基于APOS理论《完全平方公式》的教学设计

2021-08-28李英

广东教学报·教育综合 2021年85期

李英

【摘要】关于怎样让学生理解好完全平方公式，如何进行有效教学，是我们中学教师一直在研究的话题。本文以 APOS 理论为指导，设计了完全平方公式的新教学模式，尝试以APOS理论为突破口，进行完全平方公式教学的有效性研究。

【关键词】完全平方公式;APOS理论;教学设计

APOS理论是关于数学学习过程的以建构主义教学思想为指导的理论，理论的定义包含“Action、Process、Object、Schema”四个阶段，这四个阶段体现了数学知识是如何建构的，更利于学生学习。在数学公式的教学过程中主要采用两种形式：原理至例子、例子至原理，后者是一种发现式的学习方式，与建构主义的学习理论是相符合的，所以本文主要是研究如何将APOS理论运用至《完全平方公式》的教学上去，探究APOS理论对于《完全平方公式》教学的促进作用。

一、操作阶段

操作阶段是学生构建数学概念知识图示的重要基础阶段，将学生原有的知识框架以及分析模式与现有问题核心的数学知识进行进一步的联系，构筑初期的感性认识。

教学设计：

一个皇帝准备奖赏两个将军。而这两个将军现在都各自已经拥有了一块正方形的土地，其边长是a米。其中一个将军对皇帝说，我想请求您给我一个正方形封地，它的边长为b米。另一个将军说：“我只需要每一边再多给我b米”国王很困惑，于是问道：你俩的要求不是一样吗？

师生活动：教师通过PPT来展示故事，学生读题和思考，计算，再比较两者。

设计意图：将枯燥的数学问题纳入有趣的故事中，以此来提高吸引力，并思考如何使用数学知识来解决实际的问题，感受数学中蕴含的智慧，增强学生学习数学的兴趣。

二、过程阶段

此阶段是对操作阶段解决的问题及其特性进行总结和反馈。由此，学生需要进行进一步的抽象概括，总结相应式子的特点，提升学生自身的思考能力。在这一个过程当中，教师应当根据学生自身的理解能力和问题解决的情况做出适当的引导，促使学生对此阶段之前的活动内容进行反思。

教学设计：

活动一：发现公式

作图对比面积大小。说说怎么样才能让两位将军的面积相等？

从图比较的过程中发现（a+b）²=a²+2ab+b²

师生活动：学生通过PPT上展示的封地面积图回答问题，同时教师引导学生思考图形的几何意义，通过观察、思考、对比列出式子。

设计意图：从土地面积计算入手，将完全平方公式引入，让学生学会运用几何图形解析代数运算和公式。

活动二：代数角度推导公式

师：请同学们利用我们之前所学的知识填空并回答下列问题？

（1）（p+1）²=（p+1）（P+1）=

（2）（m+2）²=

2.观察上面式子，回答下列问题：

a.等式左边有什么相同的特点？

b.计算出的结果有相似之处吗？

3.根据上面的规律你能直接写出下列式子的结果吗？

（a+b）²=

换元拓展

师：等于什么？可否利用上面的公式表示出来？

师：你能找出（a+b）²=a²+2ab+b²、（a-b）²=a²-2ab+b²这两个公式的共同点与区别吗？

师生活动：让学生观察算式并独立思考，进行分组交流、讨论总结出算式特点，并总结公式。

设计意图：通过具体到抽象的这样一个过程，来加深学生的认识，也符合我们所说的“最近发展区理论”，在已学过知识的基础上，让学生自主观察、自主探索的这种“观察与计算”的任务逐步推进、从易到难，可满足学生的不同学习需要，也利于引导学生开展实践探究。积极地开展思维活动，寻求算式两边的联系，从而找到“完全平方式之间的结构特征”。

三、对象阶段

对象阶段的个体，具备有将“运算过程”看作一个完整的部分进行转换的能力。而此过程则变成了他的一种心理对象。此时的个体可以在各种相关联的数学运算中实施和操控这一对象。

教学设计：

例1：运用完全平方公式计算。

2.运用完全平方公式思考并计算：

（1）99²（2）103²

师：你能用几何图形表示他们的意义吗？

3.运用完全平方公式计算。

师生活动：教师要展示例题，让学生自主思考、计算并回答问题，教师点评。

设计意图：对学生来说，掌握乘法公式是怎么来的，如何计算的，以及它们之间的不同，是较难的事情，因此在平常练习中，需要联系已经学习过的公式，对做题中出现的错误多思考总结，以加深学生对公式结构特征的理解，同时联系公式的几何意义，为后续学生图式阶段的发展做好铺垫。

四、图式阶段

数学中的“图式”是一种认知框架，由过程、活动、对象和相关知识的图式组成。它的功能和特点是决定刺激是否属于这种模式，并做出不同的反应。