思维导图在高三数学复习课的应用

何惠琼

摘 要：在数学高考复习含参函数单调性的讨论过程中，学生比较难理解，但它却是近几年高考热点之一，为了帮助学生突破这个难点，本文作者通过信息技术手段，用思维导图进行归纳小结，逐步培养学生逻辑思维能力，并给高考复习的师生分享经验。

关键词：含参函数;单调性;思维导图;导函数;变号零点

思维导图模拟了人脑放射性的思维过程，具有形象性、发散性、趣味性等优点，更适合人的记忆与思考。思维导图可以为学生提供思考框架，与数学教学有共通之处，在数学复习中引入思维导图，有助学生建构完整知识网络。高考复习进入“函数与导数”模块，在高考中利用导数考察函数的单调性是一个热点，尤其是含参函数的单调性，这是考查分类与整合思想的主要命题知识点，在导数解答题中学生常感到不知怎么讨论。为了帮助学生突破这个难点，我利用思维导图的形象性、发散性、趣味性等优点，帮助学生搭建思维框架，进行发散性思考，加深记忆程度，提高数学复习的效率。下面以《利用导数研究含参函数的单调性》为例进行分析。

含参函数单调性的研究问题，关键要素是课堂教学设计要有明确的解题原理，条理清晰，循序渐进，脉络清晰，以好题为载体，把解题思路与方法融会贯通，前期复习做好以下两点：

1.正确理解利用导数研究函数单调性的原理

x x∈D1 x∈D2

f'（x） f'（x）>0 f'（x）<0

f（x） 在区间D1上单调递增 在区间D2上单调递减

结论 区间D1为单调递增区间 区间D2为单调递减区间

2.熟练掌握求不含参函数的单调区间的解题步骤（思维导图如下）

前期内容学后总结与反思：利用导数求函数的单调性的本质是什么？

利用导数研究含参函数的单调性的本质也是如此。

思考：

1.在求单调性时遇见参数一定要分类讨论吗？

2.求含参函数的单调性需要讨论时，讨论的关键点是什么呢？

利用导数研究含参函数的单调性，讨论是因为方程f’（x）=0的根不确定而造成的，讨论的目的是化不确定为确定。下面来看以下四个题组：

題组（一）求下列函数的单调区间

分析导函数

2.（看下面详解）

小结题组（一）特征：含参但不需讨论（方程f’（x）=0的根是确定的）

例解：2.（2014山东）定义域为（0，+∞）

由k≤0可得ex-kx>0，由f’（x）=0，得x=2

x （0，2） 2 （2，+∞）

f'（x） - 0 +

f（x） ↘ 极小值 ↗

故f（x）的单调递减区间为（0，2），f（x）的单调递增区间为（2，+∞）

题组（二）讨论下列函数的单调性

分析导函数

1.（看下面详解）

小结题组（二）特征：含参需讨论（f’（x）=0的根不确定），导函数为一次型。

例解：1.f（x）=ax-a-lnx定义域{x|x>0}

当a≤0时f'（x）<0，即f（x）在（0，+∞）上单调递减;

当a>0时，由f'（x）=0，得，

x （0，） （，+∞）

f'（x） + 0 +

f（x） ↘ 极小值 ↗

综上，当a≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减;当a>0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增。

（解题反思：1.关注定义域的限制;2.遵循先特殊后一般的原则）

题组（三）讨论下列函数的单调性

分析导函数

1.（看下面详解）

小结题组（三）特征：含参需讨论（f'（x）=0的根不确定），导函数为二次型，可因式分解。

例解：1.定义域

（2）当a<0时，由g（x）=0可得

①，恒成立∴f（x）在（0，+∞）上为增函数

综上，当a≥0，f（x）在上单调递增，上单调递减;

当a=-2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增;

当-2

题组（四）讨论下列函数的单调性

分析导函数

1.（看下面详解）

2.（2018全国1理21）

小结题组（四）特征：含参需讨论（f'（x）=0的根不确定），导函数为二次型，不可因式分解。

例解：1.定义域为（0，+∞）

（1）当a≤0时，f'（x）>0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增，

（2）当a>0时，记，

① 时g（x）≥0，则f'（x）≥0恒成立，故f（x）在（0，+∞）单调递增

②时的解为

综上，当，f（x）在（0，+∞）上单调递增;当时，f（x）在和上单调递增，在上单调递减。

下面用思维导图进行梳理总结：

其中求导后的思维展开如下：利用导数研究含参函数的单调性的本质是从导函数的变号零点的在定义域中的存在问题入手，关注定义域的限制，遵循先特殊后一般的原则;以零点的个数及大小关系为线索，借思维导图直观形象思维导向的一臂之力，共同领略导数在研究函数单调性的工具价值的魅力，更重要的是能帮助学生逐步提高逻辑思维能力，积累利用导数建模解决与函数单调性相关的极值、最值问题的方法与套路，进而提升学生的综合解题能力。

参考文献

[1]向校荣.基于思维导图的“三图一评”教学模式在中职高三数学复习中的应用——以数列章节复习为例[J].职业教育（中旬刊），2019，18（09）：67-70.