基于逆高斯纹理分布的协方差矩阵估计方法

李锐洋,霍伟博,马 巍,程子扬

(1.中国电子科技集团公司第二十九研究所,四川 成都 610036;2.电子科技大学信息与通信工程学院,四川 成都 611731)

0 引 言

在传统的雷达探测中,高斯分布被广泛用来模拟低分辨杂波[1],然而近年来高分辨雷达的应用需求愈发迫切。对杂波特性进行统计分析,发现随着分辨率的提高,相应地距离分辨单元内独立散射点个数就会变小,地/海杂波的统计分布会表现出严重的拖尾性[2]。此时,学者们将杂波建模为复合高斯模型[3-4],可以表示为相互独立的散斑分量与纹理分量的乘积。其中,散斑分量通常被近似为高斯过程,由一个复高斯矢量表示;纹理分量表征杂波的非平稳性,由一个非负的随机变量表示。

为了更精确地描述复合高斯模型以便保证良好的检测性能,大量学者研究了不同纹理分量分布下的目标检测问题[5-9]。当纹理分量为Gamma函数时,对应的分布为K分布[5-6],文献[7]讨论了该分布下的最优和次优检测器。当纹理分量为逆Gamma函数时,通过对参数进行最大似然估计,多维t分布同样较好地拟合了实测数据[8],文献[9]推导了杂波协方差矩阵已知情况下的检测器。在实际工作中,杂波协方差矩阵需要通过估计得到,传统的利用待检测单元周围的样本求平均得到的样本协方差矩阵(sample covariance matrix,SCM)在非均匀杂波环境中估计性能较差。通过对训练样本进行归一化,文献[10]推导出了正则化SCM(normalized SCM,NSCM)。如果假定纹理分量为未知确定参量,可以得到协方差矩阵的渐进最大似然(approximated maximum likelihood,AML)估计[11]。将纹理分量设为已知随机变量时,得到协方差矩阵的最大似然(maximum likelihood,ML)估计[12]。

为了提高非均匀杂波环境中的目标检测性能,基于知识辅助的信号检测方法被广泛研究[13]。利用杂波纹理分量的先验信息,采用逆Gamma分布作为杂波纹理分量的先验分布,文献[14]提出了一种杂波协方差矩阵估计的贝叶斯方法。然而，上述的杂波分布模型对于低擦地角、高分辨杂波的拟合效果较差,近年来一种基于逆高斯分布纹理的复高斯分布被提出,实验表明该分布可以更好地拟合实测杂波数据[15-16]。假设杂波纹理的先验分布为逆高斯分布,文献[17-18]给出了相应的两步广义似然比检测器(generalized likelihood ratio text,GLRT)检测器,文献[19]将其拓展到跨距离单元目标并进行检测性能分析,文献[20]提出一种基于部分参考单元纹理分量空间相关性的目标检测算法。

在本文中,假设复合高斯杂波的纹理分量服从逆高斯分布,采用两步的GLRT检测方法:在假设协方差矩阵已知的情况下推导出检测器,再利用纹理分布的先验信息推导协方差矩阵的ML估计,再利用基于知识的贝叶斯方法估计协方差矩阵,推导最大后验估计(maximum a posteriori，MAP)估计,最后仿真验证了检测算法的性能及有效性。

1 数据及统计模型

假设某雷达单个天线发射的N个相参脉冲串信号为

v(t)=atu(t)ej2πfct

(1)

yn(t)=arv(t-τ)e-j2π(n-1)fdTr

(2)

式中:ar为回波幅度；τ为传输时延；fd为目标多普勒频率。下变频消除fc得到基带信号,采用匹配滤波器h(t)=u*(-t)处理后按等距离间隔采样,多个脉冲排列到一起得到K个距离单元的N×1维数据矢量zk∈CN×1,k=1,2,…,K,遍历每个距离单元,检测问题就是如下的二元假设检验问题:

(3)

式中:z表示待检测单元接收的数据矢量；zk表示周围距离单元的接收数据，k=1,2,…，K；a表示目标的未知幅度；v表示已知的目标导向矢量；n表示由杂波、干扰及热噪声组成的噪声矢量。

对于待检测单元的数据,在Hi假设下服从z|ia,τ,R～CNN(iav,τR),i=0,1,概率密度函数(probability distribution function,PDF)分别为

(4)

(5)

记τ～IG(λ),其中λ表示形状参数。

为解决式(3)的假设检验问题,假设杂波协方差矩阵R已知,对于任意的随机变量τ,正则化匹配滤波器(norma-lized matcher filter,NMF)为渐进最优,对应的判决准则如下:

(6)

式中:γ为恒虚警门限。实际中由于协方差矩阵未知,无法直接利用式(6)进行检测。

2 逆高斯分布下的GLRT检测器

2.1 检测算法

NMF检测器在复合高斯杂波下是一种渐进最优的检测器,属于GLRT检测器渐进极限。而在已知纹理分量分布的情况下,本文给出一种两步的GLRT检测器,即首先假设杂波协方差矩阵已知,推导广义似然比检验,然后代入R的估计量进行检测。

