源于教材 立于统整

刘志昂 童玉峰

摘  要：专题复习课是初中数学教学中的一种重要课型. 文章从学科统整的视角来设计课例，进行数学内部的学科统整——统整数学知识、思想方法和学习经验. 回归学生发展本位，在统整中渗透“四基”“四能”、落实数学学科核心素养、体现数学审美价值，最终实现数学的育人目标.

关键词：学科统整;专题复习;核心素养

在一次区教研室组织的活动中，笔者曾开设一节关于二次函数专题复习的示范课. 在确定教学内容的过程中，笔者以苏科版《义务教育教科书·数学》九年级下册第五章“二次函数”复习巩固中的第15题为素材进行设计.

题目  如图1，在Rt△ABC中，∠B = 90°，AB = 3 cm，BC = 4 cm. 点P从点A出发，以1 cm / s的速度沿AB运动;同时，点Q从点B出发，以2 cm / s的速度沿BC运动. 当点Q到达点C时，P，Q两点同时停止运动.

（1）试写出△PBQ的面积S（cm2）与动点运动时间t（s）之間的函数表达式;

（2）运动时间[t]为何值时，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？

这是一道常规的几何动点与二次函数的综合题，学生很容易根据题中给出的等量关系列出二次函数表达式，并根据二次函数的性质求出△PBQ面积的最大值及此时[t]的值.

如何能将本节复习课上出新意和深度，揭示题目蕴涵的思想和方法，发展学生的能力，是笔者在课前一直思考的问题. 最后，笔者选择借用题目情境，结合二次函数图象，引导学生在反复发现和提出问题、分析和解决问题的过程中，统整数学知识、方法和经验，达成教学目标.

一、教学过程

环节1：读题读图，获取信息.

问题1：仔细阅读题目，结合图形，你读出了哪些信息？根据这些信息可以得到什么结论？并说出依据.

生1：由AB = 3 cm，BC = 4 cm，得到AC = 5 cm. 依据是勾股定理.

生2：由[AP=t，] 得到[PB=3-t.] 由BQ = 2t ，得到[QC=4-2t]. 依据是由图形之间的位置关系得到线段之间的数量关系.

生3：可以得到PB2 + BQ2 = PQ2（依据是勾股定理），[S△PBQ=][12PB · BQ]（依据是三角形的面积公式），S四边形APQC = S△ABC - S△PBQ（依据是由图形之间的位置关系得到面积之间的数量关系）.

生4：可以得到[0≤t≤2.] 依据是动点的起点、终点、运动路径及速度.

【说明】问题1是一个开放性的问题，引导学生通过读题读图、适当标记加联想解决问题. 这也是解决几何问题的基本思路和方法，即逐字逐句读题，每读到一个已知条件，就在图形中找到它的位置，并做出适当的标记（如相等关系、垂直关系等），而且要根据已知条件和隐含条件，结合图形联想到一般结论. 通过这样的问题设计，旨在引导学生在解题过程中不断积累基本活动经验. 同时，学生发现的信息和由此得到的结论，也是对相关数学知识的统整.

环节2：根据信息，提出问题.

问题2：根据题干、图形和以上获取的信息，你能提出什么问题？如何解决呢？

生5：当[t=2]时，求线段PQ的长，△BPQ的面积，四边形APQC的面积;当PQ∥AC时，求[t]的值;当[t]为何值时，[△BPQ∽△ABC].

生6：用含有[t]的代数式表示线段PQ的长、△BPQ的面积和四边形APQC的面积.

【说明】生5先是列举时间[t]的特殊值，根据相关的数学知识，得到相关的数学结论，然后给出线段的特殊位置关系PQ∥AC，得到特殊的数量关系而求出此时[t]的值，最后探究两个三角形相似时[t]的值.

生6的回答则是回到了一般情况，旨在体会几何图形中相关条件、要素的“变化中的不变性”，探究出一般规律，进而得到三个不同的函数关系. 这里不仅建立了函数模型，也在建模的过程中，渗透了从特殊到一般的思想，这也是一个数学抽象的过程，为后面的深度探究做好铺垫.

问题2的设计在于引导学生发现和提出问题、分析和解决问题，并在解决问题的过程中感悟方程思想和数形结合思想，以及在特定情况下，图形中相关条件、要素之间数量关系和位置关系的相互转化.

环节3：由数到形，按图索骥.

