谈中考数学阅卷的双重境界

摘  要：从三道中考数学试题阅卷中的学生解题现象入手，简析并提出中考阅卷的双重境界——从“阅卷”到“悦卷”再到“越卷”，并从中引发教学感悟，兼谈初中生数学阅读和数学交流素养的培育，提出基于教材精读的初中生数学交流素养提升路径.

关键词：中考阅卷;教材精读;数学交流

一、缘起

在中考阅卷中，相信很多人都会有所体悟，也许是对一道题的解法产生了更多思考，也许是对学生的错误解法产生一种忧虑，又或是为学生的创新解法而感到快乐. 笔者参加中考数学阅卷已有15年，期间批阅了各种类型的试题，也在试题命制、解题分析等方面发表了不少文字，但要总结写出这些年来的体悟，还有点为难. 这是因为年年阅卷的感受，其实是相差无几的. 从什么角度落笔呢？看看各主流杂志上发表的基本上是关于压轴题的命制及其教学启示，很少涉及简单的基础试题的阅卷体悟，可能多数教师认为在难题上做解析，会留给读者更多的思考.

然而，在“以学为中心”的理念下，通过一些简单试题去研究学生的学习和思考，也许其价值不亚于对难题的解析. 如果能从更多角度去观察思考，整体上了解学生对简单题、中等题和难题是怎样思考的，又是怎样解答表述的，教师该怎样依据课程标准解读试题，怎樣立足教材精读知识内涵，怎样基于数学思考展开交流，从而帮助学生学习它、认识它、掌握它，或许这样更能让大家看清楚教学的方向，对教师教学会更有帮助.

下面结合近三年广东省广州市中考数学试卷中的两道简单题和一道压轴题的阅卷经验，就看到的学生的一些答题现象进行解析并提出阅卷的双重境界，兼谈由阅卷引发的教学感悟，即数学阅读和数学交流素养培育的提升路径.

二、第一重境界：从“阅卷”到“悦卷”

“悦”，即喜悦. 如果仅仅是为了完成批阅试卷任务，或是从中了解试题评分标准、解法和书写规范，则中考阅卷可能就是苦差事了. 但如果能在批阅过程中探析学生的解题逻辑，由此产生对自身教学的导向思考，那么苦差事就会变成一种喜悦，即达到从“阅卷”到“悦卷”的境界. 现列举两道简单的几何题来说一说.

1. 阅卷中的解题现状

对于这两道简单题，在阅卷时发现多数学生的解题思路清晰，书写步骤规范，但均有一成学生的解题过程逻辑混乱，不懂寻找证明三角形全等需要满足的三个条件. 他们常自创逻辑联系，通过自造条件来证明，且缺乏书写表达逻辑，出现死用知识或不会应用知识的现象. 例如，在题目1的解答中，存在以下答题现象：由FC∥AB，得到FC = AD或内错角∠ADE = ∠DEC;或从图1中直观感知得到∠ADE = ∠EFC;或无目的乱用对顶角∠AEF = ∠DEC;或出现绕圈证明，由FC∥AB，得到△AED ≌ △CEF，由三边对应成比例且DE = FE，得到另两边相等得证. 这种把简单问题复杂化的解题实质上是思维量不足的表现.

而题目2增强了在核心知识融合处的考查，突出在知识交会处命题，受此影响，一些学困生得分不高，被图形所迷惑. 因图2中∠ACB和∠D的度数相差无几，误以为∠BCA = ∠D而得出错误结论. 中等生的解题错误则反映在解题慎重，解题步骤重复，无法精简表述关键点. 优等生的解题错误则为出现跳步现象，忽略关键书写步骤. 在题目2的解答中，仍然出现不少绕圈推理，如连接BD得到两对全等三角形，导致证明过程复杂，不能清晰完整表述，用两次全等或等腰三角形的性质达到解题目的，费力不讨好.

