数学内在逻辑和思想方法专题教学研究

董纪华 田颖

摘   要：数学知识一般围绕若干紧密相关的知识或确定的思想方法形成一定逻辑体系。因此，每一数学学习单元，在数学知识体系中有内在逻辑关系，一方面，体现在单元与整体的联系，另一方面体现在单元内部的联系。数学专题课是以具有一定综合性教学内容为载体，以数学内在逻辑和思想方法为研究重点，通过学生解决综合数学问题，提升数学素养的授课方式。以“利用数形结合研究三角函数”为例，对数学专题课教学设计与过程进行初步探讨。

关键词：数学;专题教学;三角函数

中图分类号：G633.6   文献标识码：A   文章编号：1009-010X（2021）20/23-0059-07

新发展背景下，数学在生产、生活、科技等方面的重要作用越发凸显出来。党的十九大报告强调要“落实立德树人根本任务，发展素质教育”。当前，高中数学教学需要回答“如何发挥数学的育人价值，培养学生的数学核心素养”这一问题，数学教师应深度思考：“如何把握数学的内在逻辑，将单元教学目标分解到每一节课，有计划地引领学生系统地学习数学知识，感悟数学思想方法，落实数学核心素养”。

“利用数形结合研究三角函数”一课是《2017版普通高中教科书人教A版必修第一册》，第五章“三角函数”全章知识新授课结束后的一节专题课，本节课以正弦型函数为主要研究对象，立足学生已经形成的知识结构，从实际问题出发，设计有逻辑的问题串，引导学生经历一系列的数学活动，感悟研究正弦型函数的方法既有普适性，同时又有其特殊的研究方法。以数形结合的数学思想方法为主线，联系性地、整体地应用三角函数的一般经验和知识技能解决问题，深刻理解三角函数核心性质间的本质联系。

一、内容与内容解析

1.教学内容：

借助圆和三角函数的解析式以及图象，数形结合研究正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的周期性、单调性、最值、对称性，在经历数学活动的同时，深刻理解三角函数核心性质间的本质联系，感悟数形结合思想。

2.内容解析：

（1）学生的认知基础：日常生活中对“周而复始”现象有了一定的认识;在对平面几何中圆的性质（特别是圆的对称性）、相似形的有关知识、函数的一般概念的学习研究过程中，积累了数学思想、数学活动经验;从函数的一般概念、表示和性质等的学习中，了解了研究函数的一般方法;通过幂指对函数的学习，基本掌握了研究一类函数的结构、内容、过程与方法;一般性思考问题的习惯，构建一类函数的研究路径，如何从函数定义出发研究函数性质，如何利用函数概念和性质建立数学模型解决实际问题等等。

（2）数学思想方法：数形结合研究三角函数，有利于提高学生的数形转化、直观想象能力。

（3）育人价值：体会三角函数性质的整体性、联系性，可以充分发挥三角函数在培养学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算和数学建模等核心素养的作用。

二、目标及目标解析

1.单元目标：

（1）感受到三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用，体验三角函数与日常生活和其他学科的联系，体会三角函数的价值和功能，增强应用意识。

（2）感受数学的人文价值，体验现代信息技术与数学课程的整合。

（3）注重数学应用过程的完整性，加强对问题情境和解题思路的分析，提高对数形结合、转化与化归等数学思想方法的认知层次，提升直观想象、数学建模、数学运算等数学核心素养和培养学生良好的解题习惯。

2.课堂目标：

（1）通过对实际问题的分析，利用函数y=Asin（ωx+φ）刻画一般的匀速圆周运动规律，认识函数y=Asin（ωx+φ）是刻画周而复始运动规律的重要数学模型.

（2）借助圆的几何性质，感知和研究函数

y=Asin（ωx+φ）的形态变化与运动规律，体会函数y=Asin（ωx+φ）的性质也是圆的旋转对称性的解析表示。

（3）经历描述、分析、理解和解决与函数y=Asin（ωx+φ）相关的数学问题的过程。

（4）建立“形”与“数”的联系，积累运用数形结合思想方法解决问题的经验。

三、教学问题诊断分析

1.问题诊断：

（1）已学函数的对应关系都是代数运算规律的反映，但三角函数不以代数运算为媒介，是几何量（角与有向线段）之间的直接对应，这是一个复杂、不良结构情景，是主要的學习难点。

（2）学生使用的是旧版教材，对于借助单位圆为媒介建立正弦函数、余弦函数的概念、性质和图象之间的丰富关联较为欠缺，对于函数y=Asin（ωx+φ）刻画一般的匀速圆周运动规律也并不熟悉。