问题3：设△BPQ的面积为S（cm2），则[S=-t2+3t][0≤t≤2]. 它的图象如图2所示. 你能根据函数表达式并结合图象提出哪些问题？如何解决呢？

生7：当△BPQ的面积为2时，求出t的值;当[t]为何值时，△BPQ的面积最大，最大值是多少？

问题4：若点Q到达点C停止运动后，点P按照原来的速度继续运动到点B停止，设点P运动的时间为t（s），试写出S（cm2）关于t（s）的表达式，并画出函数图象.

生8： [S=-t2+3t 0≤t≤2，-2t+6 2<t≤3.] 图象如图3所示.

师：点[2，2]的意义与作用是什么？

【说明】通过问题3和问题4的设计，让学生看到一个新的函数形式，它不同于以往学习的二次函数，整个函数的图象是两个函数图象的有机组合，反映了同一个问题情境下的两个不同的对应关系，让学生深切感受到由对应关系到函数，再由函数到图象的一个由数到形的变化过程.

对于教师提出的点[2，2]的意义与作用是什么，有以下几方面解释. 从图象上来看，点[2，2]是两个函数图象的交点，同时满足两个函数关系式;从函数的角度来看，[2，2]是一组对应值，即当[t=2]时，[S=2];从点的实际意义来看，当点P运动2 s时，△BPQ的面积为2 cm2;从图形的角度来看，是点Q运动到了终点C.

在这类函数图象的信息题中，教师要尝试引导学生体会分段函数图象上的分段点与图形上动点的运动状态变化（速度、方向等变化）的对应关系. 充分理解和运用好这一特殊点的坐标，是解决这类函数图象信息题的关键所在，为后面的问题解决埋下了伏笔.

环节4：由形到数，问题解决.

如图4，在Rt△ABC中，∠B = 90°，BC = 4 cm. 点P从点A出发沿A匀速运动到点B;同时，点Q从点B出发沿BC匀速运动到点C. 两点同时开始运动，到达各自的终点后停止. 设点P运动的时间为t（s），△PBQ的面积为S（cm2），S与[t]的函数图象如图5所示.

问题5：你能从图象中获取什么信息？由这些信息可以得到什么结论？你能提出什么问题？如何解决？

【说明】问题5旨在让学生在前面积累的解题思路和基本活动经验的基础上，发现函数图象中的点[2，2]的关键作用. 分析它在图形中的具体位置，了解它的实际意义，根据题干和图形中隐藏的相等关系求出线段BA的长，以及点P和点Q的运动速度. 这样，学生可以根据前面解决问题的相关经验来求解相关问题，促进“四能”的发展.

环节5：板书设计，展示条理.

本节课板书设计如图6所示.

【说明】上述板书设计本质上是一个思维导图，展示了整节课的条理和知识间内在的逻辑关系. 从环节1开始，展示了解决动点问题的一般思路，即找準运动的起点和终点，构建相等关系来表示相关线段的长度，明确动点的运动状态和运动路径，根据其中蕴含的数量间的相等关系列出方程求解. 在环节2中，从特殊到一般，重在探索点的运动过程中不变的数量关系，为后续建立函数模型做铺垫;环节3中逐渐生成函数关系并绘制出函数图象，用函数图象来描述动点的运动状态和运动过程;环节4则充分体现了图形与图象之间的对应关系，找到了一般的解题思路和方法.

板书体现了数与形的深度结合，旨在体现几何图形中要素（或相关要素）之间的数量关系和位置关系相互依存、相互转化的内在特征，以及抓住其“变化中的不变性”来探究出一般规律和解决问题的策略，充分体现了几何图形中点的运动所蕴含的相等关系和函数关系的对应，动点运动路径与函数图象的对应，动点运动中的特殊位置与图象上特殊点的对应.

二、专题复习课设计思路与目标

1. 设计思路——数学内部的学科统整

（1）数学知识的统整.

本课例是以知识之间联系为纲的统整，主要聚焦数学学科内部知识体系，聚焦数学学科的课程内容. 其中，同册教材内容的重构是“横向统整”，跨年级教材相关联的内容重构是“纵向统整”. 显然，本课例体现的是数学知识的“纵向统整”，完成了不同知识之间的联系与统整. 例如，图形相似的性质、三角形的面积、函数及其表达式、图象、性质、方程等.

奥苏贝尔认为，学习的实质是对学生认知结构的组织和重新组织，组织和重新组织的过程就是新旧知识相互联系、相互作用的过程. 因而，在专题复习课的设计中，教师应该始终以整体视角组织、设计和处理各章节、各单元和各知识点之间的联系，让学生在整体中、联系中、比较中学习，从而帮助学生在头脑中将知识“由点构成线，由线构成面”，形成立体、开放、整体的知识结构.

（2）方法和能力的统整.