从学生的答题现状可以看出，学困生的解题问题依旧在于没有掌握基本概念、公式、定理，导致解题时没有思路，不会用数学语言组织、表述解答过程. 中等生的解题错误则为逻辑混乱，自造条件或直观判断，因果倒置，也存在解题思路不简洁、不清晰，解题过程表述不规范，将简单问题复杂化.

2. 从批阅到教学喜悦

在日常教学中，教师应该如何解决以上问题？数学逻辑推理素养的培养需要怎样精当、合理、有序地呈现？笔者结合以上两道题目谈一下个人的看法.

阅读题目1发现，需要由条件FC∥AB得到边或角相等才能展开证明，因此，可以保持这个条件不变，先让学生在图3中添加一个条件求证△ABE ≌ △CFE，目的在于让学生感知和理解证明三角形全等的方法. 例如，令点E是AC的中点，进而展开串联，连接AF，补成平行四边形，回归到基本图形的认识上，建立三角形与四边形的联系. 还可以让图形动起来，思考：在图1中，点D是AB上的一个动点，DF交AC于点E，点D从点B向点A运动，当点D运动到何处时（或点E在何处时），△AED ≌ △CEF？并通过对比交流，明晰在静态和动态下寻求证明三角形全等的条件，加深理解证明全等的方法，同时理解相似与全等的关系及其规范表达.

题目2亦是如此. 先阅读题目的已知条件，分析隐含条件和所求结论，关注图形的直观感知和应用，在图中识别对应相等的线段或角，即通过阅读培养学生识图和用图的能力，并从图形变换的角度寻求全等或相似的基本图形. 例如，从轴对称图形的角度感知图形，避免干扰，正确用图. 紧接着，把数学思考和交流融合起来，如为什么选择AC = AC，而不选择未经证明的条件BC = DC或∠B = ∠D. 通过学生讲数学，说出解题思路背后的原理，找到解题切入点，最后小心求证，规范书写解题步骤，达成对解题过程的真正理解和应用. 又如，在解法比较中交流体悟简化思想，此题有如下三种解法：一是先运用三角形全等的判定和性质，再应用三角形内角和定理求解;二是先应用三角形内角和定理再运用全等三角形的判定和性质求解;三是利用图形（筝形）的特殊性，连接BD，通过证明AC垂直平分线段BD，再运用等腰三角形相关性质和三角形内角和定理也可以求解. 第三种方法虽然复杂，但能把三角形的相关知识和全等、等腰三角形等融合起来，还能让学生在简单题中充分体悟解题的求简思想.

综上，这是从“阅读、思考、交流”三大方面帮助学生建立解决问题的方法和途径，注重数学知识的有效联系. 横向联系以促进知识之间的关联性;纵向联系以提升知识运用的综合性，提炼思想以增强知识运用的普适性. 实质上就是注重对学生的学法指导和对教材的教法研究，让学生能做到眼观图形，心连知识，达成知识和思想的有效传递，而这需要慢、细、透的教学，不求快，勿因简单而放弃思考，以透彻学生心扉.

可见，从阅卷中看到问题，进而在教学中改进，建立提升课堂教学与知识考查的有效链接，能给教师带来教学喜悦，这就是笔者所体悟的从“阅卷”到“悦卷”的境界！

三、第二重境界：从“悦卷”到“越卷”

“越”，即超越. 中考数学试题既是衡量初中生是否达到毕业标准的主要依据，又是高中招生的重要依据，承载着教师培养学生思维的教学导向功能. 若仅是达到第一重境界，则不能完成超越试卷所承载的功能，更不能达成从“悦卷”到“越卷”的第二重境界. 以题目3为例说说这种境界.

1. 试题呈现与简析解答

题目3 （2018年广东·广州卷）已知抛物线[y=x2+mx-2m-4 m>0].

（1）证明：该抛物线与[x]轴总有两个不同的交点;

（2）设该抛物线与[x]轴的两个交点分别为A，B （点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在[⊙P]上.

① 试判断：不论[m]取任何正数，[⊙P]是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标;若不是，说明理由.

