中国高速铁路网络拓扑特性分析

县 勇，吴 亮，杜文举

(兰州交通大学 交通运输学院，兰州 730070)

截止2020年底，我国高速铁路营业里程达到39 000 km，“四纵四横”运输通道已基本建成通车.根据2016年，国家发展改革委、交通运输部、中国国家铁路集团有限公司联合发布的《中长期铁路网规划》，高速铁路 “八纵八横”的网络也在快速稳步地建设当中.随着高速铁路营业里程地日益增加，这个庞大网络的拓扑特征和重要节点等问题引起了众多学者地关注.从数学家欧拉研究哥尼斯堡环游问题(又称七桥问题)开始[1]，大多数学者发现复杂系统往往可以抽象成网络，如果能够认清网络的特性，就可以认清复杂系统的本质.研究中国高速铁路运输网络，分析其拓扑结构，认识其复杂特性，可以为高速铁路系统的运营者在运输组织，网络规划和维护方面提供理论依据.

国内外已有很多学者应用复杂网络的相关理论来研究运输网络的性质，总结下来主要分为两个方面.一方面是研究交通网络的拓扑结构，例如Wang等[2]采用复杂网络方法研究了中国航空运输网络中各个城市的网络结构和节点中心性，计算比较网络的度分布、平均路径长度和聚类系数的数据，指出中国航空网络具有小世界网络特性.文献[3-4]提出了两种不同的网络构建方式，分别为以铁路站点作为节点，以轨道为边，生成铁路地理网和以站点为节点，任意两个站点间只要有同一列车在这两个站点停靠，就作为两个站点间的边，生成铁路车流网.计算得出铁路地理网为树状网络，铁路车流网为具有无标度性质的小世界网络.谭江峡等[5]用铁路车流网的构建思路，在网络上近一步引入方向和边权，分析了中国客运网络的拓扑结构与地理环境的相关性.王伟等[6]在铁路地理网、车流网的基础上，又以列车经过的所有站点为节点，同一趟列车路径上的站点之间存在的连线为边，构建出换乘网络，运用统计指标分析了它们的拓扑特性并给出了重要节点的标定方法，运用此方法标定了中国铁路网的重要节点.张兰霞等[7]同样在铁路地理网和车流网的基础上，对车流网中在车站间经停的列车数目定义为边的权重构建出铁路服务网，指出铁路服务网同样具有无标度和小世界特性，同时为近一步研究高速铁路网络的稳定性提供了基础；另一方面是进行交通网络的动力学分析，例如对网络的拓扑特性分析[8-11]，研究铁路网的抗毁性评估方法，并近一步提供网络修复方法，为铁路在突发事件下的应急预案编制提供理论支撑.叶玉玲等[12]基于高速铁路网络的拓扑特性，研究了其网络的传播动力学特点，找到了其传播规律以优化新线建设和运行图地调整.

国内外学者的研究成果已经证明了分析网络的拓扑特性可以反映站点间的关系、列车间的关系和网络的服务水平.而随着我国高速铁路运营公里数逐渐增加，网络结构愈加密集和复杂，对其拓扑特性分析的方法论也应同步鼎新.本文将构建中国高速铁路的地理网络和车流网络，统计分析网络的节点度分布、平均最短距离和聚集系数，再利用网络的特征谱[13]分析高速铁路网络拓扑特性，为研究网络动力学奠定基础，同时也为列车运行图调整提供理论参考.

1 高速铁路网络模型构建

1.1 假设条件

本文研究选取的数据包括高速动车组、动车组和城际高速列车停靠的站点，是在2016版《中长期铁路网规划》基础上，结合2020年高速铁路运行线路图、截止2020年第二阶段调图后全路开通的1 140个高铁车站和站点间列车开行情况为数据来源.先对节点选取做出如下假设.

1) 节点选取以站点所在城市为准，只考虑到市区，若同一城市有多个站点的情况，视为一个网络节点出现.

2) 先不考虑跨线列车开行的影响，站点间的线路均为双线线路，可以双向行车，站点间的列车开行情况按照列车运行图中的实际停站方案构建.

