基于SOLO理论的数学语言转换评价

摘 要 数学语言转换是学生从不同角度和不同层次理解与掌握知识本质的过程，其转换情况能正确反映学生的思维水平。用SOLO理论评价学生的数学语言转换水平，能正确描述和分析学生的思维发展层次，帮助学生明晰努力方向和路径，促进学生更好地发展数学思维、提升学业质量、实现学科发展的目标。

关键词 SOLO评价 数学语言转换 思维发展

数学语言一般包括文字语言、图表语言和符号语言三种。小学生在数学阅读、理解或表达时都要把“一种数学语言形式转换成已有认知结构中的学习者本人能理解的数学语言形式，或者从多种不同的语言形式中筛选、组合，最终转换成一种恰当的语言形式”[1]。数学语言转换是学生从不同角度和不同层次理解与掌握知识本质的过程，其转换情况能正确反映学生的思维水平。SOLO理论是香港大学教育心理学教授比格斯总结的一种以等级描述为特征“可观察的学习成果结构”的质性评价方法。这种理论把学生思维由低到高分为前结构、单点结构、多点结构、关联结构和抽象拓展结构”五个层次[2]。用SOLO理论评价学生的数学语言转换水平能正确描述和分析学生的思维发展层次。

一、基于SOLO理论的数学语言转换评价实践

1.用SOLO理论评价文字语言的转换

文字语言就是“经过加工、改造、限定和精确形成的数学化语言”[3]。在数学学科中，文字语言是学生最通用、直白和易于理解的数学语言，不但是呈现数学知识的载体，而且是数学表达和数学交流的媒介，还能起到补充和解释的作用。对文字语言表达的数学信息，学生有时要适当转换才能理解其中的数量关系，并用符号直观表达或抽象推理。用SOLO理论评价学生的文字语言转换水平，有助于教师了解学生对文字语言的理解能力、正确认识学生的抽象思维水平。

【案例1】有一种玩偶，每小盒装4个，要5元;每大盒装6个，要7元。如果要买40个玩偶，可以怎样整盒买？

问题中的数学信息主要用文字语言呈现，学生先要认真阅读，弄清条件和问题之间的联系，在解决问题过程中转换文字语言。按照SOLO理论，学生转换文字语言的结构层次如下。

（1）前结构。学生不会解答或随意列式为40×5=200元、40×7=280元等。不会解答说明学生不理解题意，无法正确转换文字语言;随意列式虽然把文字语言转换为符号语言，但列式错误，说明学生不理解数量关系。

（2）单点结构。学生能正确理解题意，明确某个线索，并根据线索解决问题，但思路单一。学生很容易发现40个玩偶正好是10小盒，要5×10=50元。虽然问题中的数学信息较多，但学生只从中发现明显的倍数关系，思维较简单。

（3）多点结构。学生能发现问题的不同线索，并形成不同的解题思路，但只能孤立分析，不能从整体认识知识结构。学生除了想到只买小盒的方案外，还想到大盒和小盒组合购买方案中的一种情况，如买7小盒、2大盒，要付5×7+7×2=49元。列式迅速、正确，说明学生转换文字语言流畅，但思维不开阔、方法不全面。

（4）关联结构。学生不但能发现问题中多个相关联的信息和线索，而且能灵活解决问题。除单点结构和多点结构方案外，还想到买4大盒、4小盒或者6大盒、1小盒中的一种购买方案。解决问题思路多样并正确，说明学生分析问题思路清晰，把文字语言转换为符号语言流畅，但没能正确决策、优化购买方案。

（5）抽象拓展结构。学生能把数学信息进行有机整合，多角度、多层次地有序分析问题和解决问题（见表1）。

学生列表解决问题的过程是把文字语言转换为图表语言。在转换过程中，学生不但能正确理解数学信息间的相互关系，而且能用符号语言有序列举，还能发现最优化方案：总盒数最少、用钱最少的方案1。

2.用SOLO理论评价图表语言的转换

图表语言是“包含一定数学信息的各种图表、用来对数学对象和数学关系进行描述的直观性语言”[4]。图形、图像或表格比较直观、形象。如果能根据图表语言的直观意义描述图表语言的知识本质，学生对知识的理解和掌握就能由感性认识逐渐上升为理性认识。对图表语言表达的数学信息，学生有时要适当转换才能描述直观模型的意义、揭示空间形式，实现知识的深层理解。恰当应用SOLO理论评价学生的图表语言转换水平，有助于教师了解学生对图表语言的理解能力、正确认识学生的具体形象思维水平和抽象思维水平。