② 若点C关于直线[x=-m2]的对称点为点[E]，点[D0，1]，连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为[l]，[⊙P]的半径记为[r]，求[lr]的值.

分析：此题考查函数与方程的联系时，回归到方程根的本质及抛物线图形特征的性质理解上，更突出数学抽象、直观想象和逻辑推理. 在考查定点问题时，突破常规，在双定点情况下考查数学辨析能力. 可以从几何角度构建方程模型求解，也可以从代数运算角度列方程求解，更可以运用高中知识求解，可谓是模型不一，本质归一，突出指向了数学建模和数学运算素养. 在不给图的情况下，突出基于数学阅读的理解，考查学生在内容维度上融会贯通、情境维度的模型建构和过程维度的思维经验积累三个方面的能力.

简解：（1）解方程得[x1=2，x2=-m-2，] 判断两根不同，第（1）小题得解.

（2）① 由第（1）小题可求出[A2，0，][ B-m-2，0，] [C0，-2m-4]. 设[⊙P]与y轴交于点[K0，k，] 由这四点共圆，可以证得△AOK ∽ △COB. 得[OKOB=AOCO]. 解得[k=1]. 所以点K的坐标为[K0，1].

② 如图4，由已知条件可以证得[∠DCE=90°∘]. 则DE是[⊙P]的直径，即[DE=2r.] 由△BDE ∽ △ODA， 得[l△BDEl△ODA=DEAD]，即[l△BDE3+5=2r5]. 得[lr=10+655.]

2. 学生解答与存在的问题

有些学生不能准确理解第（1）小題的条件与结论的关系，利用惯性思维直接写[Δ>0]，或未利用条件[m>0]对判别式的符号进行判断，数学表达不规范、不严谨. 在第（2）小题第①问时，有的学生取[m]的两个特殊值求解，用特殊代替一般得到定点坐标，没能说明对任意[m]的值成立;有的学生缺少画图意识，不能借助圆的主图进行分析，却被抛物线迷惑而画不出图形;或是数感意识不强，未能通过[-2m-4=2-m-2]看出[OC=2OB]而发现Rt△BOC的特殊性. 有些学生解答第②问时，一是不求出点E的坐标，就直接运用勾股定理或相似三角形的性质求三边长，但对含有字母式子的运算能力较弱而产生错误，或不能看出三边长都与根式[m2+4m+5]相关，导致无法发现所求三角形的特殊性;二是没有说明“点[D]在[⊙P]上”，没有关注两个小问之间的内在联系，出现表达不严谨，忽略证明“DE为[⊙P]的直径”的关键步骤.

3. 两重境界与教学思考

含字母式子的运算能力和发现问题本质的简捷性思考，是数学抽象思维教学训练的基础. 解决题目3需避免思维定势和加强简化思想的思维渗透教学，这是达成第一重境界的两点教学思考.

一是明辨思维的互逆性以避免思维定势. 抛物线与[x]轴交点个数和解析式中参数[m]的取值范围存在互逆关系，若过多训练正向或逆向的单一类型题目，会出现解法的思维定势理解. 已知交点个数到求[m]的取值范围的方法单一，反之，至少可用三种方法求解，思维固化根源在于缺乏真正思辨和体悟数学思想的解题作用过程，而无法产生数学智慧.

二是注重全面阅读以利于渗透求简. 从相交弦、相似或半径相等、勾股定理等路径寻找获得等量关系的方法很多，前者解法的本质相同，计算量较小，但思考时间较长，没有图不易看出，而其他恰好相反. 该怎样去寻求最简求解路径呢？离不开解法归一的引导，即思考：在对比中体悟为何要这样做？怎样做才是合理有序的？怎样学会反刍，如何把握整体，加强局部联系？如此得出前述简答的最佳解题路径.

下面重点阐述通过“有效阅读、独立思考、数学交流”的教学过程，以达成第二重境界.

