基于连续信任函数理论的鲁棒雷达目标检测方法

杨 威,刘永祥,付耀文,黎 湘

(国防科技大学电子科学学院,湖南 长沙 410073)

0 引 言

目标检测是雷达的基本功能,不仅影响雷达的探测性能,也深刻影响着后续雷达目标跟踪与识别等任务,其鲁棒性决定了雷达应用的成败。雷达目标检测就是在含有噪声的雷达回波中,完成对“目标存在与否”假设的检验判断。鉴于噪声的随机特性以及雷达目标回波幅度随着姿态、频率、极化等多因素影响,雷达目标检测常在贝叶斯理论框架下建模为NP(Neyman-Pearson)问题[1],即将虚警概率限定在一个有限的水平,使检测概率最大化。通过相干或非相干积累，可以进一步提升雷达目标检测性能[2-5]。

实际应用及理论研究中,大多假设雷达目标由多个独立散射体构成,每个散射体的雷达散射截面积(radar cross section,RCS)独立且不变,但位置随机。根据电磁散射理论和中心极限定理,此类目标经线性检波器输出的雷达目标回波幅度服从瑞利分布[6]。对于目标的回波幅度，也有部分学者建模时采用高斯混合分布[7-9]、瑞利混合概率密度函数[10-11]、多自由度卡方概率密度函数[6]、混合伽马分布[12]、混合Gp分布[13-15]。在贝叶斯理论框架下,NP检测的最终依据就是当线性检波器输出电压大于等于某门限,则判定有目标；当输出电压小于某门限,则判定无目标[16-18]。其中,门限值由目标的平均幅度、噪声功率和虚警概率3个参数决定。一方面,针对上述NP检测原理,在雷达对抗领域提出了不少欺骗式干扰策略,即提高干扰源的功率、渐进地诱骗跟踪锁定波束,从而实现战术逃逸[19-21]。另一方面,由于目标回波起伏特性,极可能导致检测方法作出过于自信的决策,从而存在信息损失,如当输入待检测回波幅度观测值很大时,既有可能是目标回波幅度起伏特性导致,也有可能是由外来干扰产生,这种信息在NP准则下是无法进行合理表征的。因此,上述NP方法缺乏检测鲁棒性,在有电子干扰的场景中,其恒虚警特性将受到破坏。对于外来干扰,既可以是先验假设目标之外的外来实体目标,也可以是先验假设目标之外的欺骗式干扰目标,反映此类目标回波幅度特性的平均RCS大于先验假设目标的平均RCS。同时,外来干扰也可以是先验假设噪声之外的噪声,反映此类噪声回波幅度特性的平均RCS小于先验假设噪声的平均RCS,其中先验假设噪声也即建模噪声,可称为模型噪声。

针对该问题,本文利用连续信任函数理论[22-24]在不确定性信息表征方面的优势,严格推导了一种鲁棒检测器,使其同时对模型噪声和外来干扰都具备一定的判断力,体现在可以提供更丰富更准确的决策量化信任度。针对该检测器不存在解析解的难题,提出了一种通过查表进行数值拟合近似的策略。实验结果验证了本文方法的鲁棒性。

1 连续信任函数理论基础

假设一个离散的辨别框架Θ={θ1,θ2,…,θC},其中θc表示第c类假设,C表示总假设数目。经典的贝叶斯理论是将所有的信任(即可能性)分配给上述辨别框架的每一个假设,称之为各假设成立的概率。而在信任函数理论[25]框架中,其信任是分配给辨别框架的任意子集S⊂Θ,如下所示:

(1)

式中:m(·)为基本信任分配(basic belief assignment,BBA)函数。

空集∅上所获得的基本信任质量m(∅)表示外来干扰的可能性,而全集Θ上所获得的基本信任质量m(Θ)表示完全无知的可能性大小。通常,任意子集S⊂Θ所获得的基本信任质量m(S)>0表示假设来自于该子集的可能性,但无法判定该子集中到底哪个假设成立,S称之为焦元。当所有焦元满足嵌套关系时,该基本信任分配函数被称为一致基本信任分配函数。

基于m(·)函数,可以推导得到信任函数bel(·)和似然函数pl(·),三者间满足一一映射关系：

(2)

(3)

式中：任意集合⊂Θ。

在最终输出硬判决时,基于最小投注原理,可以将m(·)函数转换为投注概率函数BetP(·)：

(4)

判决具有最大投注概率的假设成立,其中|S|表示集合S的势,即其元素数目。

这些函数是定义在离散辨别框架Θ内的,但是大部分实际观测空间为连续实数域R。在连续实数域中,基本信任分配函数可扩展为基本信任密度(basic belief density,BBD)函数,假设实数域中所有连续闭区间集合F={[a,b]|a≤b},则BBD函数定义为fF:F→[0,+∞],即mF([a,b])=fF(a,b)。在连续实数域内,相关的信任函数、似然函数与投注概率函数的定义如下所示:

