深度引入：核心素养下数学深度教学的出发点

【摘 要】一节完整的课应包含三个环节：“知识从何而來”“知识是什么”“知识向何而去”。但在实际教学中，许多教师只注重第二环节的教学，而对第一、第三环节重视不够。要深刻揭示“知识从何而来”，知识引入就必须有深度，深度引入是核心素养下数学深度教学的出发点，变残缺的教学过程为完整的教学过程，变单纯的知识理解为发展核心素养取向，变单纯的科学追求为科学与文化并重，可避免知识引入中的肤浅现象，引导学生进行深度学习，并自然地引出课题。

【关键词】核心素养;深度教学;深度引入

【作者简介】李忠贵，高级教师，全国优秀教师，连云港市名师。

【基金项目】江苏省教育科学“十三五”规划2016年度立项课题“提升高中生数学核心素养的教学设计研究”（D/2016/02/04）

教师只有深度教学，学生才能深度学习，数学核心素养方能在教学中落小、落细、落实。核心素养下的深度教学并非一味地追求“难”，而是深入数学本质的反思性教学、触及心灵深处的对话式教学、促进持续建构的阶梯式教学、建构深层意义的理解性教学[1]。要深刻揭示“知识从何而来”，知识引入就必须有深度，深度引入是核心素养下数学深度教学的出发点，可有效避免知识引入中的肤浅（表演、表层、表面）现象，引导学生进行深度（真实、深层、深刻）学习，着力培育学生的数学核心素养，并自然地引出课题。下面以几节市公开课为例，谈谈笔者的一些思考。

一、知识肤浅引入的现象举隅

（一）偏离目标，缺乏必要性

在教学中，有的教师囿于自身素养，对教学内容理解不深刻，教学引入的设计缺乏深度，引例不典型，学生用已学的知识、方法就可轻松解决教师设置的问题，预设的认知冲突不存在，没有发挥教学引入这一环节应有的教学价值。

【案例1】“数学归纳法”的教学引入如下：

该设计的本意是学生用已学知识难以求解，于是教师想通过认知冲突引出新知。但在实际教学中，学生用已学知识将递推关系式取倒数，通过构造等差数列，其实就可以轻松解决此问题。究其原因，主要是教师对教学内容缺乏深度设计，以致教学内容与教学引入脱节，无形中使教学目标发生偏航，导致新知的学习对学生缺乏吸引力，从而使教学引入失去引导的价值。

（二）偏离本质，缺乏深刻性

有的教师的教学引入千篇一律，华而不实，甚至是照本宣科，问题设置缺乏深刻性、逻辑性和导向性。学生难以进行深度探究，既无法对数学知识建构自己的理解，又难以促进思维能力和核心素养的提升。其原因在于，教学引入没有立足于数学知识的本质。

【案例2】“函数的单调性”的教学引入如下：

从生活实例出发，如某地某日气温关于时间的变化曲线、记忆的数量关于时间的遗忘曲线等，便直接引出函数的增减性（图象从左往右的升、降趋势），最后用符号语言进行刻画。

这样的教学设计容易给学生学习造成以下困惑：什么是函数性质？函数性质为什么要首先研究函数的增减性？为什么还要进一步研究函数的增减性？即为什么一定要用数学语言刻画函数的增减性？学生无法深刻认识这三个根本性问题，会对后续的学习造成影响。

（三）忽视主体，缺乏启发性

有的教学设计没有基于学生已有的数学思维，引入角度狭窄，设置的问题缺乏启发性和内在逻辑性，自主探究流于形式。教师常常将知识强加给学生（或者变相告诉学生），固化了学生的数学思维，窄化了学生的数学视野，教学过程显得不自然，不利于学生数学核心素养和关键能力的提升。

【案例3】“同角三角函数关系”的教学引入如下：

上述设计从引入到三角函数公式的发现及推导仅用了4～5分钟，而余下的大量时间用于例题的讲解和学生的练习，教师将一节新授公式课变成了习题课。

（四）偏离主题，缺乏关联性

有的教学引入偏离主题，设置的问题情境比较复杂，且与本节课的核心知识缺乏关联性，对学生的深度学习造成干扰。学生不清楚教师的教学目的，师生思维难以实现同频共振，教学效益低下，学生学习的时间被白白浪费掉。

【案例4】“随机事件的概率”的教学引入如下：

教师利用二战中潜艇遇袭的事件制作课件，创设问题情境。教师在多媒体上大篇幅展示多次战争中双方的武器设备，如运输船、潜艇等;教师还大肆渲染战争紧张气氛，并称英国、美国在大西洋上的运输船队，由于缺乏护卫舰的护航，常受到德国潜艇的攻击。后来，美军将领请数学家作为参谋，数学家通过概率分析发现，舰队和潜艇相遇问题是随机事件，其实是概率问题。他们将舰队规模变大，在危险海域集体通过后，再各自驶往预定地点，结果遇袭的概率大大降低。最后教师问学生：“这是什么原因呢？”

