抽象基本模型 力求触类旁通

摘  要：在日常教学中，教师要善于引导学生解决复杂的几何问题，加强学生对基本图形变化本质的理解，注重培养学生的逻辑推理和直观想象能力，使学生能从同类型问题中总结出基本模型并加以运用. 文章以与“半角模型”相关的几何问题解决为例，抓住同类型问题的本质特点，变式探究，并加以归纳推广，力求触类旁通.

关键词：半角模型;触类旁通;解题分析

在九年级中考复习阶段，很多学生依然对几何压轴题存在畏难情绪，面对复杂的图形、多变的条件常常手足无措. 笔者认为，其主要原因是学生在几何证明内容的问题解决活动中缺乏主动概括与反思的能力，无法有效搭建起图形、条件和结论之间的桥梁.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中指出，数学活动经验的累积是提高学生数学素养的重要标志. 因此，在日常教学中，教师要引导学生尝试挖掘图形中隐含的信息，识别常见的基本图形，进而建立问题解决的基本模型，从而培养学生化繁为简、化难为易的转化思想，力求触类旁通. 实际上，学生识图、研图和解图的过程不仅是知识技能的学习过程，更是一个融入观察、阅读、思考，体现直观想象和逻辑推理能力的过程. 现以对一道中考模拟试卷的几何压轴题的分析、解答与变式设计为例进行说明.

一、题目呈现

题目  如图1，在四边形ABCD中，AB = AD = 4，CB = CD = 3，∠ABC = ∠ADC = 90°，点M，N是边AB，AD上的动点，且∠MCN =[12]∠BCD，CM，CN与对角线BD分别交于点P，Q.

（1）求sin∠MCN的值;

（2）当DN = DC时，求∠CNM的度数;

（3）试问：在点M，N的运动过程中，线段比[PQMN]的值是否发生变化？如果不变，试求出这个值;如果变化，试至少给出两个可能的值，并说明点N的相应位置.

二、题目解析

1. 借助“倍半关系”，进行角的转化

题目第（1）小题是“求sin∠MCN的值”，由于点M，N为动点，△MCN的三边长度都是未知的，故而作垂线解三角形的方法难以实现求解. 因此，联想将∠MCN进行角的转化. 根据已知条件∠MCN =[12]∠BCD，将问题转化成构造∠BCD的半角. 结合图形分析，根据△ABD与△BCD都是等腰三角形，连接AC后，AC垂直平分BD，利用等腰三角形的“三线合一”性质，将∠MCN转化为∠BCA，即此小题的最终目的是“求sin∠BCA的值”.

2. 构造全等三角形，进行再次转化

和第（1）小题的求解相似，在第（2）小题的求解过程中，由于无法直接求出∠CNM的值，因此需要构造与△MCN全等的三角形，继而将∠CNM进行转化. 构造全等三角形的关键在于BC = CD. 如图3，将△BCM旋转至△DCG的位置，构造△MCN ≌ △GCN，即将∠CNM转化为∠CND. 除了旋转△BCM外，也可以旋转△CDN，同样可以达到目的.

3. 沿用解题思路，巧借相似转化

题目第（3）小题要求[PQMN]的值，由于点P，Q，M，N都是动点，因此直接求PQ，MN的长度或用字母表示其长度的方法均不可行. 因此，此小题的解题落脚点就在于证明△CPQ ∽ △CNM，然后将[PQMN]的值进行转化. 结合第（1）（2）小题所作的辅助线，如图4，延长AD至点G，使DG = BM，连接CG，AC，得到了“斜X型”相似，即△PCQ ∽ △NDQ，从而得到△CPQ ∽ △CNM. 从而得到旋转相似型基本图形△BCP ∽ △ACN，利用相似三角形对应线段成比例，最终将[PQMN]转化为[BCAC].

回顧题目中的3道小题，问题的解决路径都是紧紧围绕着∠MCN =[12]∠BCD这一已知条件，解题的难点在于利用角的倍半关系搭建已知（半角）和未知（角或线段的转化）之间的桥梁，借助图形的旋转构造全等三角形，继而再分析后构造图形中线段和角的数量关系，再以全等和相似为工具，助力问题解决.

