囚禁离子非线性J-C模型量子态保真度
2021-09-16刘宝元孙小斌刘王云张玉虹
刘宝元， 孙小斌， 刘王云， 张玉虹
(1. 西安工业大学 光电工程学院, 西安 710021; 2. 安康市科技资源统筹中心, 安康 725000 )
1 引 言
在量子通信、量子计算和量子密码术中，量子态是信息的载体，量子信息的存储、复制和传递通过量子态的演化来实现，而量子态的演化需要考虑保真度问题. 1994年，R.Joza首先提出保真度是表示信息在传输过程中保持原来状态的程度[1]，保真度也是通信质量的一个重要参数，且任何形式的信息编码也要考虑保真度问题[2]. 因此，对于保真度的研究关系到量子通信的失真度、量子计算的可靠性以及量子复制的精确度.
近年来，不少文献对具体量子模型的保真度作了大量研究，如纯态编码中的保真度[3]，量子信息和量子隐形传态理论中的保真度[4]，量子纠错中的保真度[5]，量子克隆术中如何提高保真度[6]以及光场与物质相互作用体系中的量子态保真度[7-9]等等. 随着腔量子电动力学(QED)技术和囚禁离子技术的发展，人们试图将这两种技术方案结合起来，利用囚禁离子与腔场之间的相互作用来实现量子信息的存储与传递，并已取得了一些令人鼓舞的成就[10-13]. 然而，囚禁离子受势阱涨落和环境噪声等因素影响造成所传输的信息退相干，进而出现一定概率失真[14]. 所以研究囚禁离子与腔场相互作用中的保真度是十分必要的. 然而，对于囚禁离子与驻波激光场相互作用系统中反映系统、腔场与囚禁离子保真度的演化行为讨论甚少. 本文利用全量子理论研究高Q腔中单个二能级囚禁离子与单模驻波激光场相互作用系统中，当驻波激光场频率与囚禁离子第一个红振动边带呈单量子共振时，驻波激光场、囚禁离子以及系统量子态的保真度，并借助数值计算给出了离子质心在驻波激光场中的位置及囚禁离子初始状态对保真度的影响，所的结论对于量子信息的存储与传递具有一定的参考意义.
2 理论模型及其解
如图1所示，研究单个二能级囚禁离子与单模驻波激光场相互作用系统，囚禁离子质心振动频率为ω，内部电子态之间跃迁频率为ω0，驻波激光场的频率为ωL.当驻波激光场频率与囚禁离子第一个红振动边带呈单量子共振[15](ωL=ω0-ω)，且忽略原子衰变效应并作旋转波近似，在相互作用绘景中系统哈密顿量为[16-18](ħ=1)
HI=g(A+σ-+Aσ+)
(1)
图1 囚禁于Paul阱中的单个二能级离子与单模驻波激光场相互作用示意图 Fig. 1 The schematic diagram of the interaction between a single two-level ion trapped in a Paul trap and a single-mode standing-wave laser field
式中g为耦合常数，σ+、σ-为离子的赝自旋升、降算符，A+、A为谐振子的非线性产生、湮灭算符，且
A+=a+f(a+a),A=f(a+a)a
(2)
a+、a为囚禁离子振动态的产生、湮灭算符，f(a+a)为非线性耦合算符函数，
在粒子数表象中表式为
f(a+a)=f(n)=
(3)
其中η是Lamb-Dick参数，φ表示振动离子质心相对于驻波激光场位置的初相位，确定离子质心在驻波激光场中的位置，当φ=π/2时相应于离子处在驻波激光场波节处.
由(1)式可得相互作用绘景中系统时间演化算符为
(4)
式中AA+=(a+a+1)f2(a+a),A+A=a+af2(a+a-1).
假设初始时刻(t=0)囚禁离子与驻波激光场间不存在任何相互作用，离子处于相干叠加态，驻波激光场处于单模相干态(取其初相位为零)，即
(5)
(6)
则系统初始联合态为
(7)
式中|g〉、|e〉分别表示二能级囚禁离子的基态和激发态，0≤θ≤π,0≤φ≤2π.
