函数与方程问题中数形结合的策略
2021-09-22施浩妹
【摘 要】在中学阶段，学生应建立数与形的联系，学会利用几何图形描述问题，借助几何直观理解并解决问题，掌握数形结合方法，形成数学直观，感悟数学本质。本文探讨在函数与方程问题中运用数形结合思想找到正确作图方法，从而利用图象解决问题的策略，从直接作图，转化作图，求导作图，转化、求导结合作图这四个层次展开论述。
【关键词】中学数学;函数与方程问题;数形结合;作图
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2021）22-0128-04
数形结合就是利用几何图形描述问题，借助几何图形理解问题，通过数与形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法，它是解决函数与方程问题的重要数学思想之一。高考对函数与方程问题的考查年年涉及，学生普遍觉得难，得分率较低，主要原因是学生不能准确理解题意，不能有效转化，哪怕心中清楚解决此类问题多数时候要用到数形结合思想，但苦于作不出正确的函数图象，无法突破难点。基于此，笔者将从四个层次对如何在函数与方程问题中运用数形结合法找到作图方法略作探讨[1]。
1 直接作图
例1：设a，b，c分别是方程x+3=logx，（）x=logx，（）x=x+3的实数根，则（ ）
A.a 分析：比较a，b，c大小，只需在同一坐标系中直接作出三函数y=x+3，y=logx，y=（）x的图象，看他们的交点位置即可，如图1。 观察得到c 例2：已知λ∈R，函数 f（x）=，若函数 f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是_______。 分析：分段函数 f（x）=恰有2个零点，则有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点;②二次函数与一次函数各有一个零点。而此分段函数的每一段都是学生熟悉的函数，故可直接作图，如图2。 平移直线x=λ，分λ<1，1<λ<3，3<λ<4，λ>4四种情况，由图2即可得到λ∈（1，3]∪（4，+∞）。 评注：方程的根、函数的零点问题，在高考中一般都是要用数形结合思想来处理，观察例1、例2可以看到题中涉及的都是学生熟悉的基本初等函数，所以直接作出函数图象，再依靠图象即可获得答案。 2 转化作图 例3：已知函数 f（x）= ，g（x）= f（x）+x+a，若 g（x）存在2個零点，则a的取值范围是（ ） A.[?1，0） B.[0，+∞） C.[?1，+∞） D.[1，+∞） 分析：此题已知的是 g（x）的零点个数，但学生大多不能直接作出它的函数图象，则可以思考能否把它转化为熟悉的基本初等函数。通常情况下处理函数零点问题可转化为处理方程的根问题，而 f（x）的每一段都是基本初等函数，故可令 g（x）= f（x）+x+a=0，把不能作图的 g（x）的零点问题转化为可以作图的 h（x）=?x?a和 f（x）两函数图象的交点问题，如图3所示。要想 y= f（x）的图象与y=h（x）的图象有2个交点，平移动态函数 y=h（x）的图象可知，当直线 y=?x?a过点（0，1）时，有2个交点，此时a=?1，往下平移时均有2个交点，所以a≥?1。 例4：已知 f（x）= ，则 y= f（x）的零点个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 分析：本题无法直接作图，需转化作图，令+x? =0，移项，发现如果只是单纯地左右拆分， 依然无法作出图象，需进一步转化，将变形，两边同乘x，化简得到2|x|=2?x2（x≠0），此时左右两边的函数均可作图，画出函数 y1=2|x|（x≠0）， y2=2?x2（x≠0）的图象，如图4所示，由图可知，函数 f（x）有两个零点。 评注：在处理方程的根、函数的零点问题时，如果题中的函数不是基本初等函数，不能直接作图，可通过转化后作出函数图象解题，如例3中只需移项，左右重新组合就可作出函数图象;如果移项后仍不能作图，可进一步转化直到可以作图，如例4需要适当地进行整理变形转化。只要能得到学生熟知的基本初等函数，问题就能迎刃而解。 3 求导作图 例5：已知函数 f（x）=，a∈R，若方程 f（x）?2=0恰有3个不同的根，求a的取值范围。 分析：此题中第一段函数不能直接作图，但可以适当变形转化。把=2（x≠0）的两边同乘x，得到ex?1=2x就可以作出图象，进而得出答案。除此以外，此题还可通过“求导”解题，通过使用导数这个工具，可以判断函数的单调性，从而知道函数的极值、最值，那么就能大致画 出函数的图象。当x>0时，f（x）=，f′（x）=， 当0 （0，+∞）上的最小值。