从一道几何题谈直观想象素养的落实

柳军 安振亚

摘  要：通过一道几何题的思路剖析和教学启示，阐述在初中阶段，要有效落实直观想象素养，需要理解直观想象素养，注重学生的积极参与和信息技术的使用.

关键词：直观想象;解题教学;信息技术

一、问题的提出

2019年9月，笔者到某农村中学支教，观察发现：该校生源质量参差不齐，数学素养水平偏低，尤其是直观想象素养有待提升. 具体表现为：空间观念尚未有效建立，即不能顺利地从现实情境中根据物体特征抽象出几何图形，不能根据几何图形想象出实际物体，不能有效实现文字语言、图形语言与符号语言之间的相互转化;几何直观有待提升，即不能将相对复杂、抽象的问题“图形化”，进而利用图形描述和分析问题;数学思维没有得到有效训练，几何思维能力偏低. 这是很多农村中学的缩影. 因此，培育学生的直观想象素养成为教学中亟待解决的问题. 直观想象是六大数学学科核心素养之一，是发现问题、分析问题和解决问题的重要手段与方式，也是一种思维习惯与思维方式，在素养结构体系中占有重要地位. 在初中阶段，要如何有效落实直观想象素养？对于这个问题，笔者先从一道几何题谈起.

二、直观想象视角下的试题解析

此题以矩形为背景，综合考查了矩形的性质、角平分线的概念、勾股定理、三角形全等与相似等数学核心知识;培养了学生的逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力，以及分析问题和解决问题的能力;渗透了转化、方程、直观模型等数学思想;践行了“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的课程理念.

1. 思路剖析

观察、分析图1可知，前两道小题的证明与线段[EF，][BH]无关，故从图1中抽取出图2.

第（1）小题较为基础，观察图2，易得[GE，GC]在图形中的位置关系，即[GE，GC]分别在[△EBG]和[△CBG]内，要证[GE=GC，] 只需要证[△EBG≌△CBG.] 联系[BG]是[∠EBC]的平分线，[BE=BC，BG]是公共边，即可证明.

第（2）小题以第（1）小题为基础. 观察、分析图2，可知[△ABE]和[△DEG]均为直角三角形，要证明[△ABE∽][△DEG，] 从边的角度行不通，可以从角的角度入手，证明一组锐角相等即可. 由第（1）小题，可知[∠BEG=∠C=90°.] 由[∠AED]是平角，可得[∠AEB+][∠DEG=90°.] 由[∠A=∠D=90°，] 得[∠DGE+∠DEG=90°.] 故[∠AEB=∠DGE.] 于是得[△ABE∽△DEG.]

第（3）小题是初中常见的“十字”模型，不同的是该模型中蕴含着运动变化. 分析图1，结合已知条件，能确定矩形的形状，即由[△ABE∽△DEG，BC=10，][CG=5，] 得[AE=2DG.] 然后在[Rt△EDG]中，利用勾股定理建立方程，進而求出[CD=8.] 接着过点[E]作[EI⊥BC]于点[I，] 证明[△EIF∽△BCH.] 进而得到[EFBH=45.]

2. 教学启示

上述题目是一道平面几何题，属于“图形与几何”范畴. 而“图形与几何”是初中数学课程的核心内容之一，也是中考的热点题型. 纵观近几年安徽省中考数学试题，平面几何试题都是作为压轴题出现. 解决这样的试题，需要对几何图形进行观察、分析及重组，理清解决问题的思路，探索解决问题的路径与方法，规范书写解决问题的过程. 这往往需要学生有较强的空间观念与几何直观能力，对学生的直观想象素养要求较高. 因此，数学教学要遵循学生的认知特点与几何知识的发生、发展规律，让学生经历图形的抽象、识别、性质探索、运动、位置确定等过程，帮助学生建立空间观念，发展几何直观能力，培育学生运用直观想象理解与解决数学问题的意识. 在初中阶段，要有效落实直观想象素养，除了要贯彻“以学生发展为本”的理念，还需要教师理解直观想象素养.

三、直观想象素养的理解

1. 直观想象素养的内涵

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，直观想象是借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式，特别是图形，理解和解决数学问题的素养. 主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.

从字面上看，作为数学学科核心素养的“直观想象”是一个并列短语，而且是一个经过简缩的短语，其完整表述是“几何直观和空间想象”. 然而，它不是几何直观与空间观念的简单组合，而是空间想象、空间观念与几何直观的有机整合.

2. 初中阶段视角下的直观想象素养

《义务教育数学课程标准（2011年版）》把空间观念与几何直观作为两个核心关键词，并对其作用进行了解释性说明.

空间观念是感知、想象和思维相结合的产物，是在空间知觉基础上形成的关于物体形状、大小和位置关系的表象，是发展空间想象力的基础. 发展空间观念实质上是发展初步的空间想象能力. 而几何直观是借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力. 两者共同构成了初中直观想象素养的“骨架”. 因此，在初中阶段，落实直观想象素养实质上就是培养学生的空间观念与几何直观能力.