在t>0的任意时刻，由于囚禁离子与驻波激光场间发生了各种交叉耦合相互作用而不再处于纯态，相互作用绘景中系统的状态演化为
|ψI(t)〉=UI(t)|ψ(0)〉=|C〉|e〉+|D〉|g〉
(8)
(9)
从而可得任意时刻系统的密度算符及腔场和囚禁离子子系统的约化密度算符
ρs(t)=|ψI(t)〉〈ψI(t)|=
(10)
ρf(t)=Tra(ρs(t))=|C〉〈C|+|D〉〈D|
(11)
ρa(t)=Trf(ρs(t))=
(12)
式中下标s,f,a分别表示系统、腔肠和囚禁离子.
3 保真度的演化
为了描述输入量子态ρ1和输出量子态ρ2的偏差程度，人们提出了保真度的概念，其定义为[1]
F(ρ1,ρ2)的取值范围在0～1之间，当F(ρ1,ρ2)=0时，表示信息(量子态)在传输过程中完全失真；而当F(ρ1,ρ2)=1时，则表示理想信息传输过程. 一般情况下，0 根据上述定义及相互作用系统初始条件，可得系统、腔场和囚禁离子量子态保真度 (13) Ff(t)=|〈ψf(0)|C〉)|2+|〈ψf(0)|D〉|2 (14) (15) 〈ψf(0)|C〉= 〈n|D〉= (16) 为了形象地描述保真度与系统参数之间的关系，下面将以囚禁离子在驻波场中位置及囚禁离子初始状态为变量，通过数值分析讨论这些变量对系统、腔场和囚禁离子量子态保真度的影响. 为便于讨论取相对相位φ=0. (1)囚禁离子在驻波场中的位置对保真度的影响 图2 囚禁离子在驻波场中不同位置时系统保真度随标度时间的演化曲线 Fig. 2 The evolution curve of system fidelity with scale time when trapped ions are at different positions in the standing wave field 图3 囚禁离子在驻波场中不同位置时光场保真度随标度时间的演化曲线 Fig. 3 The evolution curve of field fidelity with scale time when trapped ions are at different positions in the standing wave field 图4 囚禁离子在驻波场中不同位置时离子保真度随标度时间的演化曲线Fig. 4 The evolution curve of ion fidelity with scale time when trapped ions are at different positions in the standing wave field (2)囚禁离子初始状态对保真度的影响 图5 囚禁离子处于不同初态时系统保真度随标度时间的演化曲线Fig.5 The evolution curve of system fidelity with scale time when trapped ions are in different initial states 图6 囚禁离子处于不同初态时光场保真度随标度时间的演化曲线Fig. 6 The evolution curve of field fidelity with scale time when trapped ions are in different initial states 图7 囚禁离子处于不同初态时离子保真度随标度时间的演化曲线Fig.7 The evolution curve of ion fidelity with scale time when trapped ions are in different initial states 综上所述，本文利用全量子理论研究了囚禁于Paul阱中的二能级离子与光腔中的驻波激光场相互作用系统中量子态保真度，通过数值计算详细讨论了囚禁离子在驻波激光场中的位置及其初始状态对保真度的影响，结果如下： (1) 系统、腔场与囚禁离子的量子态保真度呈现出非周期性振荡特性，随着囚禁离子从远离驻波激光场波节处向波节处移动，量子态保真度的振荡频率越来越快，振荡幅度几乎不变，且保真度到达第一个极小值所用的时间越来越短，保真度的值都不会为零，即不会出现信息完全失真的情况. (2) 系统、腔场与囚禁离子的量子态保真度呈现出近似周期性振荡特性，随着囚禁离子处于基态概率的增加，量子态保真度的振荡频率几乎不变，振荡幅度越来越小，且保真度的值都不会为零，即不会出现信息完全失真的情况. 囚禁离子的保真度明显优于系统与腔场的保真度. 由此可见，囚禁离子保真度明显比系统和光场的保真度大，即在量子信息传输过程中，囚禁离子的量子态失真要比系统和腔场量子态失真要小. 根据上述囚禁离子与驻波激光场相互作用时保真度的演化特性，人们可以控制离子在驻波激光场中合适的位置以及使得离子初始处于恰当的状态来存储和传递信息，从而使得信息以更高的保真度传输.4 结果讨论
5 结 论
