让学生经历公式的发现、证明与应用——“祖暅原理与几何体的体积”教学设计与思考

陈春芳

一、教材分析

本节课位于新人教A版必修第二册第八章“立体几何初步”，本章采用“总—分”的结构。先从对空间几何体的整体观察入手，研究其结构特征、表示方法和表面积体积的计算方法；再从构成立体几何图形的基本元素——点、线、面入手，研究它们的性质及其相互间的位置关系。本章的第三节“简单几何体的表面积与体积”包括简单几何体的表面积和体积两部分内容。计算简单几何体的表面积主要方法是将空间问题转化为平面问题，学生易于学习。而对于简单几何体的体积，学生虽已学习长方体、圆柱和圆锥的体积计算公式。但是公式的学习是通过实验操作、观察猜想所得，并没有经过严格的推理论证。因此，根据我校学生的认知水平，结合教材探究与发现，本节课采用探究式教学，通过合作交流，让学生经历简单几何体的体积公式的发现、证明和应用的过程。

二、教学目标及重难点

1.教学目标。

（1）通过实验操作，学生了解祖暅原理，并能利用祖暅原理推导柱体和球的体积公式；

（2）学生会用割补的方法推导锥体和台体的体积公式，感受柱体、锥体和台体内在结构的联系以及体积公式之间的相互联系，体会转化思想在解决问题中的作用；

（3）学生会用体积公式求解相关问题，能运用类比的方法研究问题。

2.教学重点。

柱、锥、台和球的体积公式的推导及应用。

3.教学难点。

锥体和球体体积公式的推导。

三、教学过程

1.问题情境。

尝试与发现：同一摞书，当改变摆放书的形状时（如下页图1所示），这摞书的总体积是否会改变？由此你能得到有关体积的什么结论？

【设计意图】学生能从同一摞书的三个不同形状抽象出三个不同的几何体：长方体、斜棱柱和不规则的几何体。由于所占空间的大小没有发生变化，因此三个几何的体积相等。由此学生从知识层面能够归纳出祖暅原理——幂（截面面积）势（高）既同，则积不容异；从数学方法层面能将不规则的几何体转化为规则的几何体，体现了转化在解决问题中的重要作用；从数学思想层面，渗透极限思想。这些将为本节课推导简单几何体体积作铺垫。

（图1）

2.公式推导。

在以前的学习中，我们已经知道了正方体的体积公V=a3式（其中a为棱长），长方体的体积公式V=abc=Sh（a、b、c分别为长、宽、高）。以长方体为基础，可以得到什么几何体的体积？

探究1：如图2，底面积都等于S，高都等于h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅原理推导柱体的体积公式吗？

（图2）

探究2：如图3，底面积相等、高也相等的锥体体积之间有怎样的关系呢？

（图3）

探究3：我们学过柱体和锥体的体积公式，那么台体的体积可以通过我们已知的知识得到吗？

思考：柱体、锥体、台体之间有什么关系？你能从形的角度，揭示公式之间的联系吗？待学生推导后出示图4进行讲解。

（图4）

探究4：（1）你能想办法测出一个乒乓球的体积吗？（历史上阿基米德发现了球的体积公式）

（2）你能利用祖暅原理推导球的体积公式吗？

为了方便，取出半球，请大家构造一个与之等底同高，且等高处截面面积相等的简单几何体。

如图5所示是底面积和高都相等的两个几何体，左边是半球，右边是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，用平行于半球与圆柱底面的平面去截这两个几何体，分别指出截面的形状，并讨论两个截面面积的大小关系，并由此推导球的体积公式。

（图5）

【设计意图】通过4个探究完成了柱、锥、台和球的体积公式的发现及推导。学生经历了对公式的发现与证明的过程，从直观感知到推理论证，符合人们认识事物的一般规律，它也是研究立体几何的重要方法。公式的推导体现了转化思想，将不规则的几何体转化为规则几何体，例如柱体（斜棱柱转化为直棱柱）、球（球转化为简单组合体）；将未知转化为已知，例如锥体转化为柱体、台体转化为锥体。在推导的过程中，学生不仅提升了数学探究能力，同时也发展了逻辑推理和数学运算核心素养。最后从简单几何体的结构联系揭示公式之间的联系，将公式进行统一，从中学生能体会到数学中的“变”与“不变”，从数学本质来认识数学学习。