第一，开展有效阅读，是基于教材精读培养数学阅读素养. 没有反思的阅读，就像是不加消化地接受知识. 有效的数学阅读是通过翻译、设问、理解、校对、对比、批判等方法对知识加工和推理的过程，一般有四步策略：略读、反思、精读、表达. 略读是有选择性浏览教材局部，以便简单有效获得对整节课的概念，且能抽出需要精读的内容. 例如，概念是怎样获得的？提供了怎样的论据？如何辨析和应用？反思是要问自己问题，对知识是否产生误解或质疑. 精读即是加深和检验个人理解，逐句理解并随手做记号，读到有用之处，在空白处用自己的话写下个人理解，即问题、思考或总结. 表达是抓住数学概念及其形成的论据，或接受、或批判性质疑呈现一个简略版内容，即把书读薄. 有效阅读还有很多形式，如重类比的联系阅读、建体系的整体阅读、发散式的灵活阅读、开放性的作业阅读等.

第二，开展独立思考，是基于问题提出的数学思维能力培养. 面对问题，需要通过独立分析、判断、决策，寻求更好的问题解决方法. 独立思考是指在个人理解基础上带着问题和观点去了解知识，并保持有效批判分析，产生新见解，归纳总结出新的认识. 如果“每个人都把自己视野的极限当作世界的极限”（哲学家叔本华），就会让自己的视野变得更为开阔，这需要学生更加深入和精确地领悟学习过程，养成独立思考的习惯. 倘若学生逃避“想”，教师需要在教学中设置问题引导，让学生能有想的机会，产生想的基础. 笔者提倡的“以退为进”的学习数学知识方式，意在进退间体悟数学思想，培养思维，退是凸显，进是发展，这是“先凸显，再发展”的超越性思维培养的具体体现. 在以退为进的每一次递进过程中凸显思维的积累和基础的夯实，每一次的凸显，关注的问题不一样，就是一次思维进化，而问题的层层逼近，是让学生学会想，会想就会有可能想清楚知识的来龙去脉，这才是真正的学法指导. 这是让学生在简单问题中体悟数学观念，在一系列问题中的思维超越达到理想的学习状态，让大部分学生不惧怕数学.

第三，开展精细交流，是基于独立思考的数学交流素养培养. 数学交流是使用数学符号或图形、文字来表达某个观点，是一种探寻答案、获取意义的思考，包含细致的观察、记忆、怀疑、想象、解释、评价、判断等. 可见，思考与交流看似没有联系，事实上却有密切联系，表达观点可以帮助人们更好地理顺思路. 独立思考是交流的基础，但受个人思维习惯影响，独立思考过程是别人很难直接观察和觉察的. 因此，学生在理解数学概念或解题时，需要独立思考后通过交流表达和陈述看法，进而发现自己的盲点、弱点和错误. 特别地，与好的思考者交流，能把自己的极限性和倾向性纠正过来，因为他们会选择不同视角，能考虑不同方法，更愿意使用想象力去冒险和考虑不同寻常的、更好的想法. 如此促进自己深入理解问题，在思考过程中保持一条持续不间断的线，从而有效地、创新性地提高解决问题的能力.

正如美国哲学家莫蒂默·阿德勒所说，思考者倾向于用口头语言或者书面语言表达自己，但无法将其表达出来的人往往不知道自己的想法. 对数学问题的解决方案，只有在与他人交流分享后才更有意义. 但要注意的是，数学交流不能是连续的独白，而是倾听者需要努力思考发言者的思维心境，把前后每句话联系起来理解，并注意忍住插话冲动，延迟判断发言者的反馈，这是交流的策略和原则.

四、基于教材精读的数学交流素养提升路径

核心素养下的数学课堂中，教师要培养学生能“带得走”的能力，实质上就是培养学生通过阅读、思考和交流开展深度学习，也就是发展学生的数学阅读和数学交流素养，这与苏霍姆林斯基认为的“阅读、书写、观察、思考和表达是学生主要的基本技能”的看法相一致. 师生只有精读和读懂教材的内涵，才能避免学生出现表层化的、带有虚假泡沫成分的阅读，而且需要师生在阅读中提“好问题”，并在提“好问题”的基础上理解、发现和交流，才能是学生深度体悟后真正意义上的有效阅读和交流.

