构建“数学模型”，激发学生“模型应用”意识

江苏省如皋市如城实验小学 庄小丽

“模型”是人类认识世界的基础。在小学数学教学中，教师要引导学生建构“数学模型”，通过模型的建构，激发学生的“模型应用”意识。什么是“数学模型”？广义上来说，一切的数学概念、公式、方程等算法系统都是数学模型。狭义上来说，只有那些能反映具体事物的数学关系结构才是数学模型。建构数学模型，能让学生有效地掌握建模方法，培育学生的模型思想。教师要引导学生经历数学模型的建构、完善过程，引导学生进行修正和模型的应用。

一、模型准备：形成学生模型建构内驱

从过程上看，数学模型的建构一般可以分为“模型准备”“模型假设”“模型求解”“模型应用”等。其中，模型准备是模型建构的基础。在模型准备的过程中，教师要引导学生从问题情境中提炼出相关信息，并进行有意识的简化，从而为模型猜想、模型假设、模型提出等奠定坚实基础。模型准备要激发学生的模型兴趣，调动学生模型建构的积极性，让学生产生模型建构的内驱力、向心力，形成模型建构的积极心向。

在模型准备过程中，教师要了解学生的原有模型结构，把握学生原有的模型认知，从而让模型准备能切入学生数学模型建构的“最近发展区”。教师不仅要探寻学生已有的数学模型结构，更要探寻学生的已有认知，要强化学生的模型意识，激发学生的模型建构兴趣。比如，教学《小数的意义》这部分内容，探寻学生的已有模型结构，我们发现，学生已经初步认识了分数的意义，建构了分数的简单模型。为此，我们在教学中从两个方面准备：一是从学生的分数模型结构出发，让学生将新旧知识链接起来、嫁接起来；二是从模型建构的外在操作、工具等入手，通过引导学生画图、涂色等，引导学生认识到小数的表示方法。通过画图、涂色等操作，让学生形成小数的可视化表象，增强学生对小数意义的直观认知。在这个过程中，学生会积极主动地调动自身的分数概念模型，并将其与小数的意义联系起来，从而形象化、逻辑化、层次化地建构小数意义的数学模型。学生只有认识到小数与分数之间的关系，才能深刻感悟到“小数就是不带分母的十进分数”。

模型准备是学生模型建构的基础。在小学数学教学中，教师一方面要引导学生准备相关的模型建构素材、资源等，另一方面要激活学生的模型建构已有知识，激发学生的模型建构心向等。只有做好模型建构的充分准备，才能引导学生有效地进行数学建模。在这个过程中，让学生自主建构数学模型，培养学生的模型建构力。

二、模型猜想：形成学生模型建构力点

数学模型的建构，应当以渗透、融合等方式展开。在小学数学教学中，教师应当引导学生用数学化的眼光来观察，用模型化的思想来考量，用一般化的思维来概括，用结构化的视角来感知，用系列化的体例来强化，用显现化的方式来表征等，从而激发学生的模型猜想。在小学数学教学中，教师要引导学生敢于猜想、善于猜想、乐于猜想，要引导学生经历从“境”到“模”的过程。

比如，教学《乘法分配律》这一部分内容，学生已经掌握了加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律等相关模型，并且经历了这些模型的建构过程。为此，我们在教学中给学生提供了丰富的素材，引导学生从多个生活原型中进行数学提炼，并进行简约化处理，从而提出相关的模型猜想。有学生用文字来表达这种猜想，如“（爸+妈）×我=爸×我+妈×我”，有学生用图形表示，如“（△+☆）×□=△×□+☆×□”；还有学生用符号来表达，如“（a+b）×c=a×c+b×c”，等等。尽管不同的学生基于各自的模型视野提出了不同的模型猜想，但却都表征了“乘法分配律”的意义。在学生模型猜想的基础上，教师引导学生进行模型的验证。学生举出了很多的例证，从各个层面对模型进行验证，从而有效地建构了数学模型。这个过程不仅促进了学生的“模型猜想——模型验证”等数学学习方式的形成，更培养了学生将现实问题抽象成数学模型并有效解决的能力。

学生的数学表达能力反映了学生对数学模型的认识。在小学数学教学中，教师要正视学生的模型猜想差异。在模型建构的过程中，有学生可能处于“悟模”的阶段，有学生可能处于“成模”阶段。引导学生从生活原型中抽象、提炼、概括、建构成数学模型，有助于培养学生的建模能力。

三、模型求解：赋予学生模型建构意义

学生建构数学模型，从最一般的意义来说，有两个层面的内容：其一是从生活原型过渡到数学模型，其二是对数学模型进行意义赋予，也就是让学生认识到数学模型的意义和价值，为学生的模型应用奠定基础。从数学模型过渡到生活原型的过程，就是模型求解的过程。这个过程能深化学生的认知，丰盈学生的经验，让学生在生活中形成“数学的眼光”和“数学的大脑”。

模型的求解是一个从数学模型到现实原型的意义赋予、意义建构过程。只有链接学生的生活原型，才能让学生认识到数学模型的意义和价值，才能让学生理解数学模型的具体应用。从数学模型向生活原型的回溯，从某种意义上说，就是数学模型的求解过程，就是数学模型的现实化、意义化的过程，这个过程是生动的，也必定能促进学生对数学模型更为深刻的理解和把握。

四、模型应用：激发学生模型建构创新

学生建构数学模型的过程是一个比较复杂并且极富挑战性的过程。在小学数学教学中，教师不仅要引导学生建构数学模型、猜想数学模型、求解数学模型，更要引导学生进行模型的实践应用，让学生在实践中进行模型建构的创新。模型蕴含着相关的、丰富的数学思想、方法，只有通过模型的应用，才能逐步地显现、敞亮开来。

模型不仅具有数学理论的价值，更具有实践的价值、工具的价值等。在数学教学中，教师要引导学生将数学模型作为分析、解决问题的工具，让模型成为学生解决数学问题的载体、媒介。数学模型具有一种功能，能促进学生的自主学习。比如，教学《间隔排列》这一部分内容，在引导学生建构了数学模型之后，我们呈现了学生生活中的诸多事例，如电线杆与间距、锯木头中的间隔排列、楼层中的间隔排列，等等。为解决这些实际生活中的问题，我们在教学中有意识地引导学生应用“一一间隔”的数学模型来观照、解释现实生活中的问题，让现实问题原型与数学模型相匹配，从而让学生应用数学模型解决现实问题。如果说建构数学模型的过程是从“多”到“一”的过程，那么模型的应用就是从“一”到“多”的过程。通过数学模型的应用，培养学生将数学知识生活化的能力。

数学模型具有本质性的思想，能让学生对数学知识内在的思想方法、本质特点等形成更为全面、深刻的理解。数学模型的建构，应当以渗透、融入等方式为主。建构数学模型的过程，有助于开阔学生的数学视界，让学生超越素材、资源、情境等的表象，感悟到数学本质。数学模型的建构有助于学生数学学习力的提升，有助于学生数学核心素养的发展。