体悟知识生成，助推学生深度学习y=ax2 的图像和性质”为例——以“二次函数

江苏师范大学附属实验学校 陈庆来

基于深度学习的课堂教学，教师应该在理解教材、了解学生的基础上合理设置教学内容，让学生通过数学活动体悟数学知识的生成。在“二次函数y=ax2的图像和性质”的学习中，可以通过创设合适的问题情境，引导学生回顾学习一次函数的历程，引导学生类比探究二次函数，通过描点、列表、描线不断进行深度学习，领悟二次函数y=ax2的图像和性质。

一、复习回顾，引入新知

学生已有的知识和学习经验是学生接受和理解新知的基础。初中阶段的函数模块主要分为一次函数、反比例函数和二次函数三部分。因此，通过回顾类比学习一次函数所获得的知识、方法、技能和活动经验，能够促进学生明晰二次函数的学习历程，为本节课的学习搭好“脚手架”和“指南针”。

问题1：上节课我们学习了二次函数的概念，类比一次函数的学习过程，你认为二次函数接下来要研究什么？研究的一般步骤和方法是怎样的？

展示一次函数研究过程：概念→图像→性质→应用。

问题2：如何研究二次函数y=ax2+bx+c的图像呢？谈谈你们的看法。

问题3：一次函数y=2x+3 的图像如何平移可以得到y=2（x+2）+3 或者y=2x+5 的图像呢？

类比一次函数y=kx+b的学习，部分学生认为应该先学习函数y=ax2+bx，理由是一次函数中是先学习函数y=kx的图像和性质；还有部分学生认为应该先学习函数y=ax2的图像和性质，之后再通过平移变换再学习二次函数y=ax2+c的图像和性质。

二、合作交流，理解新知

学习本节课的画二次函数y=ax2的图像前，很多学生认为画函数图像仅需要列表、描点、连线，而对于如何列表、表格中自变量x及函数值y的取值与图像和解析式之间的关系没有深入地思考，不能做到从数到形的理解，这样的认知能力会导致学生在描点后直接用线段连接所描出的点。本节课的教学中，我们通过让学生分析三种图像的错误之处，引导学生探究其错误原因，经历数学知识的产生和发展过程，由数定形，具身感悟数形结合思想。

探究1：以下三个图像可不可能是二次函数y=x2的图像？请说明理由。

生：二次函数y=x2的y值都是非负数，因此二次函数y=x2的图像不会经过第三、四象限，所以图1 不是。

图1

生：当y=1 时，x可以取负数，因此图2 中的图像不完整。

图2

图3

师：我们可以猜想一下二次函数的图像上是否有对称点呢？我们在列表时需要注意什么？

生：除原点外，取横坐标互为相反数的点，如（1，1）和（-1，1），（-2，4）和（2，4）。

学生了解画图像的一般步骤：列表、描点、连线，但是有的学生不知道该选取哪些点、选多少点。通过对这三个图像的思考、交流活动，学生可以初步了解二次函数在列表时如何取值，能结合表达式的特征对图像进行初步的分析，同时对学习二次函数y=x2的图像与性质充满了期待。

例1：画出下列二次函数的图像。

x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …

通过几何画板展示画图的过程，能让学生直观地观察出图像特征，整体感悟二次函数性质，引导学生从表格、表达式、图像三个方面来进行深度学习，深入研究二次函数y=x2的图像和性质。

三、操作思考，应用新知

夸美纽斯在《大教学论》中指出：“假如我们掌握了任何学科的要点，次要的细节便容易知道了。”在课堂中理解和落实核心概念是数学教学中应当始终把握的一条主线。学生明晰了研究二次函数y=x2的数与形之间的关系，利用新的学习经验去解决问题，对于理解新知、内化新知都是非常必要的，因此我们让学生完成以下练习。

练习1：用描点法画二次函数y=-x2的图像，并思考函数y=x2的图像与函数y=-x2的图像有什么共同特征？

练习2：在平面直角坐标系中，画出下列函数的图像。

师：请同学们思考这位同学的观点，并举例验证是否正确。

师：结合函数图像，你能说出函数值y与x之间的变化规律吗？

二次函数y=ax2的图像是一条抛物线，抛物线的顶点在原点、对称轴是y轴。

当a>0 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；

当a<0 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。

生：当a>0 时，有最小值y=0，当x<0 时，函数y随x的增大而减小；当x>0 时，函数y随x的增大而增大。当a<0 时，有最大值y=0，当x<0 时，函数y随x的增大而增大；当x>0 时，函数y随x的增大而减小。

先引导观察图像特点，数形结合探究函数性质，再根据表达式适当验证，做到会看、会想、会用，真正提高分析问题、解决问题的能力。

四、巩固练习，应用新知

通过三道精选练习，引导学生借助二次函数图像去观察，进一步领悟数形结合的魅力，让学生在问题解决中学会综合运用所学知识，进一步提升分析问题、解决问题的能力。

1.函数y=3x2具有的性质是（ ）。

A. 图像在第一、三象限

B.y随x的增大而增大

C. 图像的对称轴是y轴

D. 无论x取何值，y总是正的

2.若点M（x1，y1），N（x2，y2）是二次函数y=-2x2图像上的两点，且x1＞x2＞0，则y1与y2的大小关系是（ ）。

A.y1＞y2B.y1＜y2

C.y1≥y2D.y1≤y2

3.如右图，四个二次函数的图像分别对应的函数表达式是y=ax2，y=bx2，y=cx2，y=dx2，则a，b，c，d之 间 的大小关系为_。

在本节课中，引导学生利用学习一次函数、反比例函数的图像和性质的经验、能力去探究二次函数的图像与性质，通过想一想、画一画、看一看、说一说、练一练等活动，充分调动学生的学习积极性，知其所以然，注重知识的生成过程，使学生在领悟二次函数的图像和性质的同时，进一步提升了数学学习能力。