三、变式探究

变式探究是促进学生深度学习、提升学生数学学科核心素养的有效方式. 通过对原题目进行变式探究，抓住其中的“变与不变”，即改变题目的外在形式或图形特征，沿用同样的思路和路径解决同类问题. 可以进一步挖掘图形的本质特征，帮助学生体验基本模型对解决同类型问题的重要作用.

1. 原题背景下的变式探究

变式1：题干同题目.

（1）试探索线段BM，DN和MN之间的数量关系;

（2）在点M，N的运动过程中，设BM的长度为x，AN的长度为y，求y关于x的函数关系式.

分析：（1）由原题目第（2）小题证明的两组全等三角形即可确定线段BM，DN和MN之间的数量关系;（2）直接用勾股定理或由原题目第（3）小题得到的相似三角形探索y关于x的函数关系式有些困难，尝试借助面积法解决问题.

2. 正方形背景下的变式探究

变式2：如图7，在正方形ABCD中，点E和点F分别在边AD，CD上，∠EBF = 45°，连接EF，AC，线段AC分别交BE，BF于点M，N，试探究线段AM，MN，CN之间的数量关系.

3. 直角三角形背景下的变式探究

变式3：如图9，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，点D，E在边AB上，∠DCE = 45°，过点A作AB的垂线交CE的延长线于点M，连接MD. 过点M作射线CD的垂线，垂足为点F. 设[BDBC=x]，[tan∠FMD=y，]求y关于x的函数关系式，并写出定义域.

分析：此题虽然可以通过解三角形或者构造相似三角形来求解，但计算过程比较烦琐. 如图10，过点C作CG ⊥ AB于点G，延长MA至点I，使AI = BD，连接CI，通过利用∠DCE =[12]∠ACB构造与△BDC全等的三角形，分析图形，利用全等三角形对应角相等的性质，得到∠FMD = ∠GCD，继而达到转化角的目的.

变式4：如图11，在Rt△ABC中，AC = 3，BC = 4，D，E为斜边AB上的两点（点D在点E右侧），满足∠DCE = 45°. 设AD = x，BE = y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域.

分析：因为BC ≠ AC，所以旋转△ACD或△BCE构造全等三角形的方法就行不通了. 根据∠DCE = 45°，如图12，过点C作CH ⊥ AB于点H，通过旋转EH和DH，构造含45°角的“一线三等角”基本图形，继而根据两组相似三角形构建比例线段，建立函数关系.

将原题目引申得到了4道变式探究题，这4道变式题改变了结论和背景图形，保留了原题目的主要条件——半角及一组相等线段，沿用了原题目的解题路径，利用旋转构造全等三角形（变式4利用旋转构造相似三角形）进行线段或角的转化，渗透了转化思想.

变式1基于原题目的背景进行变式，解题背景由原题目中“角之间的数量关系”转变为“线段之间的数量关系”，还融入了“A型”基本图形，以及等积法、勾股定理等基本方法. 变式2和变式3分别将原题目的背景图形变为正方形和等腰直角三角形，解题过程中再次综合运用了相似三角形、锐角三角函数、勾股定理等知识，起到了巩固提升的作用. 变式4进一步改变背景条件，去掉一组相等线段，由此通过“利用旋转构造相似三角形”、比例线段间的数量关系及“一线三等角”基本图形解决问题.

这4道变式题虽然在图形背景上有所差别，但是在主体条件和解决路径上可谓“同根同源”，也体现了将“复杂图形拆分成若干个基本图形”的化繁为简的思想. 这样的变式有助于促进学生的深度学习，让学生学会类比迁移，也能够帮助学生从同类型题目中抽象出基本模型，进而达到“授之以渔”的教学目标.

四、追根溯源

上述问题的解决都是围绕着“半角”这一主线展开的. 通过构造全等三角形或相似三角形，达到转化角或线段的目的，从而助力问题的解决.

在沪教版《九年义务教育课本·数学》（以下统称“教材”）中，与“半角模型”相关的内容出现在八年级第二学期“22.3 特殊的平行四边形”中的例题3：如图13，菱形ABCD中，∠B = 60°，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF = 60°，求证：AE = AF.