GLRT检验为

(7)

为了简化表达,引入w阶第二类修正贝塞尔函数,定义如下：

(8)

将式(4)及式(5)代入式(7),积分[18]得

(9)

定义

(10)

(11)

2.2 杂波协方差矩阵的ML估计

由文献[13]可知,当纹理分量为随机变量且已知其分布时,可以得到杂波协方差矩阵的ML估计:

(12)

(13)

称为非线性无记忆函数,用来简化积分运算。将式(5)代入式(13)进行化简,从而得到杂波协方差矩阵的ML估计为

(14)

求解式(14)只能通过迭代获得,先产生初始协方差矩阵R(0),利用协方差矩阵的Toeplitz形式,设置为[R(0)]ij=ρ|i-j|,表示协方差矩阵第i行第j列的元素,ρ为一阶相关系数。接下来依次计算R(n+1)=g(R(n),Z)，直到收敛为止,其收敛速度与训练数据K和矩阵自由度N有关,一般迭代2～3次即可收敛。

3 基于知识的杂波协方差矩阵估计

基于知识辅助的检测技术是解决杂波非均匀性的有效方法。通过设定杂波的先验统计信息,对待估计的杂波协方差矩阵进行修正,进而采用贝叶斯方法进行检测。因此,需要给随机变量τ、τk和R分配合适的先验分布。将杂波协方差矩阵建模为随机矩阵,即令R服从自由度为v的复逆Wishart分布[15]:

(15)

(16)

f(t,R|Z)∝f(Z|t,R)f(t)f(R)∝

(17)

式中:∝表示正比于。对τ进行积分,得到

(18)

(19)

对后验分布f(R|Z)的对数求导取零得到式(19)的解,即令

(20)

为了求解式(20)中的最后一项,引入第二类修正贝塞尔函数导数[21]的性质：

(21)

则有

(22)

将式(22)代入式(20),化简整理后得

(23)

(24)

4 仿真实验

本节仿真评估了复合高斯杂波下基于知识的自适应检测技术的性能,在虚警概率Pfa=0.01、蒙特卡罗次数为1 000次的前提下,对比了纹理分量为逆高斯分布时几种协方差矩阵估计方法的精度,随后评估了相应检测器的检测性能。

(25)

图1展示了协方差矩阵的估计误差随样本数变化的仿真图。可以看出,由基于知识的MAP估计方法得到的协方差矩阵最贴近真实的协方差矩阵。而随着样本数的增多,ML估计方法相比于用样本估计的SCM,具有更好的估计精度。

图1 杂波协方差矩阵的估计精度比较Fig.1 Comparison of estimate accuracy of the clutter covariance matrix

下面的仿真验证了不同协方差矩阵估计方法下的雷达检测性能,对比的检测方法有NMF和GLRT检测器。根据文献[17],当纹理分量服从逆高斯分布时杂波功率表示为4(λ+1)/πλ[17],则信杂比(signal to clutter ratio，SCR)定义为

(26)

为了体现杂波的非均匀性,不同距离单元的形状参量λk不再相同,这里取(1,20)间的随机数。

为了直观比较检测性能,图2对比了不同距离单元样本个数(K=16,K=32)时,采用已知协方差矩阵、通过SCM、ML迭代及MAP方法估计的协方差矩阵,再代入NMF和GLRT两种检测器后得出的检测概率曲线。其中，实线表示式给出的检测器,虚线表示式给出的检测器。可以看出,当训练样本数较少时,由于不满足RMB准则,SCM方法的检测性能恶化严重,ML方法相比之下虽然较好,但仍然无法有效检测目标;当训练样本增多后,两者检测性能达到正常水平。而基于知识的MAP方法由于引入了先验信息,在小样本情况下其检测性能也保持较好,且一直优于SCM和ML方法,趋近于已知R时的检测性能。另一方面,GLRT检测器略优于NMF检测器,这是由于GLRT利用到了纹理分量的先验信息,属于最优检测,而NMF适用于任何纹理分量。

图2 不同协方差矩阵估计方法下两种检测器性能比较Fig.2 Comparison of two detectors under different covariance matrix estimation methods

5 结 论

本文针对复高斯杂波环境,以逆高斯分布模拟纹理分量的分布特性,推导了杂波协防差矩阵的迭代ML估计方法,再利用贝叶斯方法,给出了一种基于知识的自适应检测算法,其协方差矩阵由实测数据协方差矩阵与先验信息加权求和得到。利用计算机仿真,对比了文中方法与几种常用协方差矩阵估计方法的精度,随后仿真了NMF和GLRT检测器在不同参数下的检测性能。结果表明,基于知识的检测技术有利用提高非均匀杂波中目标检测性能,且性能的优劣与所获得的先验信息准确度密切相关。