3. 直观想象适用的学习领域及其内容

直观想象适用的学习领域基本涵盖整个初中数学课程，包括“数与代数”“图形与几何”“概率与统计”等. 其中，在“数与代数”领域，根据代数式的结构想象它的几何意义;利用函数的图象研究它的性质，根据函数的性质想象它的图象;根据绝对值联想到数轴等，发展空间观念与几何直观能力. 在“图形与几何”领域，研究图形（相交线、平行线、三角形、四边形和圆）的性质和运动变化（平移、旋转、轴对称、投影与视图）、确定物体的位置（平面直角坐标系）等，发展空间观念. 在“概率与统计”领域，根据数据作出统计图和统计表，再根据统计图和统计表提取信息、做出判断等，发展几何直观能力.

四、落实直观想象素养的案例

理解直观想象素养固然重要，但是落实直观想象素养才是最终的目的. 而落实直观想象素养的主要场所在数学课堂，有效途径在于教学过程.

案例：上述题目第（3）小题的教学过程设计.

学生在解决上述题目第（2）小题后，教师提出如下问题.

问题1：若[BC=10，CG=5，] 你能求出图2中的哪些线段长？

【说明】待学生完成回答后，运用几何画板软件在CG上构造动点H，然后构造线段BH，再过点E构造BH的垂线，交线段BC于点F，隐去垂线构造线段EF，即[EF⊥BH]，得到图1，为用几何画板软件验证做铺垫，接着提出问题2.

问题2：你能求出[EFBH]的值吗？

【说明】学生受知识基础所限，可能回答不出这个问题，于是引导学生采用先猜想后证明的方法，辅以几何画板软件演示.

研究如下两种特殊情况.

情况1：如图3，当点[H]与点[G]重合时，易知点[F]与点[C]重合，[EF=ED2+CD2=45，BG=BC2+CG2=][55，] 故[EFBH=45];

五、思考

1. 注重学生的参与

几何图形舍弃了现实物体的物质属性，甚至空间的延伸，只关注物体的形状、大小与位置关系. 因此，几何图形兼具抽象性与直观性的特点. 而这种特点决定了几何图形是培育学生直观想象素养的主要载体. 然而学生并非天生具有直观想象素养，对直观想象素养的培育也不是一步到位的. 这就要求在实际的教学活动中，教师不仅要有意识地引导学生借助直观想象展开观察、思考与想象，还要鼓励学生积极主动地参与到教学活动中. 几何教学需要学生用眼睛直观感知实际物体、用手操作确认实验猜想、用脑思考演绎过程，积累基本活动经验，发展空间观念. 在解题教学中，需要学生具备数形结合意识，需要学生独立思考、分组讨论、合作交流、分享成果，发展几何直观能力，这一切都离不开学生的参与. 例如，在案例中，借助问题串引导学生观察图形，思考图形元素间的位置与数量关系，适当重组图形的结构（构造辅助线、对图形的再抽象、几何画板软件演示等），构建条件与结论之间的关联，进而解决问题. 整个过程都需要学生的积极参与，否则培育与落实直观想象素养的效果将会大打折扣.

2. 注重信息技术的使用

在当今社会，信息技术的广泛应用正在对数学教学产生深远影响. 大数据时代无处不在的可视化把几何直观的意义推向了现代信息技术的高峰，可视化实现（制作、阅读和运用）的依据就是人们的几何直观. 在数学教学中，信息技术与数学内容的深度融合实现了传统教学手段难以达到的教学效果. 利用信息技术直观快捷、资源丰富的优势，能够帮助学生有效发展直观想象素养. 例如，利用几何画板、GeoGebra等数学软件画函数图象、几何图形的运动变化，根据数据信息绘制合适的统计图表，以及开展数学实验等. 题目中的点[H]是运动变化的，[EF]与[BH]的长度随之变化，那么它们的比值[EFBH]是否也变化呢？对于这个问题，传统的教学手段往往“说不清、道不明”，而利用几何画板软件的可视化、动态化、可度量的特性，可以圆满解决，并且还可以从中发现其他的结论，即线段[FH]的长度有最小值. 因此，要充分发挥信息技术的可视化优势，使其与数学教学深度融合，不仅让它成为落实直观想象素养的助手，而且让它成为培养学生创新思维的利器.

总之，直观想象素养的落实，首先需要教师正确理解直观想象素养，因为只有对直观想象素养有了正确、深刻的理解，才会自觉地将其应用到数学教学中;其次，要注重学生的积极参与和信息技术的使用. 而教师只有不断提高自己的教学业务与理论水平，才能更好地助力直观想象素养的落实.

参考文献：

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