函数图形搭台 代数推理唱戏

赵凡

5【摘要】锐角三角函数知识是初中数学学习的重要内容，它对学生的函数知识和代数知识都有很高的要求.学生只有学会用函数知识建构图形，科学运用代数知识推理，才能够灵活掌握知识，提高数学成绩.学生通过对锐角三角函数的观察、推理、想象，能更好地进行归纳和猜想，体会数学知识，提高学习能力.教师要引导学生在锐角三角函数学习中深化函数思想，重视图形分析，把握知识本质，提高思维能力.本文主要以“锐角三角函数”为例探究了函数图形和代数推理相结合的方式，促进学生学会数学建模，理解知识.

【关键词】初中数学;函数;代数;锐角三角函数

课程标准指出，在数学教学中，教师要深化函数思想，通过数形结合的方式引导学生主动思考和探究，促进学生理解知识.学生积极探索各种数量关系，分析数学本质，了解知识的来龙去脉可以建构知识框架，强化数形结合思想，在体验中理解知识.在学习“锐角三角函数”时，教师要引导学生主动探究锐角与数值之间的对应关系，学会建构图形，重视分析图形特点，通过观察和体验的方式进行逻辑分析和推理判断，实现对知识的理解和掌握.通过函数图形和代数推理相结合的方式，学生会搭建知识模型，提高探究能力.

一、搭建函数图形

（一）主动搭建图形，理解函数概念

在传统的“锐角三角函数”教学中，教师往往采用平铺直叙的教学方法，让学生反复朗读，背诵相关概念和公式，从而促进学生进行知识探究.这种教学方法并没有使学生进行思维发散和图形建构，他们只是消极地接受知识，背诵已经形成的函数概念和函数公式.这种单一、呆板的教学方式不利于学生理解知识.教师要带领学生通过动手操作和实践的方式绘制三角形，探究三角函数概念形成的过程，使学生在分析和推理中理解知识.教师可以组织学生绘制直角三角形，并带领学生通过探究图形的方式解释三角函数概念产生的思维过程，使学生在动手搭建和绘图中理解函数概念，在对图形的观察和分析中理解概念内涵，深化认识.绘图时，教师可以让学生先绘制一个30°的∠A，在角的边上任意取一点B，做点B的垂线，与另一条边交于点C，这样就形成了一个Rt△ABC.有了图形作为推理和猜测的平台，学生的思维会变得更加形象，他们对知识的理解也会更客观.

（二）重视直角三角形知识的探究

锐角三角函数知识的学习需要以直角三角形知识为基础，学生只有了解了直角三角形知识，才能够更好地理解锐角三角函数.通过对直角三角形的观察，学生会更好地体会三角形的边角关系，在观察中感受知识，在分析中理解知识，体会数形结合思想.在对直角三角形的分析中，学生可以体会到直角三角形除直角外的五个元素之间的关系，认识三边之间存在的勾股定理关系，体会除直角外的另外两个角之和为90°.通过动手绘制直角三角形，学生会对这些关系和元素形成更深刻的理解和认识.学生在观察中会看到，在直角三角形中，当角确定时，边的比值也就确定了;反过来，如果边的比值确定了，那么角的大小也确定了.在图形的帮助下，学生会运用数形结合思想理解概念，进行推理论证，简化计算过程，学会科学运算.学生在画图分析中会结合具体的直角三角形进行分析判断，感知角与边的关系，理解函数知识.

（三）结合实际生活情境

融入生活的数学知识更容易让学生理解.教师要促进学生融入生活情境，产生直观体验和感悟.教师要鼓励学生在数学学习中利用生活情境来感悟和分析，从生活情境中发现问题，进行数学推理.生活中的现象更加直观、具体，有利于学生主动想象和联想，从而在实践中分析和理解知识.例如，在本课的学习中，教师可以为学生创设如下生活情境：为了满足线上学习的需要，住在1楼的小明家和住在2楼的小刚家都需要重新安装网线.在网线安装过程中，工作人员在一楼搭起了两个梯子，直接将网线通到小明和小刚家的窗户.请判断一下哪个梯子更陡，如何用数据做出更准确的判断？生活情境会让学生用数学眼光观察世界，从而主动猜想和思考，学会从数学角度分析原因.结合生活情境，学生会认识到判断哪个梯子更陡时，也就是分析梯子与地面的夹角哪个更大.学生会将生活中的具体情境抽象成几何图形，把探究的问题简化.学生在思考中会认识到，角度的大小与楼层的高度和梯子与墙面之间的水平距离的比值有关，比值越大，梯子越陡.通过数形结合的方式，学生可以灵活转化知识，既拓展了思维空间，又有利于理解知识.

二、运用代数推理

（一）推理图形范围内的三角函数值

在数学知识的探究过程中，教师要充分调动学生的主动性，引导学生通过动手实践和体验理解知识，促进学生在动手中学会分析，并通过主动感知的方式理解知识.在实践中，学生的思维会快速运转，积极进行推理判断.锐角三角函数知识需要学生通过推理和分析来获得，例如，在课堂伊始，教师可以鼓励学生画一个∠A为30°的直角三角形和一个∠A为50°的直角三角形，三角形边的长度不限制.画好图后，教师可以鼓励学生量出三角形三条边的长度，每一名學生应该都是不一样的.之后，教师组织学生进行计算，分别用直角边a、b来比斜边c.当学生计算出结果后，教师可以组织学生相互比较他们的数值.学生会发现，他们绘制的直角三角形的边长是不同的，但是得到的比值是一样的.有了这个动手绘画和计算的过程，学生就大胆猜想，改变∠A大小时，相应的三个比值应该也是改变的.这样，学生就会对∠A为50°的直角三角形进行测量和计算，得出具体的数据.通过动手绘画和计算，学生学会了推理和判断，在逻辑思考中掌握了三角函数正弦、余弦、正切的计算方法，并从感性认识上升为理性认识，提高了对知识的理解能力.学生通过推理和计算形成了客观性理解，激发了探究知识的主动性，发挥了潜能.

（二）推理真实情境中的三角函数值

教师以真实情境中的数学知识带领学生进行推理、分析会激发学生的探究欲望，促进学生认识到数学知识在生活中的实用性，从而主动分析和思考，参与推理判断过程.教师要引导学生观察真实情境中的数学，并通过推理的方式进行逻辑运算，拓展思维.例如，教师可以引入问题：意大利比萨斜塔的塔顶中心点偏离垂直中心2.1米，1972年发生地震，这座高54.5米的斜塔在大幅度摇摆后中心点偏离中心线5.2米.如果要你根据这些信息，用塔身中心线与垂直中心线所成的角为θ描述斜塔的倾斜程度，该如何表示？在探究中，学生会融入真实的情境，主动质疑，积极思考，产生探究欲望和主动性.学生会通过推理的方式把真实情境中的问题转化为数学知识，利用锐角三角函数知识解决问题.学生会在大脑中画出一个直角三角形，使中心线成为一条直角边，偏离的5.2米成为另一条直角边，而倾斜的塔身为斜边.这样就会把问题通过三角函数的方式表示出来.在推理中，学生会计算出相关的数值，运用数学计算的方式推理三角函数值.教师通过这种方式，可以提高学生对知识的灵活应用能力.