上述设计选用情境材料过于复杂，干扰信息过多，大篇幅强调概率的重要性，对学生理解本节课的核心知识毫无帮助。因此，这样的教学引入偏离了数学教学的主题，没有太多的教学价值与效益。

二、知识深度引入的价值取向

（一）变残缺的教学过程为完整的教学过程

喻平教授认为：“一节完整的课应该包含三个环节，‘知识从何而来‘知识是什么‘知识向何而去，这是一条因果链，它反映了‘知识产生和发展的全过程。”[2]大量的课堂观察表明，许多教师仅仅关注了因果链的第二环节“知识是什么”，而对于第一、第三环节常常一带而过。这样的教学实际上是一种碎片化的教学，教学过程残缺，既难以让数学知识结构化，又无法培养学生的数学核心素养和关键能力。章建跃博士认为：“理解教学是教好数学的前提。”[3]数学核心素养下的深度引入，需要教师深度研读课程标准和解读教材，对教学内容的理解要深刻、通透，从本章乃至整个高中数学来整体设计一节课的教学，提高学生的数学核心素养，变残缺的教学过程为完整的教学过程。

（二）变单纯的知识理解为发展核心素养取向

肤浅的教学引入只注重单纯的知识理解和方法的记忆，不利于学生对知识的自主探究，难以提升学生的核心素养，无法实现深度学习。而且这样的教学方式推崇“教师的权威”，不利于凸显学生的主体地位和教学生成，难以激发学生的创造性和主动性。新课改下的高中数学教学不应过分偏重知识的追求，而应变单纯的知识理解为发展核心素养取向。教师要转变教学方法、思想观念与价值追求，通过创设恰当的教学情境，引导学生进行深度探究、自主建构、合作交流、把握本质，让学生感悟数学的内在力量和价值，促进学生的关键能力和数学核心素养的提升，落实数学学科立德树人的根本任务。

（三）变单纯的科学追求为科学与文化并重

传统的高中数学教学过分强调其传承数学知识的价值，而忽视其数学文化内涵的挖掘，这不仅背离了当前课程改革的方向，也违背了数学学科的学科特质及价值要求。高中数学教学不仅具有传授科学知识、发展认识能力、培养科学精神等科学追求，也应关注数学文化对学生人文精神的涵育，进而促进学生心灵的成长。正如怀特海所指出的：“我們要造就的是既有文化又掌握专门知识的人才。专门知识为他们奠定起步的基础，而文化则像哲学和艺术一样将他们引向深奥高远之境。”[4]教学引入适当地融入数学文化，如数学史教育、数学的返璞归真教育、数学美育等，渗透情感教育，培养学生学习数学的兴趣以及解决问题的自信心和意志力，发挥数学学科传递文化价值观念和道德规范的价值功能，营造科学与人文融合的数学文化氛围，进而对学生进行文化熏陶，使其获得科学与文化素养的双重提升。

三、知识深度引入的教学策略

提升学生的核心素养是教学引入环节的一个重要任务，核心素养下高中数学的深度教学呼唤深度引入，深度引入能很好地诠释“知识从何而来”，即“为什么来”“如何来”“为什么这样来”。

（一）认知冲突引入

认知冲突引入一般指在引入环节，教师通过巧设问题，使学生已有的认知结构与新问题或新知识之间产生对立或矛盾，可以打破学生原有的认知平衡，激发学生的学习兴趣和主动探究的意识，集中学生学习数学的注意力，有利于促进学生进一步把握数学本质和建构新知识，使学生在问题解决中获得核心素养和关键能力的提升。以下是案例1“数学归纳法”教学引入的改进方案。

这样的教学设计，通过巧设认知冲突，激活了学生的数学思维，调动了学生数学学习的积极性与创造性，促进了学生自主探究与深度学习，培养了学生的数学运算、逻辑推理、直观想象等素养。

（二）知识本质引入

凸显知识的本质是数学教学的核心。知识本质引入就是在进行教学引入设计时，需在揭示知识的本质上多花工夫，非本质性问题的探究应淡化，这样才能促进学生的学习由表面趋于本质，让数学深度学习真正发生。由于教材的教学内容常常以简约、留白的学术形态呈现，因此，教师在进行教学引入时，要依据学情运用教学智慧，对教学内容进行重新开发与设计，将其转化为教育形态，以促进学生对知识本质的理解和把握。以下是案例2“函数的单调性”教学引入的改进方案。

【案例6】（1）在研究一个新的概念后，我们常常需要学习其性质，那么事物的性质是什么？（2）函数最重要的研究对象为事物的“变化”，即当x增加（或减少）时，y是如何变化的？（3）结合生活的实例和已学的函数图象，引导学生发现，函数的图象虽然千变万化，但其图象从左到右总会呈现上升（或下降）趋势，初中对此已做过研究。（4）利用函数（如y=0.001x+4）图象的直观判断其上升（或下降）趋势可靠吗？（5）许多函数（如y=x3-2x+3）图象使用已学知识无法作出，这一特征应如何精确刻画？