对此，笔者开展并形成了基于教材精读的初中生数学交流素养提升路径（如图5），倡导基于问题引导的教材精读，促使学生经历用心搜寻证据、充分思考证据和确信证据充足的过程. 这样深刻的形成认知的思维活动过程，要求学生必须经历有条理的、有逻辑的、有根据的思考，通过推理、联系，有序化地抵达数学的本質，从而进入深度学习的一种思维状态，感受到学习数学的真正力量.

发展独立思考和独立判断的一般能力应当始终放在首位（爱因斯坦）. 基于此，笔者提出精读交流从独立思考开始，是教师基于教材提出“母问题”引导学生逐句理解和思考，而学生思考又促进教师思考，师生围绕“母问题”共同提出一系列“子问题”，课堂上聚焦问题而产生深刻的互动和精细交流，这也是发展师生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题能力的最主要表现. 当学生能够思考并可以从多个角度用准确的、清晰的语言来表达看法和发表意见，就达到了真正的理解. 而教师倾听后，就数学问题相机进行点拨，串联学生思维经验以启发、体悟潜藏的数学思想，在一种对话的状态下生成潜移默化的交流，这种“倾听 + 串联”的数学交流，是一种开放的数学知识建构，是一种聚焦核心观点的对话式交流，能有效增长学生的数学智慧. 而归纳总结是一种反刍行为，是精当的学法指导体现，教师还需充分精读和运用教材中的情境、情理、情趣、情态，激发学生的情思，指导和教会学生会学，才可达到善教、会教. 最后，就是对学生的体悟是否达标进行评价反馈.

老子有言：大道至简，衍化至繁. 在教学中，教师带领学生遍历过精读交流的各种复杂性，关注学生在过程中的隐性思维经验积累，发现重新回归的简单是一个有层次的、能守得住的简单，此时方能使学生领悟到表现在过程中的数学智慧，才能有质变的机会.

五、写在最后

回到文章标题，参与中考阅卷，就是有机会依据阅卷进行诊断，启示教师剖析和挖掘试题，以发挥中考试题引领教学的价值. 反映在针对性改进课堂教学上，当学生能够自己阅读教材和独立思考时，就能够发现和提出问题，从而师生能够在课堂上充分进行数学交流. 让学生把教材读明白，把问题想透彻，把思维讲清晰，即能读得懂、想得透、讲得清，从而发展学生的数学素养.

笔者曾对中考命题写了一首小诗：“惯看陈题解法，年年思变谁知. 你意不同原意，新题胜似故题”. 意思是阅卷需懂题意，进而导向自身教学，并懂得在知识的系统性延伸中让学生理解和感悟数学本质，通过反刍数学学习思维和解题策略，引导学生寻找适合自己的学习方式，以提高理性思辨能力，形成数学智慧，即能达成前述的两重境界. 如果说，遇到一道会启迪师生思考、夯实学生基础、突出数学思想的试题，则可称之为题根;遇到一组会点燃师生激情、增强学生能力、觉醒学习自信的试题，则称之为变式. 那么，真善美的教学，就是以题根涤荡学生灵魂，以变式提升学生数学能力，以爱心成就学生学业.

参考文献：

[1]杨玉霞，刘永东. 数学阅读从精读教材开始：以“不等式及其解集”的教学为例[J]. 中国数学教育（初中版），2020（9）：3-6.

[2]刘永东. 以退为进，有序夯实：例谈数学学困生的思维强化训练策略[J]. 中国数学教育（初中版），2017（11）：3-5，10.

[3]刘永东，刘护灵. 深度交流从提“好问题”开始[J]. 中学数学教学参考（上旬），2019（7）：13-15.

[4]刘永东.“倾听 + 串联”的数学交流方法探析[J]. 中国数学教育（初中版），2017（10）：3-6.

[5]刘永东. 以精当学法指导，促学生善学数学[J]. 教学月刊·中学版（教学参考），2019（12）：43-46.