透析学习经验•构建解题路径•感悟数学本质

摘  要：以研究有理数直接运算法则为载体，让学生基于有理数加法法则的学习经验去探究新的有理数减法法则，感悟观察与联想、分类与比较、类比与转化等研究问题的方法，进一步体会教材中问题解决的策略，感悟数学本质，实现复习教学的高层次目标，促进学生解题能力和数学学科核心素养的整体提升.

关键词：学习经验;解题路径;数学本质;复习教学

九年级学生经过中考一轮复习后，对单元知识系统性的认识有了提升，但也出现了学习上的高原现象，主要表现为易题不愿做，难题做不来，感觉会做，下手困惑等. 如何进一步提升学生的解决问题能力是后续复习的重点. 为此，笔者开设了一节复习教学研究课——有理数减法法则新探与问题解决，得到了听课教师的好评. 现将本课的教学过程整理如下，以期与读者共勉.

一、教学设计说明

解题策略的教学始终是数学教学中的一个难点. 受初中生思维方式的影响，教师不能一味对初中生进行抽象的解题理论讲解，而是要尽可能地让他们经历具体问题的探究，在亲身参与的过程中感悟解题之道. 设计研究有理数减法的直接运算法则，是一个新奇的问题，能引发学生的探究欲望. 学生在有理数加法法则学习过程中积累的经验，可以为解决问题提供帮助. 学生在这样一个新奇的探究活动中，能够感悟数学思想方法、技能及问题解决的路径. 带着这些感悟去审视教材中一些问题的解决方式，可以达到在复习课中加深学生对教材的理解的目的. 更重要的是，经过教师的专业化引导，这些活动经验能够逐步内化为学生解决问题的基本策略.

二、教学过程及评析

1. 展示课题，提出问题

师：同学们，对于课题“有理数减法法则新探与问题解决”，谈谈你的想法.

生1：有理数减法法则是：减去一个数等于加上这个数的相反数. 它还有新法则吗？感觉没有呀！

生2：有理数减法的新法则是什么？可以从哪几个角度进行探究？

师：带着预想，我们开始本节课的探究学习. 大家已经了解有理数乘法的逆运算——除法，其运算法则有两种方式：一种是转化为乘法，即除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数;另一种是直接确定商的符号及绝对值，即两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 那么，作为加法的逆运算，减法也有两种表述方式吗？也就是说，能否不通过转化为加法的形式而直接运算呢？

【评析】心理学研究表明，新异的东西往往能激活人的大脑，使人自愿地去探索和创造. 类比除法的两种运算方式提出有理数减法直接运算法则，属于一个新异的问题，能够引发学生探究的欲望. 课堂从学生分享课题的直接感受出发，设置悬念，与后续问题相联系，目的是使学生的思维既能入乎其内，又能出乎其外.

2. 确立目标，研究问题

师：在有理数的减法运算中，如何直接确定“差”的符号及其绝对值呢？我们回顾一下有理数加法法则是如何产生的，能否为我们构建减法法则带来一些启示？

生3：有理数加法运算通常可以分三步：一是分类型;二是确定“和”的符号;三是确定“和”的绝对值.

师：你能仿照有理数加法运算法则的探究过程，完成我们的目标吗？试对以下12个减法算式进行分类，并观察“差”的符号及其绝对值与减数、被减数之间的关系.

教師出示如下12个减法算式.

（1）3 - 5 = -2;          （2）3 - （- 5） = 8;

（3）（- 3） - 5= -8;   （4）（- 3） - （-5） = 2;

（5）-6 - （-6） = 0;  （6）-7 - 0 = -7;

（7）0 - （-7） = 7;   （8）（- 6） - 3 = -9;

（9）9 - （-11） = 20;      （10）4 - （-6） = 10;

（11）8 - 3 = 5;         （12）（-3） - 2 = -5.

学生讨论交流，形成两种分类方式：第一种是按照减数与被减数的符号是同号还是异号，把（1）（4）（5）（11）归为一类;第二种是按照差的符号进行分类，把（1）（3）（6）（8）（12）归为一类，因为他们的差均为负值.

师：为什么差的值为负值呢？

生4：减数大于被减数.

师：哪种分类好？

生5：我赞同第二种分类，先比较减数与被减数的大小，这样就可以确定差的符号.