在统整知识的同时，学习方法和经验也是在不断地积累、反思、改进中融会贯通的，这是一个渐进的、呈螺旋式上升的过程. 学习方法的掌握和学习能力的提升，需要教师在不同的时期、不同的阶段和学生一起对之进行统整.

本课例中，环节1中从几何解题的一般方法——读题、读图、标记、联想，到提出问题和解决问题;环节2中，从[t]取特殊值时线段的长度和图形的面积，到特殊位置下[t]的求值，再到用含[t]的代数式表示线段的长和图形的面积;环节3从函数关系式的建立到用图象描述这种对应关系，再到运用二次函数的图象和性质解决问题;环节4中从函数的图象中获取信息，到回归结合图象解决问题，再到整个问题的解决. 以上环节都是紧紧围绕方法的归纳总结与能力的提升来设计的.

数学教育的基本功能和任务是使学生具备一定的数学素养，具体包括以下几个方面：让学生懂得数学的价值;对自己的数学能力有信心;有解决数学课题的能力;学会用数学语言交流;学会运用数学思想方法. 因此，专题复习课的设计，应该在统整学习内容的基础上，把学生的学习方法、学习习惯和学习能力培养统整进来，进而有效防止学习能力的培养与学习内容割裂开来，让学生学会学习.

2. 设计目标——彰显数学的育人价值

专题复习课一般以知识为载体、以能力为目标来进行设计. 而以核心素养为纲的统整所考虑的不仅仅是学科知识本身，而是“以生为本”的教学，是回归学生本位、回归发展本位的设计，构建学科育人价值，促进学生学习方式的根本性改变.

（1）在统整中渗透“四基”“四能”.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括. 专题复习课的设计，应从基本问题开始，引导学生发现和提出问题、分析和解决问题;引导学生积极参与到教学活动中来，通过独立思考、合作交流来归纳、总结解决问题的一般方法;引导学生在解决问题的过程中积累经验，为后续的问题解决打下坚实的基础;引导学生在学习过程中尝试针对不同数学问题采用不同的数学思想方法，体会和提高有结构的、有逻辑的思考问题能力.

（2）在统整中落实数学学科核心素养.

以上课例的设计在落实数学学科核心素养上做了许多的探索. 从环节1中归纳出解决动点问题的一般方法和规律，从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题，到环节2中[t]的取值的从特殊到一般;从环节3中的“由数到形，按图索骥”，到环节4的“由形到数，问题解决”，其中蕴含了数学的基本运算，在数形结合中借助几何直观理解问题，在二次函数模型的建立中抽象出一般方法和技能等，无不是对数学学科核心素养的落实. 因此，本课例的设计完成了数学学科知识的学习与数学学科核心素养培养的有机统一.

（3）在统整中提升数学审美价值.

本课例中，学生从动点开始，经历了动点问题到函数的转化，再到从函数图象中获取信息并回归到几何图形的过程，深切体会了数学知识之间的内在联系和数形之间的相互转化. 教师先引导学生用理性的思维去品味自身的数学学习，并在解决问题之后，引导学生去反思. 在专题复习课中，教师要经常引导学生对自我解决问题的行为进行反思，这种基于问题的反思本身就是一种实践智慧. 张文俊教授在《数学欣赏》一书中指出，数学的美就是数学问题的结论或解决过程适应人类的心理需要而产生的一种满足感，简洁的表现形式，精细的思考方法，处处充满着理性、高雅、和谐之美，这是真与善的客观表现.

在本节课的问题解决过程中，学生获得了成功的体验，满足了自我实现的需要，同时获取了一种积极的情绪. 专题复习课的设计应着眼于这种积极情绪的营造与培育，使学生在愉快的氛围中学习数学，进而激发学生对数学学习的兴趣，提升学生学好数学的愿望和信心.

张奠宙先生认为，数学欣赏正在从外部的美观，不断的深入到数学概念和命题的内涵深处. 欣赏外表直观之秀，内涵深刻之慧，文化底蕴之浓，理性思考之精，也许这就是数学欣赏的普遍规律.

参考文献：

[1]余文森. 核心素养导向的课堂教学[M]. 上海：上海教育出版社，2017.

[2]雷玲. 中学数学名师教学艺术[M]. 上海：华东师范大学出版社，2008.

[3]张文俊. 数学欣赏[M]. 北京：科学出版社，2011.

[4]张奠宙. 数学欣赏：一片等待开发的沃土[J]. 中学数学教学参考（上旬），2014（1 / 2）：3-6.

[5]刘志昂. 运用模式识别  探寻数学之美[J]. 中国数学教育（初中版），2019（4）：50-53，59.