导数在物理学中的应用

韩卫卫 谢丽娜

（[1]洛阳职业技术学院 河南·洛阳 471000；[2]平顶山职业技术学院 河南·平顶山 467000）

1 利用导数求变化率

导数作为高等数学的基本概念之一，在许多实际问题中，只要从数量上研究变量的变化速度的，在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等等。文献[1]通过空间关系的瞬时运算、守恒定律的微分运算给出了导数的物理应用。本文中首先利用导数给出某些物理量的变化率。

由文献[2]可知

1.1 利用导数求瞬时速度

但是，当物体做变速直线运动时，它的速度随时间变化而变化，此时表示时刻从到这一段时间内的平均速度，即

上面式子中建立了函数值增量与自变量增量之比的极限，根据导数定义可知物体做变速直线运动的在某一时刻的瞬时速度为。

在上面的讨论中，我们看到速度“变”与“不变”的相互转化。在整段时间内，速度是变化的，但在自变量的改变量很小的情况下，速度变化很微小，这时可近似地“以匀代变”，在自然科学和工程技术领域中，诸如电流强度、角速度、线密度等概念，都可以归结为这种思想体现在下面物理量的变化率上。

1.2 利用导数求角速度

1.3 利用导数求加速度

1.4 利用导数求物体运动速度大小和方向

已知抛射体的运动轨迹的参数方程为

例4已知抛射体的运动轨迹的参数方程为

求抛射体在时刻的运动速度的大小和方向。

解：先求速度的大小

由于速度的水平分量为

铅直分量为

所以抛射体运动速度的大小为

再求速度的方向，也就是轨迹的切线方向。

1.5 利用导数求电流强度

1.6 利用导数求电压关于电阻的变化率

1.7 利用导数求冷却速度

解：水瓶中水温下降的速度为

2 利用导数求最值

本文中继续利用导数求某些物理量的最值。

对于实际问题，若在一定区间内有唯一驻点，且知最大(小)值一定存在，而且一定在定义区间内部取得，那么可以不必讨论是否为极值，就可以判断该点为最大（小）值。

3 结束语

从上面的8个实例中，我们可以看出很多物理量的计算都需要使用到导数，因此导数在物理教学中是非常重要的。为了能有效地建立物理和数学之间的联系，这就需要教师在数学的教学工作中，适当地穿插物理模型，让学生了解导数的来源，体会导数的本质，学会用数学的思想方法去分析和解决物理问题，而在物理的教学过程中，注意对实际问题抽象、简化，用数学语言表示，然后利用导数对实际问题进行求解。开展数学建模教学可以培养学生的综合应用数学知识和方法进行推理、分析、计算的能力，需要反复应用数学知识及数学思想对数学问题进行分析、推理和计算，可以培养学生的创造能力、想象能力、洞察能力和数学语言的表达能力，可以培养学生的团队合作能力，整体上提升学生的数学素养和综合素质，所以，利用数学建模的方式可以把数学思想和数学方法应用到实际问题中，提升学生应用数学知识、方法解决实际问题的能力。