师：如何确定差的绝对值？

生6：当减数与被减数同号时，差的绝对值等于两数绝对值之差（大的绝对值减去小的绝对值）;当减数与被减数异号时，差的绝对值等于两数绝对值之和.

师：很好！我们把过程再梳理一下，两个有理数相减的运算步骤为先比较减数和被减数的大小，确定差的符号，再由两数的符号来确定差的绝对值.

经过师生的共同讨论，有理数减法的直接运算法则最终形成：两数相减，先比较减数和被减数的大小，如果是大数减小数，那么差的符号为正，当两数同号时，用较大的绝对值减较小的绝对值，当两数异号时，把两数的绝对值相加;如果是小数减大数，那么差的符号为负，当两数同号时，用较大的绝对值减较小的绝对值，当两数异号时，把两数的绝对值相加;如果两数相等，那么差为0;任何数减去0，仍是本身;0减去一个数，差是这个数的相反数.

【评析】有理数减法直接运算法则的结论不是本节课教学的重点，不必追求结论的完美表述，教学重点在于让学生经历探究过程，体验研究问题的路径. 学生如果按照减数与被减数的符号来分类，则先比较减数和被减数的大小，确定差的符号，再由两数的符号来确定差的绝对值. 当学生大致理清思路，处于愤悱状态时，教师要及时启发引导，使学生的思维始终处于激活状态.

3. 反思小结，回归教材

师：有理数减法法则的新建，给我们带来了哪些解决问题的启示？

生7：有理数减法也有直接运算的法则，同除法一样，有两种运算方式.

师：看来我们要善于思考，敢于打破常规，才能有所创新.

生8：有理数减法的两种法则，一种是将减法运算转化为加法，另外一种是直接确定差的符号及绝对值. 显然，转化法通用，且比较简单.

师：这个评价很中肯. 我们不一定要运用直接确定差的符号及绝对值的方法求解问题，但是我们要知道它的存在，感受探究过程中蕴含的解题策略.

生9：我们模仿有理数加法的探究过程，得到了新的有理数减法法则.

师：讲得好！有理数加法法则的探究过程和结论，为我们研究有理数减法法则提供了经验. 大家能利用类似地经验，重新审视教材中的问题吗？例如，求证四边形的内角和为360°.

生10：在四边形[ABCD]中，连接对角线[AC]，把四边形的内角和转化为两个三角形的内角和来处理.

生11：在四边形[ABCD]内部找一点[O]，连接[OA，][OB，OC，][OD，] 把四边形的内角和转化为四个三角形的内角和，然后再减去一个周角就可以证明了.

师：大家都使用了三角形内角和的结论来处理问题，那么，三角形内角和是如何证明的？

生12：如图1，过点[A]作平行线，利用平行线的性质即可证明“三角形的内角和是180°”.

师：你能模仿这个过程，证明“四边形的内角和是360°”吗？

生12：如图2，分别过点[A，D]作线段[BC]的平行线，利用平行线的性质即可证明“四边形的内角和是360°”.

师：看来，三角形内角和的探究过程与结论，同样为四边形内角和的探究提供了帮助. 如果想仿照三角形内角和的探究方法探究四边形的内角和，则需要对四边形进行作平行线处理;如果想直接利用“三角形内角和是180°”的结论来探究四边形的内角和，只需要连接四边形的一条对角线，把问题进行转化. 类似的例子在教材中还有很多. 例如，学习完全平方公式时，运用多项式乘多项式法则和探究图形面积之间的关系得到了两数和的平方的结论，即[a+b2=a2+][2ab+b2.] 当解决两数差的平方问题时，也就有了两种方法：一种是模仿两数和的探究过程，采用多项式乘多项式法则或探究图形面积之间的关系得到相应的结论[a-b2=a2-2ab+][b2;] 另一种是从结论出发，把[a-b2]转化为[a+-b2]的形式，然后采用公式计算.（教师通过PPT展示上述相关内容，学生边看边思考.）

师：以上活动的经验，给我们解决问题带来了哪些启示？

生13：解决问题可以从两个角度去思考. 一个是从已解决问题的过程视角;另外一个是从已解决问题的结论视角.

师：是的，已经解决问题的经验，可以为类似问题的解决提供帮助. 问题探究过程提供了方法、程序，在类似问题的解决中可以类比、借鉴;问题的结论塑造了一种模型，可以把类似问题向这个模型转化，转化成功时问题也就解决了.