(5)

(6)

(7)

在连续信任函数理论框架内,假设知识由条件投注概率密度函数BetfR[θc](·)表示,其中∀θc∈Θ。文献[25]已经证明,在最小投注概率准则条件下,当条件投注概率密度函数满足单峰特性时,由其可推导得到一个唯一的一致基本信任分配函数,其对应的似然函数见定理1所示。

定理1假设BetfR[θc](·)函数的峰值所处位置为μ∈R,且X=[x,y],当x>μ时,似然函数如下所示：

(8)

式中:γ(t)<μ且BetfR[θc](γ(t))=BetfR[θc](t),γ(t)也被称为t的等投注概率投影。

为论述方便,令t=γ-1(t)。事实上,对于一个单峰条件投注概率密度函数BetfR[θc](·),假设其对应的一致基本信任分配函数为mR[θc](·),则任意实数域上的点观测z∈R,当z=min(z∈X)且min(z∈X)>μ时,或者当z=max(z∈X)且max(z∈X)<μ时,则满足plR[θc](z)=plF[θc](X)。因此,在最小投注概率准则条件下,当获得的点观测z∈R且z≥μ时,其条件观测似然函数为

(9)

当z<μ时,其条件观测似然函数为

(10)

由广义贝叶斯定理(general bayes theorem,GBT),当所有的条件似然函数已知时,其在离散辨别框架Θ上基本信任分配函数为

(11)

实际应用中,不可能获得严格意义上的条件投注概率密度函数BetfR[θc](·),常取为条件概率密度分布函数,即令BetfR[θc](·)=pθc(·)[5]。文献[26-27]对于高斯分布、α-稳态分布等典型的单峰条件投注概率密度函数给出了对应的条件似然函数plR[θc](·)计算公式。但是,在雷达目标检测领域,目标回波幅度随着观测视角、探测频率、极化方式等多因素影响,其起伏模型往往被建模为瑞利概率密度函数：

(12)

2 问题描述与鲁棒雷达目标检测

2.1 问题描述

假设雷达回波幅度观测值为z∈R+,表示检波器输出的电压绝对值,其模型噪声条件观测似然函数值为noise(z)=和真实目标条件观测似然函数值为当两者都极小时或当两者比值接近于1时,外来干扰的可能性或模型噪声与真实目标间的不可区分度都急速上升,给目标检测决策带来了巨大风险。但按照NP准则,当模型噪声幅度的条件概率密度函数和真实目标幅度的条件概率密度函数已知时,给定一个固定的虚警概率,判断观测z是否大于某一个门限,当大于该门限时判断为真实目标,当小于该门限时判断为模型噪声,这种检测方法无法区分外来干扰,在高度不确定的条件下也会给出一个明确结论,缺乏鲁棒性。引起该问题的核心原因在于贝叶斯理论中将所有信任质量赋予辨别框架Θ={θ0,θ1}中的单一元素子集,其中θ0表示模型噪声假设,θ1表示真实目标假设。

如前所述,连续信任函数理论框架可以更好地表征不确定信息。针对目标检测问题,可以将基本信任质量赋予空集表示外来干扰的可能性大小,赋予全集表示真实目标和模型噪声完全无法区分的可能性大小。然而,有效运用连续信任函数理论,必须解决由非对称的单峰条件投注概率密度函数计算如式(8)～式(10)所示的条件观测似然值,最后再利用GBT在离散辨别框架上完成信任函数构造,基于此完成目标检测的软判决。

2.2 瑞利密度函数的条件观测似然值计算策略

prls(η)=2ηexp(-η2)

(13)

图1 标准瑞利概率密度函数曲线Fig.1 Standard Rayleigh probability density function curve

表1 标准瑞利概率密度函数的近似等投注概率对Table 1 Approximate Iso-pignistic points for standard Rayleigh probability density function

(14)

(15)

由式(15)可以得到等投注概率对变换公式：

(16)

(17)

(18)

因此,根据如式(13)和表1所示的标准瑞利概率密度函数的等投注概率表,查询获得t的近似值为

(19)

由此获得近似求和的下限为

(20)

则可完成条件观测似然函数计算。

2.3 基于信任函数理论的鲁棒雷达目标检测算法

依据第2.1节和第2.2节所述,具体算法的伪代码如表2所示,图2给出了该检测方法的结构示意图。

表2 基于信任函数理论的鲁棒雷达目标检测算法Table 2 Robust radar target detection algorithm based on trust function theory

图2 基于连续信任函数理论的鲁棒雷达目标检测器结构Fig.2 Configuration of the robust radar detector based on the continuous belief function theory

