巧手折数学有趣又有用

吕红范

摘 要：折纸，是需要在有限的一个单位大的纸上进行科学的、近乎极致地分配，才能呈现出美丽的作品.越是复杂的成品，越需要进行精密的计算，里面蕴含了很多数学的知识.尤其是设计一个作品的时候，甚至还会用到大学微积分的概念.现代折纸与数学的完美结合，为折纸提供了无限可能，也将折纸与数学这两门看似毫不相干的学科联系了起来，使我们感受折纸当中蕴含的数学美与数学文化。

关键词：巧手折数学;有趣又有用;高中"数学折纸"课程;开发与实践

引言

《普通高中数学课程标准（2017年版）》提到学生通过高中数学的学习，达成“会用数学眼光观察现实世界，会用数学思维思考现实世界，会用数学语言表达现实世界”的教学目标.教师在教学过程中需要完成这样的的目标需要利用好教学的各个环节进行渗透相关的数学意识.让学生感受到数学就在身边，学习数学能够解决许多的生活问题，从而提高学生学习数学的兴趣.在教学的过程中，为了提高教学效果，教师会想各种办法开发教学资源，渗透相关的教学意识，完成相关的教学目标，比如利用学生身边的教学资源“纸”，课堂上教师根据教学内容把纸折成不同的形状，让学生去观察、分析、总结相关的数学知识，在教学目标得到完成的同时让学生感受到数学的奇妙，以达到教育教学的目的。

一、利用折纸引入教学内容

在数学的教学过程中，教师需要利用与课题密切相关的教学情境引入教学内容.在一节课或者一章内容的开始，利用新颖的方式引入教学内容，会使学生对相关的数学知识或者相关教学章节留下较深的教学印象，从而对数学的学习产生积极影响.例如在讲解《指数函数》新授课时，可以让学生拿出一张纸，进行對折，折五至六次，让学生在折叠的过程中仔细观察认真思考，从不同的角度把自己的发现表达出来.有些学生在折叠的过程中会发现纸的厚度以2倍的形式增加，纸的面积以二分之一的关系减少.从而抓住学生的发现，引入指数函数的相关内容.在整个教学的过程中，利用折纸进行教学.学生学的很轻松，教师教的也很轻松.例如在讲《圆锥曲线》这一章内容时，首先让学生拿出一张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心的一点F，将纸片折起，使圆周过点F，然后将纸片展开，就得到一条折痕l（为了看清楚，可把直线l画出来），这样继续折下去，得到若干折痕.观察这些折痕围成的轮廓，它们形成什么曲线？其次让学生在纸上画一个圆O，在圆外任取一定点F，将纸片折起，使圆周通过F然后展开纸片，得到一条折痕l.这样继续下去得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？最后让学生拿出一张长方形ABCD纸片的一个角斜折，使点D总是在对边AB上，然后展开纸片，就得到一条折痕l这样继续下去得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？通过学生的操作，学生得到了椭圆、双曲线、抛物线，针对学生的操作，告诉学生学习的主题，学生的学习兴趣迅速得到激发，为后面的教学做好铺垫.从折纸出发，引出操作过程中所蕴含的数学知识，引导学生进行积极的思考，从而点出教学内容，使学生对自己的操作能够由表入里进行研究，以达到激发学生对所学习内容产生浓厚的兴趣，迅速唤起学生相关数学认知行为，促使学生积极主动探究思考，提高课堂效率的效果。

二、利用折纸探究数学知识

数学中折纸问题，学生比较容易动手进行操作，操作的过程中纸的变化具有很强的直观感，也使得折纸具有很强的趣味性.折纸能培养学生空间想象能力以及发现问题、分析问题和解决问题能力，是开展研究性学习的理想的素材.下面是一道蕴含趣味性的折纸问题的探讨。

苏教版高中数学选修2-1有一道习题：如图2，一张长方形ABCD纸片的一个角斜折，使点D总是在对边AB上，然后展开纸片，就得到一条折痕（为了看清楚，可把直线画出来）这样继续下去得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？在此题的基础上，通过变换相应的条件和问题，让学生进行探究.探究的问题如下：

探究1：如图3，一张长方形ABCD纸片，点E为AD上的动点，沿着CE对折，试探求点D折后所形成的点F的轨迹是什么曲线？并求AF的最小值.

探究2：如图4，一张长方形ABCD纸片，点E为AD上的动点，点F为CD上的动点，沿着EF对折，试探求点D折后所形成的点G的轨迹？并求AF的最小值。

探究3：如图5，点E为AD上的动点，点F为CD上的动点，沿着EF对折，并且EF为定长，试探求点D折后所形成的点G的轨迹？

探究4：如图6，一张长方形ABCD纸片，AD=a，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，那么折痕EF长度l取决于角的大小.探求l，θ之间的关系式，并求l的取值范围。

在此探究的过程中，学生会根据条件和问题去选择合适的解决问题的方法，在解决问题的过程中学生应用数学的意识得到培养，学生的思维得到锻炼.学生探究问题的过程，即是应用数学知识的过程，也是创造数学知识的过程。

三、复习巩固回顾

数学实验课，让我们的课堂可以不再“一支笔一张纸打天下”，同时让知识的传输由单方向向多方向发展。它提高了学生在数学课堂中的参与度，当学生全身心地融入实验中时，他们的主观能动性会得到充分的发挥。教材中有许多的实验题，或者说是动手操作题，被许多教师忽略，其实，这些实验题是学生体验数学生成的绝佳材料。数学实验让学生初步实践数学知识的来龙去脉，以及利用数学与知识解决实际问题的全过程，而实验的结果不仅仅是数学知识的建构和推导，它还反映了学生对数学原理、数学方法的掌握程度和数学应用的能力，因此数学实验可以增强学生对世界的认知能力和知识应用能力。

结束语

在教学过程中，教师根据教学内容，引导学生从教学情境出发，通过情境演示、仔细观察、操作与实验，思考总结，获得对数学相关问题和知识的感性认识，然后通过对相关问题和知识的归纳、猜想与类比的加工，使获得的感性知识上升为理性认识.教师的启发和引导在教学过程中是必要的，动手操作的过程不仅能加深学生对数学知识学习过程的感悟与体验，而且能培养学生相应的数学能力。折纸是教学过程中培养学生“会用数学眼光观察现实世界，会用数学思维思考现实世界，会用数学语言表达现实世界”的一个素材，在学生的身边很多类似这样的素材，需要教师在教学过程中去用心挖掘。

参考文献：

[1]高建平.折纸在高中几何教学中的应用[D].苏州大学，2018.

[2]段义峰.高中数学折纸活动促进学生创造性思维品质养成的研究[D].山东师范大学，2017.

[3]徐晶. 高中数学折纸校本课程开发与实践[D].上海师范大学，2014.