这样的教学引入，紧扣数学知识的本质，通过设置环环相扣的真问题深度引领，激发学生自主建构和深度探究，追根溯源，抽丝剥茧，逐步将教学引向深入，着力培养了学生直观想象、数学抽象、逻辑推理等学科核心素养。

（三）已有思维引入

已有思维引入就是在教学引入时，唤醒学生已有的数学思维、认知经验等，在学生的最近发展区实施深度教学，促进学生数学知识结构化，建立新旧知识的内在联系，提升教学的针对性和实效性，进而引导学生深度学习，真正实现学生数学核心素养和关键能力的提升。以下是案例3“同角三角函数关系”教学引入的改进方案。

这样的教学设计从已有经验出发，数学问题逻辑连贯性强，让学生经历数学公式产生和发展（观察、归纳、猜想、证明等）的过程，着力发展学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理等素养，并自然地引出课题。

（四）知识背景引入

任何数学知识（概念、公式、规则等）均不是凭空想象而来的，它们是数学家为解决生产实践和科学研究中的问题而进行理性思考和发明创造的结果。知识背景引入一般指教学引入从知识产生的背景出发，设置真实的现实情境，让学生亲身经历对数学知识再发现、再创造的过程，促进学生对知识的理解、应用和数学核心素养的提升，感悟数学的魅力和育人价值。正如史宁中教授所指出的：“数学核心素养的发展，关键在于搭建数学与现实的联系，锻炼数学的思维、语言、眼光。”[5]

【案例8】“正弦定理”的教学引入如下：

（1）建设高铁常常需在河面上建设桥梁，现有一条河，在河的两岸各有A，B两点，工具有测角仪和皮尺。若你在与A点同一侧的岸边，不过河，如何求出A，B两点间的距离。（2）上述问题中，在A点同侧的岸边取一点C，测量出AC的长，以及∠BAC，∠BCA的大小，求AB的长。（3）在△ABC中，AC=10，∠BAC=75°，∠BCA=45°，求AB的长。通过问题求解，你能猜想什么结论？（4）在△ABC中，若已知∠BAC，∠BCA及AC，求AB的长。

这样的教学设计，揭示了知识产生的背景，让学生在建模过程中，体会“观察—归纳—猜想—证明”“特殊—一般”的思维方法，体验正弦定理再发现和再创造的历程，感悟数学的内在力量和魅力，促进学生数学建模、数学运算、逻辑推理、数学抽象等核心素养的提升。

（五）数学文化引入

数学文化引入一般指在教学引入时，适时、适度地融入数学文化（即依据教学内容恰当地渗透数学史、数学家的成长故事、数学思想、数学美等），还原知识的生成过程，可以有效激发学生学习数学的兴趣和求知欲，拓宽学生学习的数学视野，感悟数学的力量、魅力和价值，培养学生的理性精神和核心素养。在平时的教学中，教师要学习基于数学史的数学文化等相关理论，阅读并积累相关主题的数学史素材，有助于进一步优化课堂教学，实现数学学科育人的功能[6]。

【案例9】“数系的扩充”教学引入如下：

这样的教学设计，在具有逻辑连贯性的问题中融入数学文化，对复数的产生和发展过程进行复盘，激发了学生学习数学的兴趣和好奇心，提升学生学习的主动性和创造性，培养学生的理性精神，以及数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养。

四、结语

数学课堂的教学引入虽然在一节课中所占的时间并不长，但它关系着这节课教学的成败和教学效益的高低，必须引起数学教师的高度重视。深度引入是核心素养下数學深度教学的出发点，它深刻诠释了“知识从何而来”，立足于学生已有的思维、认知冲突、数学知识的背景、数学知识的本质和数学文化等，引导学生“会用数学观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”[7]，有利于深刻揭示学习新知的必要性、合理性和知识生成的自然性，有益于激发学生主动建构数学知识与自己的数学理解，有助于促进学生对数学本质的把握、核心素养的提升和后续知识的学习。

参考文献：

[1]李松林.深度教学的四个基本命题[J].教育理论与实践，2017（20）：7-10.

[2]喻平.数学教学实践中的理论思维[J].教育研究与评论，2020（1）：10-16.

[3]章建跃.理解数学是教好数学的前提[J].数学通报，2015（1）：61-63.

[4]怀特海.教育的目的[M].徐汝舟，译.北京：生活·读书·新知三联书店，2002.

[5]史宁中，林玉慈，陶剑，等.关于高中数学教育中的数学核心素养：史宁中教授访谈之七[J].课程·教材·教法，2017（4）：8-14.

[6]余庆纯，汪晓勤.基于数学史的数学文化课例研究[J].中小学课堂教学研究，2021（1）：5-9.

[7]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

（责任编辑：陆顺演）