（3）研究三角函数性质的方法也有特殊性，即利用三角函数的定义，将圆的几何性质转化为三角函数值之间的关系，研究三角函数性质时所使用的数形结合，与前面的通过观察函数图象而得出性质，有较大的不同。

（4）三角函数概念与性质的学习中，与单位圆建立了非常紧密的联系，有利于学生理解三角函数的本质的同时，也带来不利影响。现实中的周期性运动变化问题并不一定以角为自变量，因此在用三角函数解决实际问题时，需要有更复杂的分析与转化工作，使得研究更具有一般性。

2.教学难点

借助圆的性质，利用数形结合研究三角函数，建立三角函数的不同性质之间的关联。

四、教学支持条件分析

1.教学策略分析

（1）实际问题激发学生的学习兴趣，学生自主探究实际问题。

（2）问题探究为主线：问题探究，层层递进。自主分析实际问题，建立三角函数模型并解决实际问题。反思不同表达形式之间的内在联系，数形结合地研究圆的几何性质与三角函数之间的丰富联系。

（3）教学中采用问题探究式教学模式，学生通过独立探究活动、小组讨论修正、全班展示交流，展示探究方法和思维活动，教师通过交流追问、课堂评价，达成问题的解。

2.媒体分析

黑板：板书教学流程及知识要点。

多媒体投影：显示教学环节，快速及时展示学生解决问题的切入点、思维过程、解答结果;暴露学生解题过程中的知识缺陷和思维漏洞。

五、教学实录

1.创设恰当的教学情境，启发学生思考，通过有逻辑的问题串，引导学生明确研究路径：

三角函数是刻画周期现象的重要数学模型。

我们借助单位圆建立了三角函数的概念，这就决定了三角函数和单位圆产生了天然的联系。

而函数图象是函数的另一种表示方法，能够帮助我们直观地理解性质。圆和三角函数图象是我们研究三角函数的两种图形工具。

今天，我们就从古老的筒车入手，继续感受三角函数中的数形结合。

【任务1】

筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用。

某地筒车转轮半径为5m，转轮中心位于水面的上方，且转轮中心到水面的距离为2.5m. 盛水筒绕转轮中心逆时针方向做匀速圆周运动，转动的角速度为rad/s.

如图，将筒车抽象为一个几何图形——圆，盛水筒M视为圆周上的质点.以筒车转轮中心为原点，平行于水面的半径所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.设经过ts 后，盛水筒 M 从P0点运动到点P（x，y）.

试比较t=9和t=42两个时刻，盛水筒M 位置的高低，并说明从t=9到t=42，盛水筒几次到达最高点.

问题1-1（审题）：在动手解决问题之前，你想用什么方法措施展开研究呢？

学生1：筒车作匀速圆周运动，因此可以通过研究点在圆上的位置来解决问题。

学生2：因为三角函数可以刻画圆周运动，因此，可以建立三角函数模型，利用三角函数解析式进行计算。

学生3：既然可以建立三角函数解析式，还有可能可以通过画出三角函数图象解决问题。

问题1-2：你是怎么想到三角函数图象的？

学生3：因为图象也是函数的一种表示方法，而我们原来研究函数的时候，往往都是通过函数图象研究函数性质，更加直观。

教师：这些同学结合以往的学习经驗，为我们提供了三个研究问题的角度。

问题1-3：怎么理解位置的高低和最高点？

学生4：函数的最大值和函数值的大小。

问题1-4：又怎么理解在一段时间内盛水筒可能多次到达最高点呢？

学生（众人）：与函数的周期有关。

教师：根据几位同学分享的不同策略和对具体问题的分析，请大家尝试解决问题吧。

【设计意图】：设计蕴含着问题与核心知识的情境，不仅能够激发学生的学习兴趣，更重要的是学生在将情境中的数学问题抽离出来并探索解决问题的方法时，自然建立了数学与实际问题间的桥梁，学生在与问题情境有效沟通的过程中，学会用数学的眼光看问题，形成研究问题的一般方法。

2.在一定的观念指引下大胆尝试，解决问题：

解法一（学生分享）：

t=9，旋转形成的圆心角为9×=.

t=42与t=12时盛水筒M的位置相同，t=12时旋转形成的圆心角为12×=.

在圆周上标出这两个位置，以OP0为始边，和的终边都在x轴上方，角的终边更靠近y轴，其终边与圆的焦点更高，所以，t=9时盛水筒的位置较高.

同时，通过计算可以知道从t=9到t=42，盛水筒两次到达最高点.

