探究函数的零点问题

郑康源

【摘要】函数的零点问题是高中数学的重要知识点，同时也是高考的高频考点，在2015年至2017年以及2019年的高考全国卷中都有出现，全方位地考查学生函数与方程、数形结合、分类讨论、化归转化等综合能力。学生在处理函数零点问题中，因函数的零点问题常常以压轴题的形式出现，常常困惑和力不从心。函数的零点问题既是重点，也是难点。本文围绕函数零点问题的处理方式进行反思，归纳总结，牢牢地把握教学重点，突破教学难点。

【关键词】高中数学;数形结合;分类讨论;化归转化;核心素养

人教版高中数学课本对零点概念定义是，把函数f（x）=0的实数x叫做y=f（x）的零点，也是函数y=f（x）的图像与x轴交点的横坐标，表示如下：

函数y=f（x）有零点?方程f（x）=0有实数根?函数y=f（x）的图象与x轴有交点。

函数的零点问题又可以分为不含有参数和含有参数两大类，前者较为简单，后者常常以压轴题的形式出现，分类繁琐，需要较强的数学基本功底。

一、不含有参数的零点问题

1.因为不含有参数，所以提问的方式为函数有多少个零点。最直接的方法是令函数f（x）=0解方程，求出方程的解，即可得到函数的零点。

例1：函数f（x）=xcos x2在区间[0，4]上的零点个数为 （     ）

解析：（1）当x=0时，f（x）=0.又因为x∈[0，4]，所以0≤x2≤16.因为5π<16<，所以函数y=cos x2在x2取，，，，时为0，此时f（x）=0，所以f（x）=xcos x2在区间[0，4]上的零点个数为6。

2.当令函数f（x）=0是一个超越方程，无法直接求解时，可转化为两个（较简单的）函数的交点问题，再结合图像进行判断，需要注意的是函数本身可以通过适当的变形，使得转化成两个函数的草图更容易作出。

例2：函数f（x）=2sin xsin-x2的零点个数为____.

解析：f（x）=2sin xsin-x2=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2，由f（x）=0，得sin 2x=x2.设y1=sin 2x，y2=x2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示。由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f（x）有两个零点。

3.我们也可以借助函数的性质和零点存在性定理，画出函數大致的图像，得出函数零点的个数。

例3：求函数f（x）=2x+3x零点的个数（   ）

解析：f（-1）·f（0）<0且f（x）=2x+3x在R上是增函数，所以函数零点的个数为1。

总之，不含参数的函数零点问题，函数图像固定，不需要进行分类讨论。采用解方程求解或者借助函数的性质画出函数图像，即可得出函数零点的个数。

二、含有参数的函数零点问题

对于含有参数的函数零点问题，主要提问的方式有两种。第一种是求参数的取值范围。第二种求函数有多少个零点。我们可借助题目的已知条件对其进行细化。

1.“函数有无零点”型问题

“函数有无零点”问题，即 “方程有解无解”问题。通过参变分离转化为a=f（x），再求函数y=f（x）的值域。当a取值范围为函数y=f（x）的值域时，函数就有零点。反之，如果a取值范围为函数y=f（x）值域的补集时，函数就没有零点。

例4：若关于x的方程22x+2xa+a+1=0有实根，求实数a的取值范围。

解析：由方程，解得a=-，设t=2x （t>0），

则a=-=-=2-，其中t+1>1，由基本不等式，得（t+1）+≥2，当且仅当t=-1时取等号，故a≤2-2.

方程有解，即函数有零点。至于函数有多少个零点，我们无需考究，所以不需要画出其精确图像，只需先参变分离，转化为a=f（x），进而求出函数的值域即可。

2.“函数有多个零点”型问题

函数有多个零点，即方程有多解，需运用数形结合的思想。基本步骤：①转化为两个函数图象交点个数问题。所设计的两个函数必须简便，可以通过求导得出函数变化趋势; ②通过函数的性质或者求导画出函数的图像，看交点个数从而得出零点的个数。

例5：已知函数f（x）=若函数y=f（x）-a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为______.

解析：原问题等价于方程f（x）=a|x|恰有4个根，作出函数y=f（x）与y=a|x|的图象，如图：当x<0时，由-（x2+5x+4）=-ax，得x2+（5-a）x+4=0由Δ=0解之得a=1或a=9（舍），结合图象知a∈（1，2）.

上述例题中，直接将y=f（x）和g（f）=a|x|画出来，再根据已知条件列方程求解，即构造出来的函数一定能通过解析式或求导画出其函数图像。有些题不能一味地讲究参变分离而不顾后果，留参数在左侧，其它项都移到右侧，式子太长可能求导后无法判断导函数符号，所以变形构造函数一定要预估计算量和可行性。

3.“函数有唯一零点”型问题

“方程有唯一解”型问题，可借助函数的单调性和零点存在性定理解决。

例6：设函数f（x）=（x+1）ln x，g（x）=. 是否存在自然数k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k;如果不存在，请说明理由。

解析：当k=1时，方程f（x）=g（x）在（1，2）内存在唯一的根。证明如下：

设h（x）=f（x）-g（x）=（x+1）ln x-，当x∈（0，1]时，h（x）<0.

又h（2）=3ln 2-=ln 8-> 0，所以存在x0∈（1，2），使得h（x0）=0.