汲取源头活水 深挖基本事实

殷美乔

摘 要：初中几何求最值问题是比较常见的题型，基于课堂教学的有效性，本文针对初三中考复习时如何在自己的课堂教学中深挖“两点之间，线段最短”的基本事实求，通过利用旋转、对称和三角函数等来转化求最小值问题的题型分析，以达到培养学生直观想象和数学建模等核心素养之目的。本文对初三中考复习时如何在自己的课堂教学中深挖“两点之间，线段最短”的基本事实求最小值的题型分析，请各位同行和专家不吝赐教。

关键词：核心素养;最值;将军饮马;核心知识

初中几何的最值问题一直以来都是各地中考的热门考点和难点，最值问题往往会涉及到动点、轨迹，又可以结合函数和几何图形，问题错综复杂，学生处理起来难度很大。“两点之间，线段最短”是初中数学课程标准中界定的九大基本事实之一[1]，这个看似最简单，最清楚不过的数学原理，往往是部分初中几何求最值问题的一个重要的依托点和核心知识的来源。把握核心知识，汲取源头活水，让学生游刃有余的解决此类问题。

一、课本出发

1.初识“将军饮马”

浙教版教科书七年级上册P149页第六章《图形的初步认识》6.3《线段的长短比较》这一节中学习了“两点之间线段最短”这个基本事实。

浙教版教科书八年级上册P5页第一章《三角形初步知识》1.1《认识三角形》这一节中学习了“三角形两边之和大于第三边”这个性质。

浙教版教科书八年级上册P50页第二章《特殊三角形》2.1《图形的轴对称》中例2第一次提出了“将军饮马”的模型。

“三角形两边之和大于第三边”的性质是由“两点之间线段最短”这个初中数学课程标准中界定的九大基本事实之一直接得到的，两者实际上完全相通的，学习了轴对称以后“将军饮马”的数学模型就顺理成章了。

现在我们反过来思考“将军饮马”模型的建立的要点有二：首先要找到其中一个点的对称点，即化同侧为异侧;其次是三点共线运用“两点之间，线段最短”来解决。围绕核心知识点逐层深入，引导学生认真研习教材，我们不难发现这其实也很清晰的提出一条几何学习的思路和方法。要想做到这一点，关键还在于多研习教材，拓展思维，并且对核心知识做到心领神会。

2.将军二次饮马

了解将军饮马的基本模型构建，能在不同的背景比如三角形、四边形、圆和坐标平面内运用，是为善也;如果能及时总结经验，将此模型加深拓展，根据不同情境和自身实际选择调整解题方法和策略，则善莫大焉。作为初三的复习课，下面的题学生可能见过，但是是否与上面所讲的知识点自己主动联系过呢，或者是否主动将此类题归类过呢？

例题：如下图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一定点，且OP=3，点Q，R分别在OA，OB上，则∆PQR的最小周长是              .

解析：定角∠AOB内一定点，OA、OB两定边类似两河流，求∆PQR的最小周长，即将军两次河边饮马回营总路程。由此，分别作点P关于OA，OB的对称点P与P’’，如上图：当P、Q、R、P’’四点在一条直线上，即“两点之间，线段最短”，有周长最小。

反思：以上习题是将军饮马的变式，举一而反三，化两动为两静。基本上都转化为三点共线或四点共线，“两点之间，线段最短”，只要对核心知识和关键的模型掌握好，学生应该都不难想到解决问题的办法。

二、构建相似

例题：【2019·台州一模】如下图，在扇形O-CD中，∠COD=90°，OC=3，点A在OD上，AD=1，点B为OC的中点，点E是弧CD上的动点，则AE+2EB的最小值是________。

解析：该连接EO，得△OBE;延长OC到F，使CO=CF，连接EF，得△OEF，易证△OBE∽△OEF，得EF=2EB，当A、E、F三点共线时，即“两点之间线段最短”，AE+2EB有最小值.

反思：该题以扇形为背景，涉及到动点，题目要求AE+2EB的最小值，即求a+kb，线段前面有系数，最容易想到的是相似，相似就是我们的“缩放尺”。那么，构造相似三角形就是解決这类题目的关键了。找公共角，两边夹角，利用“母子相似”是比较常见的构造法。顺着这个思路，不难发现两动线之和为两点定之间的距离。

三、巧用旋转

例题：【2019·武汉】问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC=PE.

问题解决：如图2，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=.点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是_________.

解析：将△MOG绕点M逆时针旋转60°得到△MED，由旋转的性质有OG=ED。又易知△MOE为等边三角形，有MO=ME=OE。这样点O到△MNG三个顶点的距离和，就转化为NO+OE+ED之和，“两点之间，线段最短”，当N、O、E、D四点共线时和最小。过D作DF⊥NM，交NM延长线于F，通过勾股定理即可求得最小值为.

反思：以上习题一个以三角形为背景以旋转为切入口或思维的发散点去思考，让学生学以致用。如果我们平时的教学中贯彻了数学建模的思想，那么学生解决起来应该也是方便的。此题在分析和讲解的过程中还可以涉及到“费马点”这个概念，结合数学发展史，与古人的思维碰撞，提高学习数学的信心并发现数学的美。在解决这个问题时，数学家费马也是运用旋转的方法转化为四点共线，利用“两点之间，线段最短”求解。由此可见，只要对核心知识和关键的模型掌握好，学生应该都不难想到解决问题的办法。

结束语

我国著名的数学家苏歩青先生谈怎样学好数学时曾说过：“在中学的数学课本里，一些基本的概念是逐步地被引导进来的，既不要以为基本的概念很抽象，不易理解，就干脆把它放过去，又不要以为它很容易懂而不去深入理解。[2]”只有对基本概念（事实）的深入理解才能在遇到不同情境时能融会贯通。“两点之间，线段最短”这一基本事实在初中几何的各个阶段学习中都有机的融合，成为部分求最值问题的基本原理。从课本出发，精心设计每一个问题，环环深入，揭露本质，通过教师的步步引导，学生在细腻中见扎实，在体验中增素养。对称、相似、旋转等是方法是手段，是模型的来源，而基本事实则是问题的本质。看透本质、掌握方法和手段，也就是遵循了认识事物的一般规律，随之而来的便是学生的高效学习！

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.1：31

[2]苏步青.谈谈怎样学好数学[M].上海：上海教育出版社，1964-02：17