问题2-1：圆的什么性质起到了关键性的作用？

学生：圆的对称性。

教师：圆心在原点的圆关于y轴对称的特殊对称性起到了关键性作用.

问题2-2：怎么计算周期？

学生：点在圆上旋转一周所用的时间为==30s.

【设计意图】：三角函数是刻画周期现象的重要数学模型，圆周运动是常见的周期运动，在利用圆解决问题的过程中，感悟三角函数产生的实际背景和基本原理。

解法二（学生分享）：函数解析式为y=f（t）=5sin

t

-，t∈[0，+∞）

f（42）=f（12）=5sin

12×

-=5sin=5sin，f（9）=5sin

9×

-=5sin

因为0<<<，函数y=sinx在0

，上单调递增，所以f（9）>（12），所以t=9时盛水筒的位置较高.

t-=+2kπ?t=10+30k（k∈Ζ），k=0，t=10;k=1，t=40.

所以从t=9到t=42，盛水筒两次到达最高点.

问题3-1：为什么不直接比较这两个函数值的大小？

学生：因为不是特殊角，所以不能手动计算出函数值，要借助函数的性质进行比较。

问题3-2：借助函数的什么性质？

学生：周期性、单调性、对称性。

问题3-3：你在计算出了f（42）=f（12）=5sin

12×

-=5sin，f（9）=

9×

-=5sin两个值，为了比较大小，你用了哪个函数的性质.

学生：正弦函数y=sinx

教师：研究正弦函数的经验完全可以迁移到研究一般的正弦型函数.

【设计意图】：通过学生对知识的应用，积累活动经验;通过教师的追问，促使学生反思解决问题时所用到的核心概念与核心性质，形成知识迁移的同时把握数学本质，深入体会相关概念间的本质联系。

解法三（学生分享）：函数解析式为y=f（t）=5sin

t

-，t∈[0，+∞）

五点法作图

∵周期T=30，∴f（42）=f（12）.

又∵函数的对称轴为t=10，∴f（9）=f（11）

由图像可知，函数y=5sin

t

-，t∈[0，+∞）在t∈[10，25]上單调递减，∴f（42）=f（12）

结合图像观察从t=9到t=42，盛水筒2次到达最高点.

学生提出质疑：t=42秒时，函数y=f（t）=5sin

t

-，t∈[0，+∞）图象上的点与圆上点的位置对应似乎不太对.

学生思维碰撞：t=42秒时，函数y=f（t）=5sin

t

-，t∈[0，+∞）图象上的点与圆上点的位置对应应该如图所示：与y轴左侧的等高的点相对应.

教师：原因是什么？

学生思维碰撞：t=42秒附近，y的值的变化趋势是单调递减，所以在圆周上应该相应的具有相同的变化趋势，即，逆时针方向旋转时，盛水筒呈下降趋势。

教师：其实时间每取一个值，比如说t=9，都对应着圆上的一个位置，也对应着解析式中的一个取值，在函数图象上也对应着一个点，也就是说，它们都有两个几何呈现方式和一个代数值;反过来，最高点所对应的时间，在圆上体现为转过这个角的时间，就是解相位等于时所对应的时间，当然在函数图象上我们也能直观看到对应的自变量.

【设计意图】：发现和提出问题是促使学生学会学习并解决问题的最佳时机，教师倾听、观察学生的思维困惑，抓住课堂教学关键时刻，引导学生质疑、思考、交流，在思维碰撞过程中，把握数学本质，感悟“三角函数解析式”“三角函数图象”和“三角函数的研究背景——圆”之间的本质关联，这才是深度的合作学习。

3.反思数学核心概念、性质和数学思想方法，感悟数学知识间的本质联系：

问题4-1：为了比较函数值的大小，我们调动了三角函数的哪些性质解决问题？

学生：周期性、单调性、对称性

问题4-2：三种方法各自侧重什么角度？你能评价一下三位同学的做法么？

学生：第一种方法侧重图形的几何性质，使用了少许计算;第二种方法侧重建立函数模型，利用函数解析式精确计算;第三种方法先建立函数模型刻画圆周运动，再借助三角函数的图象观察函数性质解决问题，侧重数形结合。

学生：三种解法中，解析式计算精准，利用图形工具解决问题非常直观，它们相互配合，为我们解决问题提供了多种角度，各有优势。

教师：圆心与原点重合的圆上的点的匀速圆周运动，可以用三角函数来刻画，也可以用它的图象直观感受变化规律，而圆和函数的图象，它们本质相连。

刚才的研究可以给我们一些启发，当研究对象，例如问题中的位置高低既有几何特征，又有数的解释时，就有了数形结合的基础，我们有逻辑的相互转化，以数解形，以形助数，这就是数和形能够结合起来解决问题的契机。

