理论力学中二力杆的教学探讨

◇安徽理工大学力学与光电物理学院 卢小雨 董春亮

二力杆为静力学中的常见构件之一，受力比较简单，但仍有一些学生对其认识不足，常把它两端的约束力想当然的画成正交力。本文首先从约束性质、平衡等方面证明二力构件的约束力必然沿着受力两点的连线方向；然后利用一个具体算例分析杆件自重对约束力大小及其合力方向的影响，计算结果表明当杆件自重不超过外荷载的10%，才可以忽略其自重而按二力杆进行分析。

1 引言

二力杆即为忽略自重的情况下，受到两个力作用而平衡的构件[1]，如果构件是直杆则称其为二力杆，也可以称为二力构件或者连杆。二力构件的受力特点是：这两个力大小相等、方向相反且沿着这两个力作用点的连线方向[2]。二力杆常见于输线塔、屋架等桁架结构之中，见图1。二力构件是理论力学中最简单的受力构件，它的定义也是非常的简单、明确，但是仍然有好多学生一做就错[3，4]。下面就从几个方面来证明二力构件的作用力必须沿着两个力作用点的方向。

图1 工程实例

2 二力杆受力方向的推导

首先，从约束性质方面来看，二力构件约束与柔性体约束不同，它不是单面约束，杆件两端的约束一般均为光滑圆柱铰链。以图2（a）为例，它所能约束的位移是沿两作用点连线方向的径向位移，切向位移不受限制，见图2（b），因此其约束力也必定是沿两作用点连线方向（见图2（c）），根据二力平衡公理可知，这两个力应大小相等、方向相反。

图2 二力杆举例

其次，从二力平衡公理来看，对于图3（a）所示的结构，不考虑重力，对BC杆受力分析，B处为固定铰链支座，C处为中间铰链，则B、C两处均为光滑圆柱铰链，因此它们的约束力均为任意方向的集中力（见图3（b）），而根据二力平衡公理，这两个力必须大小相等、方向相反且沿着两点的连线方向（见图3（c））。

图3 二力杆举例

图4 正交力

3 探讨重量对二力杆的影响

杆件一般都有一定的重量，因此下面通过一个例子来探讨杆件重量对二力杆受力方向的影响，以图5（a）为例，结构的整体受力图和CD杆受力图如图5（b）和图5（c）所示。

图5 考虑构件的重量

由图6可知，CD杆C点合力FC与 水平方向的夹角θ随着杆件重量增加而几乎线性增大；当W=0时，也就是不考虑重量影响时，夹角θ0=36.87°；当W=15kN（为外荷载的十分之一）时，合力夹角约增加0.7°；当W=22kN时，合力夹角约增加1°；当W=50kN（为外荷载的三分之一）时，合力夹角约增加2°；当W=75kN（为外荷载的二分之一）时，合力夹角约增加3°。

图6 夹角θ与杆件重量之间的关系

考虑到工程中不同的结构形式，可以认为当杆件自重不超外荷载的10%时，可以忽略杆件的重量将其看成二力杆，约束反力大小和合力角度的精度都满足工程要求。

4 结语

综上，本文从多个方面证明了二力构件的受力特点，即二力构件的约束力必然沿着其两点的连线方向，且大小相等、方向相反。通过一个实例计算发现：杆件自重对约束力大小及合力方向有一定的影响，合力方向随着杆件重量增加而逐渐偏离杆件受力点连线方向，计算结果表明当杆件自重不超外荷载的10%时，约束反力大小和合力角度的精度都满足工程要求。这有利于学生加深理解二力构件的受力特点，也有助于学生对静力学一些内容融会贯通，提高理论力学课程的教学效果。