探究高中数学新教材中互补角的应用问题

2021-08-31江苏省南京市临江高级中学乐晓梅

数学大世界 2021年19期

江苏省南京市临江高级中学乐晓梅

2020 级高一是苏教版数学新教材使用的第一个学年，教师需要学好新课标、用好新教材，发现新教材中变化的方面，充分领悟编者的意图，从而更好地为教学服务。三角形是所有几何图形的基础，本文主要探究通过隐含的互补角，利用正、余弦定理解决三角形问题，在教学活动中发展学生的数学运算素养，进一步提高学生的数学思维品质。

一、运用互补角证明三角形中线长公式

图1

这道例题出现在余弦定理这一节，因为涉及边的平方形式，等式结构特征明显，很容易让学生想到在三角形中运用余弦定理，又因为这些边分布在两个三角形中，所以分别在△AMB和△AMC中利用补角的余弦值相反，即cos ∠AMB=-cos ∠AMC。

二、运用互补角证明三角形角平分线定理

图2

学生活动1：你能用平面几何的方法来证明这个结论吗？

与边角有关，想到面积，探究面积法：

学生活动2：如果这个角平分线是外角的，会有什么结论呢？教材在95 页思考运用部分第9 题，为学生创设了活动平台。通过这些探究活动，让学生发现问题、探究问题和解决问题的能力得以提升。

图3

为了巩固补角关系在图形中的应用问题，编者在习题中设计了多个问题。

三、运用互补角求证四边形中的相关问题

1.平行四边形中对角线和边的关系

学生分析：根据式子结构特征，出现边的平方，易想到余弦定理，但三角形较多，要分别选择以AC、BD为边的三角形，我选择△ABC和△BCD：

图4

△ABC中，AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos ∠ABC，

△BCD中，BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos ∠BCD，

∠ABC与∠BCD互补，即cos ∠ABC=-cos ∠BCD，两式相加即可得证。

余弦定理只能在三角形中使用，如何将四边形转化为三角形是关键，对四边形进行分割会出现多个三角形，选择哪些三角形又是一个关键点。在问题探索中加强了学生的分析能力。

2.圆的内接四边形中求值问题

探究拓展1：教材89 页第12 题。

（1）如图5，圆O的内接四边形ABCD，其中，AB=2，BC=6，CD=DA=4，求cosA的值。

图5

（2）已知圆的内接四边形ABCD，其中，AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，求cosA的值（用a，b，c，d表示）。

学生分析：连接BD，分别在△ABD和△BCD中利用余弦定理计算BD2，根据∠A与∠C互补，得到cosA=-cosC，两式相减即可得证。

这道题第一问由具体四边形出发，让学生探究。在前面例题的基础上，学生很容易想到分割四边形放到三角形中，再由之前的补角应用，很容易算出数值，在此过程中，学生分析问题的能力、数学运算素养得到进一步发展。第二问是新增内容，由特殊到一般，比较抽象，但在第一问铺垫的基础上，很容易发现还是分别在△ABD和△BCD中利用余弦定理计算BD2，根据∠A与∠C互补，得到cosA=-cosC，两式相减即可得证。这也是数学上常用的方法，特殊化探究出一般结论。

探究拓展2：教材105 页复习题探究拓展第10 题。

（1）如图6，在圆O的内接四边形ABCD中，AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。