【设计意图】：反思才能更好地出发！教师应指导学生学会学习，引导学生通过生生评价，抓住核心知识，整体、全面、系统地认识正弦型函数，反思并深入理解数形结合这一数学基本思想方法应用的契机，让解题成为解决问题，让解决一个问题成为解决一类问题。我国著名数学家华罗庚曾说：能把书读厚，又能把书读薄，读薄就是抓住本质，抓住重点。抓住本质，才能更好地理解和提升数学核心素养。

4.借助数学活动经验，引申探索：

【任务二】已知ω>0，函数y=5sin（ωx+φ）.

若φ∈0

，，且f（0）+f

=0，则ω的最小值为                .

方法一：解函数方程.为使得ω最小，须使周期最大，所以考虑0和在同一个周期内.f（0）+f

=0?sinφ+sin

πω+φ=0?sin

πω+φ=-sinφ=sin（-φ）所以πω+φ=-φ+2kπ，πω+φ=π+φ+2kπ（k∈Ζ）

所以ω的最小值为

问题5-1：两个代数式怎么取舍？取舍的依据是什么？

学生：哪个对应的周期大。

问题5-2：怎么挖掘哪个周期大呢？

学生：可以代数运算，但这个式子πω+φ=-φ+2kπ（k∈Ζ）中的变量比较多，我们可能一时还不能很快确定.

教师：我们可以带着困惑看一看另外一种解法。由图像可知

==?ωmin=.

问题5-3：如图确定图象和y轴的交点？为什么y轴右侧的第一个单调区间为增区间？

学生：因为φ∈0

，，所以x=0时，y>0且w>0，x>0时，质点在圆周上的位置先上升.

教师：初相不仅决定了图象和y轴的交点位置，还决定了函数在该点处的变化趋势。

问题5-4：能不能借助图象来理解刚才代数运算中的取舍呢？

学生：为使ω最小，须使周期最大，也就是0和应该在一个周期内，结合图象，同一个周期内，满足f（0）+f

=0的有两个位置，显然靠左时所对应的周期更大，在πω+φ=-φ+2kπ，πω+φ=π+φ+2kπ（k∈Ζ）两个式子中，舍掉前者（如图所示）.

问题5-5：f（0）+f

=0这个代数式，在图形中对应着0，f（0），

，f

两个点，它们能够反映出函数的什么性质？

学生：周期性和对称性。

教师：本题中是这样的，如果更加直观地看，我们可以把这一小段函数图象对称过来（如图），最大值点与右侧相邻最小值点之间的水平距离，其实就是两条对称轴间的距离，就是半个周期，有的时候也可以表述为单调区间。这就是三角函数核心性质之间的内在联系。

纵观这两个问题，我们在解决问题的时候往往能从图象上获得很多的性质的信息，而函数解析式又能严谨刻画函数的性质，数和形相互映照，帮助我们深刻理解相关概念之间的内在联系。

【设计意图】：通过反思—迁移—循环—提升的解题过程，不仅感悟数形结合解决问题的数学思想方法，同时将和三角函数有关的数学知识和性质看成一个有机整体，用联系的观点整体认识三角函数的背景、概念和性质，在解题中拎出知识结构，这是教学中的一个难点，也是引导学生学会学习的关键点。

5.课堂小结

问题6-1：研究正弦型函数你有哪些经验体会？

学生：研究函数从形上多分析。数形结合帮了大忙。

研究了正弦型函数我就会研究余弦型函数.

高中数学学习不是拿来就算的，要先观察分析，先要有数学的眼光，数学的推理分析。能画图的画画图。大胆尝试。

解决问题的时候遇到困难不能放弃，要找一找知识概念之间的联系。

教师：学习就是不断积累经验的过程。

三角函数是刻画周期现象的重要数学模型，在研究正弦型函数时，我们可以借助研究正弦函数的经验，利用函数解析式和图形工具，以数解形，以形助数，借助代数运算刻画规律，同时用数和形相互结合理解规律，这就是数形结合解决问题的三部曲。

六、教学反思：

提升学生的数学能力，培养学生的数学核心素养，绝不是一蹴而就的，数学知识、技能与核心素养也不是孤立的，教师应该将每一章节视为一个有机整体，精心设计每一堂课，注重数学的内在逻辑，注重问题引领，推动学生自主学习、自主反思，多设置启发学生思考的好问题，在把握数学的本质、领悟数学思想方法上下功夫，激发学生的创造力，大胆猜想、大胆尝试。