，bv}得=（cos v，sin v，0），=（?usin v，ucos v，b），=
，=（0，0，0），=（?sin v，
cos v，0）=，=（?ucos v，?usin v，0）。于是E（u，v）
=?=1，F（u，v）=?=0，G（u，v）=?=u2+b2。L（u，v）=?=0，M（u，v）=?=，N（u，v）=?=0。
所以螺面的第一基本形式和第二基本形式如下：
I=du2+（u2+b2）dv2，II=dudv。
可见L：M：N≠E：F：G。由此便知螺面上所有点都非
脐点。
螺面的Weingarten矩阵为：
=，
（λE?ω）=
→
→
→，
令=0，
得螺面的主曲率：λ1=，λ2=。
另外，当正则曲面=（u，v）的坐标网既是正交網，又是渐近网时，即F=0，L=N=0。可直接得到特征值为λ1=，λ2=[4]，也可以根据此性质求出主曲率为λ1，λ2。
例2：计算抛物面z=x2?y2在点（1，1，2）处的主曲率。
解：设抛物面的参数表示为（x，y）=（x，y，x2+y2），
则=（1，0，2x），=（0，1，2y），=（0，0，2），==（0，0，0），=（0，0，2），×=（?2x，?2y，1），=，E=?=1+4x2，E=?=4xy，G=?=1+4y2，L=?=，M=?=0，N=?=。在点（1，1，2）处E=5，F=4，G=5，L=，M=0，N=。
对应的Weingarten矩阵为：
=，
（λE?ω）=
→
→
→，
令，得抛物面z=x2?y2在点（1，1，2）处的主曲率λ1=，λ2=。
笔者在微分几何的教学中较多地应用了数学分析、高等代数、解析几何的知识。用线性代数中的线性变换以及多线性代数解决曲线曲面的问题是常用的方法，所以学生需要掌握好数学基本知识，并将其灵活应用。
【参考文献】
[1]王幼宁，刘继.微分几何讲义[M].北京：北京大学出版社，2006.
[2]陈维恒.微分几何初步[M].北京：北京大学出版社，2006.
[3]陈泽安.求矩阵特征值与特征向量的新方法[J].长沙通信职业技术学院学报，2003（3）.
[4]黄浩，黄晴，卢卫君.Weingarten变换下曲面的特征向量和特征值的一种求法[J].理论数学，2019（4）.
【作者简介】
王利娟（1982～），女，汉族，山西太原人，助教。研究方向：微分几何。
