高斯函数x 性质及其应用

文贵双

摘 要：高斯函数是一个有名的特殊的函数.教材以及各类考试中经常出现有关高斯函数的试题.文章列举了高斯函数的性质，举例说明高斯函数在考试中的各种应用.

关键词：高斯函数;高考试题;教材

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）04-0051-03

高考试题根植于教材，但又不断创新，将教材内容与高等数学巧妙结合，成为高考、竞赛的热点.高斯函数就是一个好的结合点，高斯函数出现在教材的习题中，各类考试中都有高斯函数的“倩影”，此类问题新颖灵活，能更好考查学生的思维品质和数学素养.

高斯函数也叫取整函数.取整函数x表示不大于x的最大整数，且由于对于任意的实数x，对应的函数值x都是整数，故称函数y=x 为取整函数.

x满足下面几条简单性质

（1）x 是整数.

（2）x≤x<x+1.

（3）取整函数是一个不减函数，即对任意x1，x2∈R， 若x1<x2，则x1≤x2

（4） 若x，y∈R，则x+y≤x+y≤x+y+1

（5） 若n是正整数，x∈R，则nx≥nx

（6） 若m是整数，则x+m=x+m，y=x的图象如图1所示.其图象是一组阶高为1的平行与x轴的线段，不包括右端点，这组平行线段成阶梯状，故取整函数亦称阶梯函数.

而函数f（x）=x-x称为x的非负纯小数部分，并用“x”表示.任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x=x+x，其中x∈[0，1）称为小数部分函数.f（x）=x-x图象如图2所示，是一个周期函数.

高斯函数x是一个非常有趣的数论函数，在许多数学分支中都有广泛的应用，在高中数学竞赛和高考试题中也经常出现与高斯函数有关的试题. 由于高斯函数x性质不如初等函数（利如二次函数，指数函数、对数函数、三角函数）多，使用起来不方便.所以涉及取整函数x的题目，有其特殊的技巧，下面举例说明其解法.

一、有关高斯函数求值题

例1 Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28.记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1.

（1）求b1，b11，b101;

（2）求数列{bn}的前1000项和.

解 （1）设an的公差为d，S7=7a4=28，由a4=4，得d=a4-a13=1，an=a1+（n-1）d=n.故b1=lga1=lg1=0，b11=lga11=lg11=1，b101=lga101=lg101=2.

（2）记bn的前n项和为Tn，则T1000=b1+b2+…+b1000=lga1+lga2+…+lga1000.

当0≤lgan<1時，n=1，2，…，9;

当1≤lgan<2时，n=10，11，…，99;

当2≤lgan<3时，n=100，101，…，999;

当lgan=3时，n=1000.

故T1000=0×9+1×90+2×900+3×1=1893

例2 求 log21+log22+log23+…+log22012的值.

解 log21=0，log22=1，log23=1，log24=log25=log26=log27=2，

当2k≤n<2k+1时，log2n=k，k，n是自然数，故有：

原式=0+1×（22-2）+2×（23-22）+…+9×（210-29）+10×（2012-1023）

=1×2+2×22+3×23+…9×29+9890=8194+9890=18084

评注 例1，例2不需要什么技巧，只要理解取整函数的概念即可解决问题.

二、有关高斯函数图象题

例3 已知x∈R，若函数f（x）=xx-a，（x≠0）有且有3个零点，则a的取值范围是（）.

A.34，45∪43，32B.34，45∪43，32

C.12，23∪54，32D.12，23∪54，32

图3

解 f（x）=xx-a的零点，就是方程x=ax，（x≠0）的根，即为函数y=x，y=ax，（x≠0）交点的横坐标.作出两函数图象可知选A.

例4 已知x∈R，符号x表示不超过x的最大整数.若函数f（x）=x-mx-m，其中m∈N*，则给出以下四个结论其中正确的是（）.

A.函数f（x）在m+1，+SymboleB@上的值域为12，1

B.函数f（x）图象关于直线x=m对称

C.函数f（x）在m，+SymboleB@是减函数

D.函数f（x）在m+1，+SymboleB@上的最小值为12.

图4

解 函数f（x）=xx中，当0<x<1时，f（x）=0;当1≤x<2时，f（x）=1x;当2≤x<3时，f（x）=2x;……函数f（x）=xx在（0，+SymboleB@）值域是12，1，将函数f（x）=xx的图象向右平移m个单位得到f（x）=x-mx-m的图像，故选A.

评注 熟练地掌握函数y=x，f（x）=x-x，f（x）=xx的图像，由图定夺.

三、有关高斯函数方程题

例5 解方程5+6x8=15x-75解 令15x-75=n（n∈Z），则x=5n+715，代入原方程得：10n+3940=n，由取整函数的定义有0≤10n+3940-n<1，解得：-130<n≤1310，则n=0，1.当n=0时，则x=715;当n=1时，则x=45.

例6 解方程1+x2+3-2x=2

解 设1+x2=n，3-2x=m，则原方程 n+m=2，且有 n≤1+x2<n+1，m≤3-2x<m+1，即2n-1≤x<2n+1，1-m2<x≤3-m2，结合这两个不等关系，得

1-m2<2n+12n-1≤3-m2，即-m<4n4n<5-m，又m=2-n，解得n=0，n=1，进而可得n=0m=2，n=1m=1，得到方程的解为0<x≤12与x=1.

评注 型如ax+b=cx+d或ax+b+cx+d=e的方程通常利用取整函数的定义与性质，结合换元法求解.

四、有关高斯函数的数列题

例7 记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1，[-0.3]=-1.设a为正整数，数列xn满足x1=a，xn+1=[xn+[axn]2]（n∈N*），现有下列命题：

①当a=5时，数列xn的前3项依次为5，3，2;

②对数列xn都存在正整数k，当n≥k时总有xn=xk;

③当n≥1时，xn>a-1;

④对某个正整数k，若xk+1≥xk，则xn=[a].

其中的真命题有.（写出所有真命题的编号）

解 當a=5时，x1=a=5 x2=5+552=3，x3=[3+[53]2]=2，故①正确;

当a=1时，x1=1，x2=x3=…=xn=1，但当a=3时，x1=3，x2=2，x3=1，x4=2，x5=1，x6=2，x7=1，…，此时可以看出数列xn，从第二项起是以2为周期重复出现，不存在正整数k，使得当n≥k时总有xn=xk，故②不正确.

对于③，x1=a>a-1成立，因xn是整数，故若 xn+axn是正奇数，则xn+1=xn+axn-12>xn+axn-22≥2a-12>a-1，若xn+axn是正偶数，xn+1=xn+axn2>xn+axn-12≥2a-12>a-1.

综上知③正确.对于④，由xk+1≥xk得axk-xk≥0，axk-xk≥axk-xk≥0，xk≤a;结合③有a-1<xk≤a，因此有xk=a，④正确. 综上知真命题是①③④.

评注 本题借用取整函数，构造一个新数列，主要考查数列知识的灵活应用和推理论证能力.本题是取整函数（高斯函数）与数列二者交汇而成，设计新颖，构思精妙，难度较大.解此类题的关键是理解函数x的意义.

参考文献：

[1]蒋孝国.数学竞赛中的高斯函数[J].数学通讯，2015（19）：45-48.

[责任编辑：李 璟]