当x ≤ 0时， f（x）=ax+2a+1的图象恒过点（?2，1），作出大致图象如图5所示。 结合图象可知，当a≥0时，若方程 f（x）=2有三个根，则需要 f（0）=2a+1≥ 2，即a≥;而当a<0时，结合图象可知，一定有3个解，综上所述，a的取值范围为a<0或a≥。 例6：已知函數 f（x）=若方程 f（x）=a（a为常数）有两个不相等的根，2则实数a的取值范围是（ ） A.（?∞，0） B.[，e] C.（?∞，0]∪[，e] D.（-∞，0）∪[，e] 分析：第一段函数不能直接作图，可以适当变形转化吗？似乎也没那么容易，何况此函数没有参数，求导作图很方便，当x>0时，函数 f'（x）=2?（ln x+1）=1?ln x，由 f'（x）>0，得0 ex+a，由于导数函数含有参数，需要进行分类讨论。当a≥0时， f'（x）>0，此时 f（x）在R上单调递增，不可能;当a<0时， f'（x）=0，x=ln（?a）， f（x）在（?∞，ln（?a））上单调递减，在（ln（?a），+∞）上单调递增，根据单调性大致作出图象如图8所示。 要使 f（x）有两个零点，只需最小值 f（ln（?a））<0，解得a 方法三：对原函数实行参变分离，则原函数转化为 y1=a和 y2=两个函数，常数函数 y1图象很简单，函数 y2虽然不能直接作图，但它是无参函数，通过求导得到y'2=，判断单调性，可知在（?∞，1）上函数单调递增，（1，+∞）上函数单调递减，从而作出图象如图9所示，通过图象可知，只需要a 评注：方法一转化为两个函数，但由于其中一个函数含参，是动态的，所以需要分析清楚相切位置再进行处理;方法二直接求导，同样由于导函数含参，依然要分类讨论进行处理;而方法三把转化、求导两种方法结合起来，先转化为两个函数，由于一个是常数函数，另一个是无参函数，解题难度就降低了，再对其中一个函数使用求导作出图象，借助图象求出答案，方法三对惧怕含参问题的同学比较适合。 以上即为解决函数与方程问题时使用数形结合思想，需要作图时的四个基本方法。在求解此类问题时，有时只需一种方法即可求解，有时可能需要两种方法结合起来，学生可以按上述四个方法的顺序思考如何作出图象，再利用图象解出答案。虽然函数与方程问题中以形助解的数形结合思想是一大难点，但只要有心去深究，还是有一定规律可循的。 【参考文献】 [1]曹辉.导数问题中分类讨论的策略[J].理科考试研究，2018（19）. 【作者简介】 施浩妹（1980～），女，汉族，浙江人，本科，中学一级教师。研究方向：中学数学教学研究。 Strategy of Combination of Number and Shape in Function and Equation Problems Haomei Shi （Genshan Middle School， Zhejiang， Hangzhou， 310003） Abstract：In middle schools， students should establish the relationship between number and shape： learning to use geometric graphics to describe problems， understanding and solving problems with the help of geometric intuition， mastering the combination method of number and shape， forming mathematical intuition and understanding the essence of mathematics. This paper discusses how to use the idea of combination of number and shape to find the correct drawing method in the problem of function and equation， so as to use the strategy of image to solve the problem. It is discussed from four levels： direct drawing， transformation drawing， derivation drawing， and junction drawing of transformation and derivation. Key words：middle school mathematics; function and equation problems; combination of number and shape; mapping
