关于求和型数列试题解析

肖坤悟

摘 要：通过对2019年浙江省数学高考数列题的呈现、赏析、解法探究、变式以及反思，给出些许教学启示，引导学生重视课本核心概念，重视通性通法，回归课本，以期对数学教学有所帮助。

关键词：数列;经验总结;教学启示

数列是高中数学的核心内容之一，具有丰富的内涵和外延，它可以沟通函数、方程、不等式等内容之间的联系，常受到高考命题者的青睐。2019年第20题数列试题的设计返璞归真，重视对数学本质的挖掘，又在学科核心素养的考查上下了功夫。第20题（1）侧重考查数学运算，我们能够求出有限的前几项，总结规律，猜测数列的通项公式，也可以高屋建瓴从整体出发，发现规律，利用等差等比基本性质来解题;第20（2）实际和书本中的例题类似，考查通法通解，促使学生能够想到使用数学归纳法来解决这一类型的问题，考题指导我们要注重课本，不要被参考资料带偏跑道，教材乃本源。这也体现了数学学科的核心素养。对于今后的教学也提示我们可以多多“自编试题”源自于教材的试题。

20.（本小题满分15分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=4，a4=S3，数列{bn}满足：对每个成等比数列.

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式;

（2）记

证明：

参考答案：20.本题意在考查等差、等比定义及基本性质、涉及数列求和、数学归纳法知识。

（1）设数列{an}的公差为d，由题意得，，得，所以即，因为三数成等比数列，因此.

解得.所以.

（2）.

下面数学归纳法证明：（i）当n=1时，c1=0<2，不等式成立;

（ii）假设时不等式成立，

即.那么，当n=k+1时，

.

即当n=k+1时不等式也成立.

根据（i）和（ii），不等式对任意成立。

上述为官方解答，第二问另有解法

法二：数学归纳法证明+分析法

（i）当n=1时，c1=0<2，不等式成立;

（ii）假设时不等式成立，即.

那么，当n=k+1时，

欲证，

只需证，

即证：

即证：

显然成立。

即当n=k+1时不等式也成立.

根据（i）和（ii），不等式对任意成立。

法三：放缩法

从而

面对这种a1+a2+…+anf（n））这种类型的题（其中a1+a2+…+an难以求和），那么我们可以采用数学归纳法、放缩法、分析法处理，而我们再来观察下例：

例1：（1985全国）

求证：

分析：不等式形如，中间是数列之和，能否将左右两边的式子構造成数列之和，形成统一数列之和不等式：为前n项之和），

即：

要证：，只需证，

其中

又

同理：

∴只需证明：

证明：

总结：形如的数列不等式证明的思维策略

设Sn和Tn分别为数列{an}和{bn}的前n项和，显然，若，因为“同向不等式可加性”这一性质，则有Sn

这样我们就知道证明数列不等式的方向，尤其是放缩法可以明确目标，特别是对于法三，或者采用分析法证明不等式，避开放缩的难点。

由此法我们可以轻松应对如：例2：（2010.湖北理.21）第三问：求证：

分析：令

则

要证明原不等式则只需证明：

成立，

令

即要证明不等式成立。

令

∴f（x）单调递增，∴f（x）>f（0）=0

成立。

成立。

若数列之和换成数列之积又如何？

例1：（2006广东理21第2问）

求证：

分析：我们能否将证明形如的思维策略类比迁移过来呢？

，利用公式，b1=B1易得：，因此，我们只需证明

证明：

总结：形如的数列不等式证明的策略

设An和Bn分别为数列{an}和{bn}的前n项积，显然，若，利用“不等式正数同向可乘”这一性质，则有.因此要证明不等式，如果记Bn=f（n）看作是数列{bn}的前n项积，则，b1=B1，那么只要证其通项满足即可。

练习：（1998全国理25第（2）问）

求证：

教学启示：对于数列内容，我们必须重视概念，等差等比的性质就是通过概念推导出来的，性质就是概念的延展;我们也要重视平时教学中学生解题经验的积累，在不断反思中螺旋递进，以期达到量变导致质变，使学生具有独立发现、分析、总结问题，进而提出解决问题的方法，最终提升至思想方法的高度。当经验的不断积累同过迁移，进而能够多角度多方法转化，使自己的知识结构得以重组重构，达到更高层次，学生的学习效率得到真正的提升，也使得学生脱离题海，使我们的教学真正有效。

参考文献

[1]《2019年高考浙江省数学试题评析》浙江省嘉兴市第一中学特级教师.沈新权

[2]《高考数学你真的掌握了吗？数列》张杨文主编

[3]《用放缩法证明数列中的不等式》罗红雨《读写算》2019.9