思维在多解中提升 素养在探究中发展

蔡卫兵

摘  要：2019年中考浙江宁波卷第26题由多道层次清晰、梯度分明的小题构成，侧重考查学生异中求同、由形悟质的能力. 在综合复习中选用此题开展一题多解和多解归一的深度学习，以问题启发学生有效思考、互动式思辨对话和促进学生思维能力为基调，引导学生多角度切入，多方面挖掘试题内涵，追求逻辑连贯，开拓解题思路，在多解与多思中完善思维结构，从而发展学生的数学素养.

关键词：中考试题;教学运用;思维提升;素养发展

对数学素养的关注就是落实数学知识、数学方法、数学能力、数学思想. 在解题教学中，不仅要进一步深化所学知识，而且要对技巧的运用进行示范，把数学知识、解题技能和思想方法联系起来，并最终转化为能力. 解题教学的质量直接影响着学生对数学基础知识和基本技能的掌握情况，也对学生对基本思想的感悟和基本活动经验的积累有着重要影响，进而影响学生运用数学知识解决实际问题的能力. 因此，选取优质试题，把握其精髓，彰显解题思路和解题方法的典型性及代表性，由知识转化为能力上的示范性和启发性，应该成为初中数学解题教学的核心.

2019年中考浙江宁波卷第26题由多道层次清晰、梯度分明的小题构成，侧重考查学生异中求同、由形悟质的能力，充分体现了“知识与能力并重，思想与方法交融”的命题特点. 此题巧妙地将等边三角形放置于圆中，着重考查圆的基本性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，以及函数、方程、转化、類比等思想，将重要的数学知识和数学思维体现得淋漓尽致. 因此，笔者在综合复习中选用此题开展一题多解和多解归一的训练，尽可能诱导出学生的想法，落实“教思考”的过程，提炼数学模型，激活学生的运算能力，让学生在实践中反思、在反思中体验、在体验中感悟、在感悟中提升.

一、试题呈现

题目  如图1，⊙O经过等边三角形ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连接DE，BF⊥EC交AE于点F.

二、解法探究

1. 重基础，通概念，激活知识梳理

思维是核心，观察是入门. 仔细观察，全面深入分析问题，准确把握几何图形特征，可以充分发挥其潜在的育人功能，促进学生学会合乎逻辑地思考，促使学生自然生成解题思路.

对于第（1）小题，从主干条件中提取有用的信息. 例如，等边三角形、圆等图形的结构特征. 从记忆储存中提取相关的信息. 例如，等边三角形的性质：三边相等、三个内角都等于60°、三线合一;圆的基本性质：垂径定理及其逆定理，圆心角定理及其逆定理，圆周角定理及其推论. 从寻找目标中提取常用的解题经验. 例如，证明线段相等的常用方法：全等三角形、等角对等边、等弧对等弦、利用等式性质进行线段和差、利用平行四边形的性质. 将上述信息进行有效组合，使之成为一个合乎逻辑的和谐结构，获得第（1）小题的证明思路.

思路1：因为所要证明相等的两条线段BD，BE都在△BDE中，所以想到证明∠DEB = ∠D，于是想到利用“同弧所对的圆周角相等”和等边三角形的性质证明∠DEB = ∠D.

思路2：因为要证明相等的线段BD，BE可以分别放到△ABE和△CBD中，所以想到寻找三角形全等的条件，即连接CD，利用“ASA”证明△ABE ≌ △CBD.

思路3：根据题意，得AB = BC. 所以只需证明AD = CE即可. 故利用同圆中相等的圆周角所对的弧相等和等弧对等弦，得AD = CE. 然后利用等式性质即可求证.

【评析】第（1）小题注重基础、兼顾全体、扎根教材，切入点较多，是学生巩固基础知识、强化基本技能、理清基本方法的良好载体. 其中，观察图形、初步感知、提取信息，为思维的流畅进行树立第一块路标. 但是不同学生对同一数学问题可能存在不同的认识与理解，他们的直觉思维和数学建构方式也不尽相同，学生之间的相互补充能弥补某些信息的缺口及差异，从而将已有的概念性知识、理解方法和策略方面的程序性知识联系起来，最终形成关于问题的内在表征模型.

2. 重过程，通思维，引领理性思考

对于第（2）小题，结合图形分析已知条件，学生不难得出除了主干条件等边三角形和圆形以外，还有等边三角形的边长及AF∶FE = 3∶2两部分.

