从公理化方法视角解读数学

雒福东

1、公理化的方法解读数学

1.1数学的定义

数学是什么？这是困扰人们千百年来的问题。历史上很多哲学家和数学家都对数学下过定义，在众说纷纭之间体现了数学多样的美。其中一个定义是这样叙述的：数学是公理化，是指从尽可能少的原始概念和不加证明的原始命题（即公理、公设）出发，按照逻辑规则推导出其他命题，建立起一个演绎系统。对于庞大的数学体系，这样的定义过于抽象，这要求我们要从具体事例角度加以理解。

1.2公理化方法的定义

公理化思想就是任何真正的科学都始于原理，以它们为基础，并由之而导出一切结果。随着假设演绎模型法的进一步发展，经济学日益走向公理化方法。公理化是一种数学方法。最早出现在二千多年前的欧几里德几何学中，当时认为“公理’（如两点之间可连一直线）是一种不需要证明的自明之理，而其他所谓“定理” （如三对应边相等的两个三角形全等）则是需要由公理出发来证明的

1.3公理化方法解读数学

当一门科学积累了相当丰富的经验知识，需要按照逻辑顺序加以综合整理，使之条理化、系统化，上升到理性认识的时候，公理化方法便是一种有效的手段。如近代数学中的群论，便经历了一个公理化的过程。当人们分别研究了许多具体的群结构以后，发现了它们具有基本的共同属性，就用一个满足一定条件的公理集合来定义群，形成一个群的公理系统，并在这个系统上展开群的理论，推导出一系列定理。不但对建立科学理论体系，训练人的逻辑推理能力，系统地传授科学知识，以及推广科学理论的应用等方面起到有益的作用，而且对于进一步发展科学理论也有独特的作用。例如在代数方面，由于公理化方法的应用，在群论、域论、理想论等理论部门形成了一系列新的概念，建立了一系列新的联系并导致了一系列深远的结果;在几何方面，由于对平行公设的研究导致了非欧几何的创立。

2、几何公理化演变

2.1《几何原本》带来的公理化方法

早在古埃及和古巴比伦时期，实用几何知识已经初步形成。古希腊早期的數学家泰勒斯熟悉了经验几何和计算法则后，确定了几条最早的几何定理。后来毕达哥拉斯学派开始了几何逻辑证明。其中该学派的希波克拉茨第一个系统得对几何进行逻辑证明，其名著«几何纲要»开创了希腊公理学论著的先河。[1]之后柏拉图学派也把数学奠基于逻辑之上，坚持使用准确的定义、清楚的假设和严格的证明，提出了系统的推理法则。古希腊数学家哲学家和逻辑学家亚里士多德则是“第一个伟大的公理化方法理论家”。他在«分析篇»中，总结概括了逻辑学丰富资料，在历史上第一次对公理化方法做了论述。但是他没有实际用过公理化方法推出定理，构造一个理论化知识体系。[2]直到«几何原本»问世，才开始初步形成实质性公理化方法。

2.2希尔伯特公理体系的建立

然而欧式几何也并非完美无缺的，它对于一些概念的描述存在着模糊性，因此后世一直在对其进行完善。例如«几何原本»中提到的第五公设：“如果两条直线与另一条直线相交，所成的同侧内角和小于两直角，那么这两条直线在这一侧必相交。”人们对其进行多次证明，结果却以失败告终。直到高斯，罗巴切夫斯基和黎曼各自独立认识到这种证明是不可能的，从而建立了不同于欧式几何的“非欧几何”。

2.3几何公理化演变的启示

从几何公理化的演变历史中，我们可以看出以下几点。首先几何的公理化体系并不是从几何诞生之日起便实现的，而是随着历史的发展不断完善的。正是因为有了古希腊众多数学家的努力，欧几里得集大成者完成了«几何原本»，开创了实质性公理化方法。而后希尔伯特又在非欧几何基础上建立了希尔伯特公理体系，从而形成了数学公理体系。由此可见，数学的公理化形成过程并不是仅仅靠一位或几位天才的数学家就可以实现，而是需要无数的数学家的汗水努力所完成的。所以，我们应该明确几何公理化的形成过程，培养严谨的逻辑思维，提高推理论证能力，才能更好的运用几何公理化知识去进行逻辑推理，来解决实际问题。

3、数学是公理化的依据

公理化具有如此鲜明的特点，体现了数学的丰富多彩的性质。同样，将数学定义为公理化，也体现了从几条简单的公理和公设出发演绎出整个数学体系的公理化过程。下面让我们看一下将数学定义为公理化的基本依据。

3.1数学的发展是公理化完善过程

数学的发展是一个漫长的历史过程，并随着时间的流逝不断的完善。在数学最初的起源时，数学知识基本来源于生产生活之中。例如古埃及，古巴比伦的数学，就是起源于生活之中。而后在古希腊时期，论证几何的出现让数学逐渐脱离现实，进入了抽象化的水平。东方数学也是如此，从用于解决天文学问题的«周髀算经»，发展到成就丰富的«九章算术»，再到宋元数学的辉煌，同样是一个数学理论体系完善的过程。

3.2公理定义方式对数学定义的影响

公理定义就是用一组公理来描述被定义项概念的本质属性的定义方式。在几何公理化演变部分，意大利数学家皮亚诺对于自然数的定义便是应用的公理定义方式。公理定义方式属于数学七大定义方式之一，为人们所普遍接受。数学中很多基本概念，例如点、线、面都可以用公理化方法来定义，但是语言叙述相对复杂一些。所以在现实教学中，我们一般采用描述方法来说明此类简单概念。

3.3公理化体系的形成带来数学的变革

在前面的数学中，我们对数学公理化的演变有了清晰的了解。西方有句谚语：罗马不是一天就建成的。同样，数学理论体系不是一天就形成的，而是一个不断变化发展的过程，而每一次大的数学变革都颠覆了人们对传统的认识。的发现引发了数学第一次危机，撼动了毕达哥拉斯学派“万物皆数”的理念。解析几何的创立将几何与代数完美的结合在一起。微积分的创造让数学从常量数学时代进入变量数学时代。19世纪末非欧几何的创立更是改变了两千多年来人们对欧式几何的信赖。可见，数学变革的力量是巨大的，它可以推动整个数学知识体系的完善和深化。

3.4公理化方法对于数学的作用和意义

分析、总结数学知识.凡取得了公理化结构形式的数学，由于概念和定理均已数学公理化方法（axiomatic method of mathe-matics）一种常用的数学方法.从尽可能少的不定义的原始概念（基本概念）和一组不加证明的命题（公理）出发，经过精确定义和逻辑推理而得到其他的全部概念和定理的、建立数学系统的方法。