【评析】设计回归教材的环节，目的不仅是让学生重新审视教材中的一些问题，加深对教材的理解，而且是使学生的思维数次穿梭于过程与结论之间，在一次次地类比与转化的感悟中，将感性认识上升为理性经验，复习目标从建构知识升华到建构解题路径. 通过这样的环节设计，也使整堂课始终聚焦于问题解决的策略.

4. 问题解决，概况提升

师：大家运用前面解决问题的经验来解决下面的题目.

题目  在正方形[ABCD]中.

（1）如图3，如果点[E，F]分别在[BC，CD]上，且[AE⊥BF，] 垂足为点[M，] 那么[AE]与[BF]相等吗？证明你的结论.

（2）如图4，如果点[E，F，G]分别在[BC，CD，DA]上，且[GE⊥BF，] 垂足为点[M，] 那么[GE]与[BF]相等吗？证明你的结论.

（3）如图5，如果点[E，F，G，H]分别在[BC，CD，][DA，AB]上，且[GE⊥HF，] 垂足为点[M，] 那么[GE]与[HF]相等吗？证明你的结论.

[M][A][B][C][D][E][F][图3] [M][A][B][C][D][E][F][图4][G] [M][A][B][C][D][E][F][图5][G][H]

生14：在第（1）小题的证明过程中，我利用“AAS”判定[△ABE]≌[△BCF，] 结合“全等三角形的对应边相等”证得结论. 如果在图4中过[G]点作[GE⊥BC，] 也可以利用“AAS”判定[△GEE]≌[△BCF，] 利用“全等三角形的对应边相等”即可证明第（2）小题的结论. 用同样的方法也可以解决第（3）小题.

师：还有不同的思路吗？

生15：第（1）小题的解决为后续问题的解决提供了一个结论模型，在解决第（2）小题时，只要过点[A]作[AE∥GE，] 易得[AE⊥BF，] 所以由第（1）小题的结论，得[AE=BF.] 接下来，只要证明[AE=GE]就可以了. 第（3）小题的处理和第（2）小题是一样的.

师：解题经验可以分为过程性经验和结论性经验，我们可以从这两个角度去解决新的问题. 波利亚在《怎样解题》一书中提到，面对新问题时可以通过以下的设问来寻求解题的策略：你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题……这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素……同学们，回头再看本节课的探究课题——有理数减法法则新探与问题解决，你有什么收获呢？（学生在一起交流本节课的收获，能从更高的层次来思考问题解决的元认知策略.）

【评析】上述题目中的第（2）小题和第（3）小题都可以基于第（1）小题的过程或结论得以解决. 学生在上一环节中所积累的经验刚好在实践中派上用场. 解决此题，既给了学生一个验证经验的机会，又使学生再次感悟这种解题的路径. 本环节中，教师把经验分为过程性经验和结论性经验两个维度进行解读，并引用波利亚的方法进行分析，渗透数学文化，完善了学生的解题元认知策略.

三、结束语

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法. 这为数学教学指明了方向. 在复习课教学中，教师不能只注重知識的结论，还要有意识地引导学生参与知识的探究过程，感悟具体事例背后的数学本质. 例如，探究新的有理数减法法则，目的不是让学生学习一种新的法则，而是借此引导学生体会观察与联想、分类与比较、类比与化归、特殊与一般等解决问题的经验和方法，再通过教师的专业化引导，整合、提炼教材中不同内容的解决方案，使学生的思维活动经验上升到解决问题的结构化和系统化的层面，实现复习教学的高层次目标. 而这些经验的获得重在参与、贵在反思、妙在联系. 苏格拉底曾说：问题是接生婆，它能帮助新思想的诞生. 因此，设计好的探究问题，整体提升学生综合能力是复习教学课的不懈追求.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]波利亚. 怎样解题[M]. 涂泓，冯承天，译. 上海：上海科技教育出版社，2007.

[3]涂荣豹. 数学解题学习中的元认知[J]. 数学教育学报，2002，11（4）：6-11.

[4]张平. 复习课中设计课题学习的尝试与思考：以“有理数减法法则新探”为例[J]. 中学数学研究，2017（11）：15-16，37.