以此进行思辨：由同一条直线上的两条线段之比，你能想到什么知识？如何在解题中加以运用？又能获得哪些有用的结论？除了利用平行或相似转化比例线段之外，问题中还有一些特殊的条件或目标暗示着解题方向吗？由此想到“倍分关系寻相似，添线平行成习惯，构造“A型”图或“X型”图实现线段代换”的解题经验，通过作平行线构造相似三角形作为解题的思维起点，联系已知的60°角构造直角三角形，利用勾股定理作为几何计算的解题依据. 由此让学生意识到下一步的行动，以“问题启发学生有效思考”为基调，以“观察探索”和“互动探讨”为基本学习途径，获得如下解法.

【评析】第（2）小题主要涉及相似模型和含特殊角的直角三角形的构造，突出了“数”与“形”的有机联系，彰显了美和真的和谐统一. 结合图形直观想象、深入分析、广泛联系，学生自然能建立起已知和目标之间的逻辑结构，辅助线的添加思路也会水到渠成. 引导学生从多角度、多方面挖掘信息，切入点的多样化使得图形的构造不拘一格，充分体现了几何题的无穷魅力并发挥了其潜在的育人功能，这样不仅可以让学生的思维更加灵活和开阔，还能达到培养求异思维的目的.

3. 重模型，通本质，促进数学理解

对于第（3）小题第①问，根据第（2）小题和第（3）小题的条件对比分析，渗透了从特殊到一般的数学思想方法，尝试类比已有的辅助线添加思路，作平行线构造“A型”或“X型”相似模型均可实现线段比值的转化，自然建立起已知和目标之间的内在联系和逻辑结构.

顺势而思辨：顺着这个思路又发现了什么？进一步将问题转化为什么问题？第①问的目标是什么？结合图形又想到了什么？由锐角三角函数的定义导航数学思考，关键是构造包含∠DAE的直角三角形. 结合图形想到了已知的特殊角∠ABF = 30°或∠ADE = 60°，由此发现只需过点E或点F作AD的垂线即可将特殊角与∠DAE放到直角三角形中. 由此以“模型导航”和“互动式思辨对话”为基调，以“概念解读”和“感悟联想”为基本学习途径，获得多种解法. 以下交流展示其中的两种解法.

【评析】第（3）小题第①问引领学生沿着从特殊到一般的思路，阅读理解、猜想论证、推理计算，关注学习和探究过程，充分体现过程性学习理念，凸显数学本质，充分考查了学生的思维品质与学习潜能，彰显了对数学学科核心素养的考查要求. 此问应用前面构造的“平行相似”模型实现线段比值的转化，学以致用，让迁移有效发生. 同时充分展现了基本图形的引领作用，促进学生学会合乎逻辑地思考，促使学生自然生成解题思路.

4. 重训练，通算理，培养运算能力

对于第（3）小题第②问，深究题意，转换形式. 例如，它们有什么关系？如何表示？还能如何表示？由题设中的条件能够推出什么？还能推出什么？结论之间有什么关系？可以怎样利用？它是否与某道解过的题目有联系？能否利用这个联系？这些解题的启发性提示语能有效指导学生的思维操作. 因为前面已经得到[y=34x+1，] 所以只需求出x的值即可确定y的值. 根据“△AEC的面积是△OFB面积的10倍”的条件，想到建立关于x的方程. 但是这两个三角形既不相似也不具有同底或等高的关系，因此想到利用面积计算公式分别将它们表示出来，而此题没有已知的边长信息，所以此路也不通. 通过作平行线构造“A型”或“X型”相似模型，由线段AF，EF的比值找出两个等边三角形边长之间的关系，在此基础上只需用字母表示其中一条线段的长度，再用符号进行相关线段的数学表达、运算和推理，表示出相关线段的长度是解决问题的关键. 在上述作平行线的诸多方法中选择“过点A作AG⊥BC”比较合适，因为这样不仅能由AG∥BF实现线段比值的转化，又能由AG为△ACE的边CE上的高线与三角形的面积联系起来，还能得到AG与BF的关系，由此进一步想到将BF作为△OBF的底边进行面积计算，过点O作CE的弦心距OM，即可知BM的长等于BF边上的高长. 由此以“有效提升运算能力”和“促进学生思维能力”为基调，以“动手操作”和“自主运算”为基本学习途径，获得如下解法.

【评析】第（3）小题第②问对学生个体发展的差异进行了有效“甄别”，需要学生具备一定的几何直观和几何推理能力、发现与探究能力、合情推理能力和数学运算能力等. 在探究过程中，问题环环相扣，需要学生逐步完善图形，逐渐创新思路，凸显符号意识，发展代数推理能力. 反馈解题过程不仅能改进解题的思路和方法，而且能提炼出对解题有指导作用的信息，进一步升华为学生搜索、捕获、分析、加工和运用信息能力的总和.