3.公式运用。

例题：如图6，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比。

（图6）

4.课堂小结。

（1）公式的学习：发现—证明—应用。

（2）公式的推导：化不规则为规则、化未知为已知。

（3）公式的特征：内在的结构体现了公式的联系。

5.课后探究。

一个旋转体的母线是抛物线y=x2（0≤y≤H）的一部分，以y轴为旋转轴，求该旋转体的体积。

【设计意图】通过课堂小结，回顾本节课的研究过程，了解研究数学问题的方法。类比球的体积推导过程，学生课后合作完成探究作业，提高学生分析问题和解决问题的能力。

四、教学思考

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出，数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用。本节课紧扣“利用祖暅原理探究简单几何体体积”这条主线设计教学，通过4个探究活动逐步展开，学生在学习基本知识的过程中，掌握研究数学问题的基本思想，同时提升了思维水平。

1.立足学生的认知，促进学生思维的主动参与。

以学生发展为本是新课程的基本理念，课堂教学应以“学生的学”为中心。教师在充分了解学情的基础上，依据教材，设计教学内容，为学生的自主学习搭建平台。本节课对教材内容进行了整合。教材是分多面体、旋转体的表面积和体积展开，公式也是直接告知，没有进行严格的推理证明。在习题后面的“探究与发现”给出了证明，供学有余力的学生课后自主学习。对于高中生，根据以往的学习经验，他们已经知道了柱体和锥体的体积公式，但是这仅仅停留在直观感知，没有较强的说服力。对于这个阶段的学生，他们不仅仅想知道“是什么”，更想知道“为什么”。证明和推理是培养学生数学思维，建立思维体系的一项重要内容，是培养学生分析问题和逻辑推理等能力的有效载体。显然告知式的教学方式已经满足不了学生的学习需求，也不利于学生的思维发展。本节课的重点是在学生的合作交流中完成公式的推导，在直观感知的基础上，进行推理论证，学生经历“再创造”的过程，体验数学发现和创造的过程，激发学习主动性，增强求知欲，思维积极主动参与。

2.设置合适的问题，促进学生思维的深度参与。

基于数学学科核心素养的教学活动应该把握数学的本质，提出合适的数学问题，引发学生思考与交流，形成和发展数学学科核心素养。以问题为驱动组织课堂教学，能够激发学生的学习热情，培养学生分析问题和解决问题的能力，增强学生自主学习的能力。本节课紧紧抓住学生认知规律，设置合适的“问题串”，引导学生主动思考，启迪学生思维。本节课的核心问题为：能否将未知的问题转化为已知的问题？能否完成证明？几个问题难易适度，重点突出，提高了学生思维的积极性和有效性。在解决问题的过程中，学生获得深度学习的经历，从而能够将教材知识的逻辑结构转化为自己的认知结构。

3.开展有效的数学探究，促进学生数学核心素养的提升。

数学建模活动与数学探究活动是高中数学课程的主线之一，新教材中增加了很多探究，教师进行教学设计时可以围绕这些探究活动，设计好具体的数学问题，让学生开展自主探究、合作研究并最终解决问题。这样的探究学习不仅可以转变学生的学习方式，让学生经历独立思考、自主学习、合作交流等过程，还能激发他们学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，促进学生实践能力和创新意识的发展。本节课围绕柱、锥、台、球的体积这一知识主线，立体几何中的降维、图形“割补”、数形结合这一方法主线以及转化、类比的思想方法主线，结合“探究与发现”，精心设计了4个探究活动，环环相扣、层层递进，难度不断增加，学生探究欲望逐渐增强，在学习基础知识的同时，又揭示了数学本质，从而达到突出重点、突破难点，提升的学习的有效性。在探究活动中，学生通过解决具体问题，积累数学活动的基本经验，从而发展自身的数学核心素养。