3 数值实验分析

基于本文所提如表2所示的步骤1和步骤2,则可以画出任意点观测z∈(0,+∞)对应的条件观测似然函数plR[θn](·)和plR[θt](·)的分布曲线,如图3所示，其中横坐标表示检波器输出的绝对值电压，单位为伏特；纵坐标表示输出电压的概率密度函数值及其对应观测似然函数值的大小，无量纲。由图3可以看出,信任函数理论框架下的条件观测似然函数plR[θn](z)或plR[θt](z)并不等于贝叶斯理论框架下的条件概率密度函数,但根据定理1的假设可以知道,前者是由后者推导得来。

图3 雷达模型噪声和真实目标回波幅度起伏概率密度函数和对应条件观测似然函数曲线Fig.3 Amplitude fluctuation probability density function for modeled-noise and true target and their corresponding conditional plausibility functions

图4 条件化的基本信任分配函数Fig.4 Conditional basic belief assignment function

进一步按照表2所示的步骤3,可以画出这些点观测所对应的条件基本信任分配函数mΘ[z](·),如图4所示。其中，横坐标表示检波器输出的绝对值电压，单位为伏特；纵坐标表示输出电压的基本信任分配函数值的大小，无量纲。由图4可以看出,当点观测极小或者极大时,赋予空集的基本信任质量都趋近于1,即由于模型噪声和真实目标的条件观测似然都很小,意味着此模型噪声和真实目标都不存在的可能性或外来干扰的可能性急速上升。当点观测在模型噪声条件幅度起伏概率密度函数BetfR[θn](·)峰值位置附近时,赋予模型噪声假设的基本信任质量相对最大；当点观测在真实目标条件幅度起伏概率密度函数BetfR[θt](·)峰值位置附近时,赋予真实目标假设的基本信任质量相对最大；当点观测在前述两个峰值之间时,模型噪声与真实目标间的不可区分度又增加,因此赋予全集的基本信任质量达到最大值。由此可以看出,基于连续信任函数理论的雷达目标检测器具有更强大的信息表征能力。

最后按照表2所示的步骤4,可以计算出其对应的条件投注概率值BetP[z](·),如图5所示。其中，横坐标表示检波器输出的绝对值电压，单位为伏特；纵坐标表示输出电压的条件概率值的大小，无量纲。在贝叶斯理论框架下,由于模型噪声和真实目标的先验概率未知,因此不同假设的概率P(·|z)与其条件概率密度函数f(·|θn)=BetfR[θn](·)或f(·|θt)=BetfR[θt](·)成正比。实际应用过程中,NP准则按照基于对虚警概率和检测概率两个指标的需求,合理设定一个门限值Th,当输入点观测z≥Th时,则认定为目标,否则认定为模型噪声。事实上,在现代电子干扰的背景下,采用距离、速度、角度、联合多维度欺骗等对抗措施时,干扰假目标信号的幅度往往大于真实目标的幅度观测,因此在NP准则下很容易被诱骗,其恒虚警(constant false alarm ratio,CFAR)特性也将遭到破坏,缺乏鲁棒性。由图5曲线可以看出,连续信任函数理论框架下得到的投注概率与贝叶斯理论框架下得到的后验概率结果还是有区别的。与贝叶斯理论相比,连续信任函数理论不需要对未知的先验概率进行先验配置,而且图4表明后者具有更丰富的信息表征能力,可以高效表征模型噪声、真实目标与外来干扰的检测不确定性,因此具有更高的鲁棒性。

图5 条件投注概率及贝叶斯后验概率Fig.5 Conditional bet probability and Bayesian posterior probability

4 结 论

本文针对雷达目标检测问题,在连续信任函数理论框架下,提出了一种鲁棒检测器。相比贝叶斯理论框架中的NP准则,新检测器可以更好地区分模型噪声、真实目标、外来干扰等,具有更丰富的信息表征能力。在计算时,该检测器需要求得瑞利概率密度函数的等投注概率投影点,针对其不存在解析解的难题,设计提出了一种数值近似的解算方法。理论分析结果验证了该检测器的鲁棒性。相关检测软决策信息还可以输入后端数据处理模块,如特征辅助的多目标跟踪等。

目前,正在向更广泛的噪声和目标幅度起伏模型推广,包括但不限于高斯混合分布、瑞利混合概率密度函数、多自由度卡方概率密度函数、混合伽马分布、混合Gp分布等；另一方面,未来将利用更多的实测数据,对本文所提检测算法的接收机工作特性曲线进行测试验证,在难以推导得到接收机工作特性特性的解析解时,可通过蒙特卡罗仿真实验方式获取；最后,利用信任函数理论中的融合规则,研究该检测器的积累检测性能也是值得探索的一大方向。