1.2 高速铁路地理网络

以站点作为节点，每个站点间实际连通的铁路线作为边，构建高速铁路地理网络.地理网络是高速铁路运营和满足运输需求的设施支撑和基础条件.因为高速铁路是双线行车，成对开行，所以地理网络为无向网络.设无向图GD=(VD,ED)来表示高速铁路地理网，其中VD={vD,1,vD,2,…,vD,n}，是高速铁路站点的集合；ED={eD,1,eD,2,…,eD,n}，是相邻站点间的线路集合；为了方便计算，建立地理网络模型的邻接矩阵AD=(aD,ij)n×n，其中aD,ij表示节点VD,i和VD,j之间存在的边数，当aD,ij=1,2,…,n时，表示相邻车站i和j之间存在n条线路直接相连，当aD,ij=0时，表示车站i和j之间不直接相邻.

1.3 高速铁路运输网络

将列车通过的所有站点作为节点，同一车次的列车在经过的站点上依次停靠，则将停靠的相邻站点连接作为边，构建高速铁路运输网络.由于列车成对开行并且上下行停靠站点相同，所以运输网络也为无向网络.设无向图GY=(VY,EY)来表示高速铁路运输网，其中VY={vY,1,vY,2,…,vY,n}，是所有列车经过高速铁路站点集合；EY={eY,1,eY,2,…,eY,n}，是同一车次的列车停靠车站间的连线集合；同时也建立运输网络模型的邻接矩阵AY=(aY,ij)n×n，其中aY,ij表示节点vY,i和vY,j之间存在边，aY,ij取值0或者1，当aY,ij=1时，表示车站i和j之间至少存在1列高铁列车停靠，当aY,ij=0时，表示没有列车同时在车站i和j停靠.

2 高速铁路网拓扑特性分析

2.1 度与度分布

网络的一个基本特征是度与度分布，复杂网络中某个节点的度是指网络中与该节点相连接的边的数目，节点平均度是所有节点的度的平均值，节点的度越大说明节点在网络中的位置越关键.度分布则是对具有不同度的节点的相对频率地描述，用P(k)来表示节点度的分布函数，表示网络中度为k的节点个数占总节点个数的比值.

如图1～2所示，根据计算，高速铁路地理网络中，平均度为3.3，计算结果中按降序排列取值前十的站点如表1所列.度数最小为1，是线路的起讫车站；度数为3的站点最多，这些站点连接了3条线路，说明随着高速铁路运营里程和营业站点得增加，旅客换乘选择和换乘方便程度也有所提高.度数最大为10，站点在南京，南京是京沪高铁、沪汉蓉高铁、宁杭高铁、宁安高铁和宁合高铁线路上的重要节点城市，其中南京南站是国家铁路枢纽站，也是华东地区最大的交通枢纽和亚洲第一大高铁站，具有重要的经济和交通地位.其余站点，北京度数为8，上海、武汉、广州等重要枢纽站点，度数为7.度数值较大说明站点在基础网络中具有重要的地位，同时在突发事件时也更容易造成网络不连通.同时，如图3所示，地理网络累计度分布形式，说明高速铁路地理网络具有无标度网络的特点.

图1 地理网络中各节点度的大小分布图Fig.1 Distribution of degree of each node in geographic network

图2 地理网络节点度的频率分布图Fig.2 Frequency distribution of node degree in geographic network

表1 地理网络中节点度值取值前十的站点

图3 地理网络节点度的累计度分布Fig.3 Cumulative degree distribution of node degree in geographic network

如图4～5所示，在高速铁路运输网络中，平均度为51.8，计算结果中按降序排列取值最大的18个站点，如表2所列.说明平均每个站点城市乘高铁不需换乘的情况下，可到达全国51个城市，可见中国高铁已经很高的可达性和服务水平，相对度数较大的站点主要还是集中在北京、上海、南京、沈阳、合肥、广州等经济中心和重要交通枢纽，这些站点接发列车量大，所在线路繁忙，是调整开行方案和运行图的重点关注对象.