5. 重小结，通思想，提升数学素养

通过对上述题目的探究，发现这些解法的突破口是什么？是如何找到思路的？应用了哪些知识点和方法？还有没有其他方法可以找到该突破口？辅助线的添加有什么共同特点？添加辅助线后有什么好处？你积累了哪些解题经验？获得了哪些思想方法？你能否利用前面的解题经验类似地对问题进行改变？某种方法对已知数据或已知关系的依赖是本质的还是非本质的？

学生展开畅谈、形成共识. 中考压轴题是为考查学生综合运用知识的能力而设计的，其特点是涉及的知识点多、覆盖面广、层层设问、逐步递进、条件隐蔽、关系复杂、思路难觅、解法灵活，关注数学核心知识（方程、函数、全等三角形、相似三角形、圆的基本性质、勾股定理、锐角三角函数等）的积累，关注数学思想方法（转化思想、类比思想、模型思想、函数思想、方程思想、数形结合思想等）的内化，从基本图形出发尝试添加辅助线来解答初中几何试题，能自然而然地找到解题的切入口，顺利地把条件与结论串联起来，得到畅通的思路，使解法简洁、流畅. 可以说基本图形是辅助线添加的源头，它驱动着思维，催生着自然流畅、逻辑连贯的解题思路. 要寻找解题的多种策略和方法的核心本质，即要努力分析出题目的“源”，进而探究题目的“流”. 例如，将第（2）小题改为“求⊙O的半径”;在第（3）小题中，设tan[∠DAE=x， AFEF=y，] 求y与x之间的函数表达式;题干中去掉“圆心O在△ABC内”的条件，或改为“⊙O经过等边三角形ABC的頂点A，C（圆心O在△ABC内），分别与边AB，CB交于点D，E”.

数学感悟就是要把数学知识内化为学生个人的知识，把数学方式内化为学生自身的行为方式，把数学思想内化为学生个体的观念品质. 这个过程也是引导学生体悟问题解决的一般性程序，有利于学生养成良好的问题解决习惯. 利用主图进行“和而不同”的迁移变化，由此及彼、由正向反、由表及里、由点到面，多种思维方法的训练，不仅有利于学生缓解、克服不良定势和思维障碍，还能培养学生从多层次、多角度提出更多问题，是提高学生数学学科自我监控能力的关键措施.

三、解后思考

1. 立足一题多解，完善思维结构

数学学习离不开解题，要学好数学，必须提高解题能力. 做题不在于多而在于精，抓住典型问题，注意引导学生从不同角度切入试题展开联想、进行思考，沿不同的路径求得最终结果，努力挖掘问题中丰富的内涵，寻求问题的多种解法，学会举一反三，力求在多思和多解中领悟解题的真谛，变定向思维为多向思维，这样既能拓宽学生的解题思路，又可以帮助学生维持一种思维的灵动状态，能完善和丰富知识结构. 例如，线段相等的证明方法、线段倍分关系的转化方法、线段长度的计算方法、特殊角的利用，是熟练运用知识进行解题能力的积累，是交会型知识综合运用能力的积累，是思想方法渗透经验的积累，是解决相似问题经验的积累. 教师要引领学生更理性地思考数学问题，形成良好的思维习惯，领悟数学思想.

2. 开展深度学习，发展核心素养

实施数学深度学习，就是立足于学生数学学习的过程，抓住数学学科的本质，促进学生理解并构建数学知识和经验，形成学习的基本能力，逐步形成和发展核心素养的学习活动. 在知识的交会处，以基础知识和基本结论为载体，关注学科本质，注重通性、通法，淡化特殊技巧，基于知识之间的相互转化，问题逐步深入，遵循了由特殊到一般的思想，追求逻辑连贯，其解法始终有一条主线（相似基本模型助突破）贯穿其中，这就是问题积淀的“质”，在解法中融入典型的数学思想，即运用模型和转化思想、数形结合思想、类比思想. 从题目“源”的分析到题目“流”的探究，呈现过程符合学生心理的认知规律，是合乎逻辑的思维方法. 学生始终主动地参与深层次的思维活动，以及数学地、合乎逻辑地、有条理地思考问题与解决问题的习惯与能力，从本质上讲，是会用数学的眼光观察现实世界（数学抽象、直观想象）、会用数学的思维思考现实世界（逻辑推理、数学运算）、会用数学的语言表达现实世界（数学建模、数据分析），是超越具体教学内容的数学教学目标. 其中，“四基”是发展学生数学学科核心素养的有效载体.

参考文献：

[1]黄祥勇. 数学核心素养导向下的深度教学[J]. 数学通报，2018，57（7）：29-32，63.