后续问题的引申和变式都是以教材中的例题为基础，将解题背景由“菱形”变为“正方形”或“三角形”;将三角形的旋转由“形内”拓展到“形外”;将解题路径由“三角形的全等”变为“二次全等，利用性质”或“构造相似，利用比例线段”，其中都蕴涵了转化思想.

若将“半角”问题一般化，则可以得到“半角模型”的一般形式. 如图15，在四边形ABCD中，如果满足[AB=AD，∠B+∠D=180°，] 点E，F分别是BC，CD上的点，且[∠EAF=12∠BAD]，这样的图形我们将其称为“半角模型”.

“半角模型”的建立源于广泛的联想（即转化的前提），即通过转化思想（将三角形进行旋转）达到优化图形结构、整合圖形信息的目的. 由此，遇到类似图15的图形时，应能快速联想到利用“半角模型”解决问题.

五、教学建议

1. 理清解题步骤，培养识图、解图能力

波利亚在《数学的发现——对解题的理解、研究和讲授》中表示，解题是一种本领，就像游泳、滑雪、弹钢琴一样，只有靠模仿和实践才能学到它. 在日常教学中，首先，教师要给予学生充足的读题时间，让学生挖掘题干（图形）中显性和隐性的信息，明确解题目标;其次，要让学生探索条件和结论之间的逻辑关系，以及解决问题所需的基本方法，由因导果，循序渐进;最后，让学生进行有条理、有层次、有系统的解答. 只有让学生经历发现、探索、总结的过程，才能帮助学生建立数感和图感，积累解题经验;只有让学生经历识题、解题的过程，才能让学生体会数学知识的转化过程，感悟运用数学知识形成解题方法的过程，进而在问题解决时信手拈来、水到渠成.

2. 关注基本图形，培养抽象、概括能力

虽然题目中呈现的图形是静态的，但是学生的思维却是动态的. 因此，如何帮助学生搭建静态和动态之间的桥梁是极为重要的. 几何压轴题的图形虽然复杂，但若能分解出其中的基本图形，并抽象成基本模型，再利用通性、通法加以分析，那么再复杂的问题也将迎刃而解.

基本图形主要有两个来源：一是经典图形，即教材中的定义、公理、定理及推论等所对应的图形，题目和变式中所应用的主要就是旋转、全等三角形和相似三角形的相关性质;二是常用图形，即在练习中发现并总结概括出的模型，这些模型具有一定的特征，这些特征通常是解决问题的关键所在，它可以对解题起到化繁为简的作用. 如图15所示的“半角模型”就是在练习中所总结出的模型. 想要在短时间内从复杂的图形中分解出基本图形，并找到恰当的解题方法，则要依靠学生日常的相关训练和点滴积累，以及教师对学生抽象、概括能力的培养.

3. 注重变式探究，培养推理、想象能力

“半角模型”的建立源于一系列的变式探究，这体现了学生对知识的理解和迁移能力，也体现了将未知化为已知的转化思想. 所有这些对数学思想能力的考查都自然地融合在层层推进的题设之中. 除此以外，还需要加强学生多题一解的能力，以此开阔思路、发散思维，使学生学会多角度分析、解决和总结问题.《标准》中指出，数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括. 因此，在日常教学中，教师要关注数学问题的本质内涵，在讲解完综合性题目后多提问学生. 例如，此题中蕴涵着哪些基本图形（模型），解题过程中运用了哪些基本方法？同类型的问题还可以怎样解？这些基本图形（模型）、基本方法是否都可行？可以推导出更一般的通式、通法吗？等等. 以此引领学生进行类比迁移和深度思考. 长此以往，必然能提升学生分析和解决问题的能力，进而提升学生的思维品质，使学生达到“会一题，通一类”的境界.

参考文献：

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[3] 沈岳夫. 抓住“半角”模型  巧用旋转突破[J]. 数学教学，2017（7）：41-44.

[4] 刘华为. 基于目标分析  探求以题会类：以因动点产生的函数问题为例[J]. 上海中学数学，2018（9）：20-22，45.