2.2 聚集系数

图4 运输网络中各节点度的大小分布图Fig.4 Distribution of degree of each node in transportation network

图5 运输网络节点度的频率分布图Fig.5 Frequency distribution of node degree in transportation network

比较高速铁路两种网络的聚集系数取值情况，如图6～7所示.其中地理网络站点聚集系数大多为0，平均聚集系数为0.18，说明两两相邻的车站较多，特别是南方网络相对密集的地区，枢纽站点负荷较大，站点或区段发生中断后对行车影响大.而运输网络站点平均聚集系数达到了0.88，表现出明显的高聚集性，具有小世界网络的特征，也说明高铁列车开行数量大，车次相互间晚点传播具有较大得影响.

表2 运输网络中节点度值取值最大的站点

图6 地理网络中节点聚集系数取值Fig.6 Node aggregation coefficient value in geographic network

2.3 平均路径长度

两个站点间的路径长度是它们之间最短路径的长度或者边数，如果两个节点间没有路径，那么它们之间的距离就是无穷大.而平均最短路径长度就是网络中任意2个站点之间最短路径长度的平均值.设在有N个站点的无向网络中，站点i和j的最短路径长度为dij，L是整个网络平均最短路径长度，则有计算公式：

(1)

在物理网络中，平均路径长度值为66.5，表示任选两个站点，平均要经过67个站到达，说明高速铁路网络覆盖的站点越来越多，连通性较好.在运输网络中，平均路径长度值为1.59，说明平均情况下，旅客需要乘坐1至2列车，即换乘1次可到达目的站点，说明运输网络具有很好的便捷性.

图7 运输网络中节点聚集系数取值Fig.7 Value of node aggregation coefficient in transportation network

3 高速铁路网络特征谱

除了度、聚集系数和平均路径长度等统计量，复杂网络的特征值谱也包含了网络拓扑结构的丰富信息.网络的邻接矩阵已经全面描述了网络中节点的性质和节点间的关系，进而再用网络邻接矩阵的特征值谱用来全面地分析网络的拓扑结构和动力学特性，这有着广泛的应用和重要的意义[13-14].

网络的特征值谱就是其邻接矩阵的特征值的集合，若有N个节点的无向网络G，由于其邻接矩阵A是实对称矩阵，则其有N个实特征值(相等的特征值按重数计)λj,j=1,2,…,N.不同网络的特征值谱具有不同的特点，也可以根据特征谱初步判断网络的类型[15]，根据前面构建的高速铁路地理网络和运输网络，分别计算它们的邻接矩阵的特征值取值情况如图8～9所示.

可以看出，高速铁路地理网络的邻接矩阵的特征值分布跨度大，大多数较小的特征值比较集中，这符合无标度网络特征值分布的特点.而运输网络邻接矩阵的特征值分布跨度较小，且分布较均匀，这符合小世界网络特征值分布的特点.这与前面通过度分布和聚集系数分析地理网络和运输网络的拓扑特性得到的结论一致.

图8 地理网络邻接矩阵特征值Fig.8 Eigenvalues of adjacency matrix of geographic network

图9 运输网络邻接矩阵特征值Fig.9 Eigenvalues of adjacency matrix of transportation network

4 结论

1) 论文根据我国高速铁路2020年线路和车站开通情况及动车组开行情况，分别构建出高速铁路地理网络和高速铁路运输网络.并运用复杂网络理论进行了定量计算，根据分析度与度分布、聚集系数和平均路径长度三个指标，得出地理网络符合无标度网络特性，网络中存在度值很高的站点，这些站点所在城市正是国家重要的经济中心和交通枢纽，说明中国高速铁路网络核心骨架已经搭建完成.而运输网络符合小世界网络的特点，说明中国高速铁路已经具有较好的便捷性.在接下来的研究中要根据新站点的开通情况及时更新邻接矩阵，为高速铁路运输组织的优化和客运产品的设计提供理论建议.

2) 对高速铁路地理网络和运输网络的邻接矩阵的特征值进行了定量分析，近一步说明了地理网络的无标度性和运输网络的小世界性，丰富了研究高速铁路网络拓扑结构的方法体系.这也是下一步研究高速铁路网络动力学特点和抗毁性以及修复性的基础.