基于核心素养的解析几何复习课的教学设计与反思

欧阳晓萍

摘 要：数学核心素养既有独立性又互相交融，形成一个有机整体。在高中解析几何复习课中，通过设计合理的数学问题，让学生在数学活动过程中掌握基础知识、技能以及感悟数学基本思想的能力，激发他们的数学思维，积累实践的经验，促使学生发展和形成数学核心素养。

关键词：核心素养;解析几何;教学设计

高中數学教师在解析几何复习课中落实数学核心素养，首先要对数学内容的本质进行把握，通过提出合理的问题，启发学生进行独立的思考和探索，鼓励学生和其他学生进行交流和讨论，在数学活动的过程中让学生掌握基础知识，在这个基础上促进学生发展和形成数学核心思想，实际上也是帮助学生养成一种习惯和思维方式。本文以高中解析几何的复习课为例，基于核心素养让学生进行数学学习。

一、学情分析

解析几何在高考中是重难点问题，学生比较难掌握。他们缺少计算能力，在解题时产生了一定的影响，除此之外还缺少解题的方法，缺乏数形结合解决问题的意识，因此在平时的课堂教学中，教师要引导学生多对数学原题目进行反思、改造，改变问题的条件或结论，改变其形式或内容而构造出充满生机的“新题”，这样可以促使学生随时根据变化的条件积极思考，寻找解决方法，从而培养思维的广阔性。我们每解答一道数学题后，若能将其中的条件、结论做一些改变，或问题的呈现方式做一些改变，会有什么结果产生呢？常这样去反思是非常有益的。

二、教学设计

如图，点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，试求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状。与2.2例3比较，你有什么发现？（人教A版，选修2-1，第59页，探究）

设计意图：本题条件比较简单，让学生从简单的直接法入手回顾解析几何求轨迹的知识，增加学生的学习信心。

变式1：已知点A，B的坐标分别为（-a，0），（a，0）（a>0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是k（k≠0），求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状。

解，∵kAM·kBM=k，即·=k（x≠±a），∴-=1（x≠±a）.

①当k>0时，点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线（去掉A、B两点）;

②当-1

③当k=-1时，点M的轨迹是以AB为直径的圆（去掉A、B两点）;

④当k<-1时，点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆（去掉A、B两点）.

设计意图：通过变式1进一步复习解析几何求轨迹的知识，并强调在求解轨迹时必须要检验特殊点是否成立。

变式2：若AB是椭圆 =1（a>b>0）的任一条直径（过原点O的弦），点M是椭圆上的动点，且直线AM，BM的斜率都存在，则直线AM，BM的斜率之积为-.

设计意图：变式2是逆向探求和一般化探求的结果，通过逆向探求和培养学生的逻辑思维，同时让学生进一步理解相关知识。

变式3：若AB是双曲线 =1（a>0，b>0）的任一条直径（过原点O的弦），点M是双曲线上的动点，且直线AM，BM的斜率都存在，则直线AM，BM的斜率之积为。

设计意图：变式3是变式2类比推理的产物，通过类比推理让学生从本质上理解和掌握相关知识，并在以后解题中能融会贯通。

上述结论对学生来说是新的发现，是数学合情推理与演绎推理相结合的结晶。

三、教学反思

本文从例题，通过层层变式，循序渐进，螺旋上升，有利于培养学生从特殊到一般、从具体到抽象分析问题、解决问题的能力，有利于培养学生的探究精神和探究能力，有利于数学思维品质的优化，有利于培养学生的化归能力。

其中变式1是采用归纳推理的方法得出命题，变式2是逆向探求和一般化探求的结果，变式3是变式2类比推理的产物。通过变式让学生能够深刻理解其中的内涵，达到运用自如、灵活切换的效果。同时教师还要引导学生做好课堂小结，学会动手演练。

数学是一门十分严谨的学科，因此想要更好地落实解析几何教学，就应该建立在扎实的基础知识上。同时为了体现直观性，教师还可以使用多媒体技术进行辅助教学，提高课堂教学效率，帮助学生建立图形的形象意识和抽象数学问题之间的联系。之所以只是将多媒体作为辅助技术，是因为信息化的快节奏，课堂会对学生自身直观想象能力的培养带来一定的限制，无法有效培养数学的抽象思维等。

面对一些学习数学困难的学生，教师首先应该从简单基本问题出发，通过层层变式，循序渐进，让学生慢慢掌握相关知识。因此基于核心素养，在讲授这一节解析几何复习课时，首先就要复习相关概念以及公式。只有深刻了解课本上的基础知识，才能够帮助学生更好地运用并拓展，同时对相关知识网络进行系统性的梳理，建立框架，激发学生的思维。除此之外，教师还应该重视学生进行思维探索的过程，给学生留出更多的时间和空间，帮助学生形成数学素养。最后还要让学生进行自我整理和完善，根据自身的学习习惯，对知识进行总结和归类，加深对解析几何知识的理解，减少遗忘。

总而言之，在高中数学解析几何题的复习中，教师要研究近五年的真题。通过对解析几何内容的具体问题进行分析，然后提炼出其中的本质，基于核心素养对学生进行系统的训练，帮助学生对解析几何的难题和难关进行攻克。

参考文献：

[1]陈亚菲，曹贤鸣.基于核心素养的解析几何复习课的教学设计与反思[J].中学数学研究（华南师范大学版），2019.

[2]董林伟，李善良.基于核心素养的教学设计（高中数学）[M].北京：北京师范大学出版社，2020.