研究概率统计教学,迎接新高考

潘燚云

江苏省从2021届开始，数学学科采用新高考模式。新高考对概率与统计模块的考查力度很大，知识点内容增加，难度增大。在高三复习课上，要重点提升学生的数学核心素养。

下面以一节高三概率统计复习课为例，研究新高考下的概率统计教学。

一、对焦模考题，师生齐探究

（21届高三苏锡常镇二模第21题）某中学的一个高二学生社团打算在开学初组织部分学生打扫校园。该社团通知高二学生自愿报名，由于报名的人数多达50人，于是该社团采用在报名学生中用抽签的方式来确定打扫校园的人员名单。抽签方式如下：将50名学生编号，通过计算机从这50个编号中随机抽取30个编号，然后再次通过计算机从这50个编号中随机抽取30个编号，两次都被抽到的学生打扫校园。（1）设该校高二年级报名打扫校园的甲同学的编号被抽到的次数为Y，求Y的数学期望;（2）设两次都被抽到的人数为变量X，则X的可能取值是哪些？其中X取到哪一个值的可能性最大？请说明理由。

师：我们先解决简单的问题，X的可能取值是哪些？

生1：10≤X≤30（X∈N*）

师：很好，我们首先要求X取到每一个值的概率，再比较谁最大。先请同学们写出X取到每一个值的概率。

生2：我的式子是P（X=n）=

生3：P（X=n）是关于n的函数，所以可以令它为f（n），求函数的最值。

设计意图：在新高考下，概率统计可以和其他模块的知识点综合出题，本题是概率统计和函数综合，考查了学生灵活应用知识的能力。

师：令f（n）=[Cn][50]·[C30-n][50-n]·[C30-n][20]

=··

=。

同学们，接下来怎么求这个函数的最值呢？

生4：求导。

生5：把正整数n先替换成大于等于1的实数x，再求导。

生6：这个里面有阶乘，求导太繁了。

师：那怎么找到最值呢？

生7：f（n+1）和f（n）做商。

生7的解题过程展示：

=×=，

若（30-n）2-（n+1）（n-9）=909-52n>0，则n≤17，

当n≤17时，f（n+1）>f（n）;当n≥18时，f（n+1）

设计意图：函数求最值是高考的高频考点，本题中f（n）是自变量为正整数n的函数，且含有阶乘，需进一步加强学生对函数求最值的应用意识。

二、链接高考真题，全员实战演练

（2018年全国卷I理科第20题）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取20件做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为p（0

师：这道题和刚才的模考题一样，都是求概率的最大值。

生8：20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p）=[C2][20]p2（1-p）18，求f（p）的最大值即可。

生9：和刚才那道模考题一样，f（p+1）和f（p）作商，和1比较大小。

生10：这道题p就是实数，而且也没有复杂的阶乘形式，为什么不对f（p）直接求导呢？

生10：20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p）=[C2][20]p2（1-p）18。

因此f′（p）=[C2][20][2p（1-p）18-18p2（1-p）17]=2[C2][20]p（1-p）17（1-10p）。

令f′（p）=0，得p=0.1.当p∈（0，0.1）时，f′（p）>0;当p∈（0.1，1）时，f′（p）<0。所以f（p）的最大值点为p0=0.1。

设计意图：本题有两个方面的用意。一是两道题都是概率统计和函数的综合问题，体现了新高考的综合性和应用性;二是虽然都是求概率的最值，但是选择的方法却是不同的，需要学生深刻体会新高考下题目的灵活性。

新高考标志着我们已经进入“无纲可依、有章可循、标准引领、体系建设”新时代。研究新高考，功在平时。新高考下，概率统计考查的范围越来越广，和其他知识点结合得越来越多，灵活性和难度都有了很大提升，我们必须把握好高三复习课堂的主阵地，从容迎接新高考。

注：本文系南京市玄武区教育科学“十三五”规划“个人课题”“基于新高考模式下的概率与统计教学的实践研究”（“十三五”字第玄个〈中〉2020018号）的研究成果。