【案例2】说说每幅圖中涂色部分的分数含义，它们有什么共同特点？

问题中的数学信息用图表语言呈现。学生先要仔细观察每幅图，然后用分数表示，再分析每个分数的含义，最后说出它们的共性。学生解决问题离不开图表语言的转换。按照SOLO理论，学生转换图表语言的结构层次如下。

（1）前结构。学生知道每幅图的总份数和涂色份数，但不会用分数表示，只能随意表达，说明他们不理解图表语言或转换图表语言“答非所问”。

（2）单点结构。从左向右观察，第一幅图是把一个物体平均分成4份，涂色3份，用  表示;第二幅图是把一个长方形平均分成8份，涂色5份，用  表示;第三幅图是把一条1米长的线段平均分成5份，涂色3份，用  表示;第四幅图是把6个○平均分成3份，涂色1份，用  表示。学生能正确理解图表语言所呈现的数学信息，根据图形写分数是把图表语言转换为符号语言，但只能就图说图，不能有更多的分数意义联想。

（3）多点结构。学生能结合每幅图形正确说出分数及其含义，甚至能举一反三地想到其他平均分的对象，如由长方形想到正方形、由1米长的线段想到1千克或1升的物体等、由6个○想到12个苹果或20支铅笔等。学生能把平均分的对象延伸为更多物体、图形、计量单位、许多物体组成的整体，但无法沟通彼此之间的联系，没能在数学语言转换中抽象出它们的共同特征。

（4）关联结构。学生能沟通数学信息之间的联系并解决问题，正确说出分数及其含义，知道这些分数是把一个物体、一个计量单位或一些物体组成的整体平均分的结果，知道分数与平均分的对象无关，只与平均分的份数和表示的份数有关。学生把图表语言转换为符号语言——分数和单位“1”，是根据已有信息进行抽象概括的结果，但没能归纳分数意义。

（5）抽象拓展结构。学生能理解知识的本质，对所有图形抽象、归纳和演绎，具有较高层次的学习能力和创新意识。学生用分数表示涂色部分、说出每个分数的含义后，先抽象、认识单位“1”，再概括分数意义——把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份就是分数。学生把图表语言抽象、转换为符号语言“1”，再转换为文字语言，概括出分数的意义，体验分数的实质是先分后数的数，学生通过转换认识到平均分的对象是单位“1”，实现了对分数的一般认识。

3.用SOLO理论评价符号语言的转换

符号语言是“人工创造的、用来表达思维观念的一种语言，包括字母、数字、逻辑符号、运算符号和图形符号等”[5]。符号语言表达的数学公式、运算程序、运算定律和运算法则等都非常简洁、凝练和抽象。这种抽象性和简洁性常使学生难以理解。因此，对符号语言表达的数学信息，学生有时要适当转换才能较好地表现知识的外延和内涵，从而理解符号语言的具体含义。恰当应用SOLO理论评价学生的符号语言转换水平，有助于教师了解学生对符号语言的理解能力，正确认识学生的抽象思维水平。

【案例3】用竖式计算14×12，并编故事说明每一步表示的意思。

学习两位数乘两位数14×12竖式计算时，学生先要认真阅读，弄清符号语言的含义和题目的要求，再在符号语言转换中探究计算法则、理解计算道理。按照SOLO理论，学生转换符号语言的结构层次如下。

（1）前结构。学生的思路紊乱，计算比较随意，如把个位乘个位的积写在个位，十位乘十位的积写在十位（如图2），说明学生不理解乘法运算程序，无法把符号语言（横式）正确转换为新的符号语言（竖式）。

（2）单点结构。学生能正确编故事，如同学们进行体操表演，站成12行，每行14人。求表演队伍一共有多少人。学生可以先算2行（3行、4行或6行）的人数，再算6个2行（4个3行、3个4行或2个6行）的人数，即14×2×6（14×3×4、14×4×3或14×6×2）的人数。这种把符号语言转换为新的符号语言的方法，思路单一、本质相同，都是把两位数乘两位数（新知）转化为两位数乘一位数（旧知）。

（3）多点结构。学生能根据题目中的数学信息发现不同解决问题的思路：不但会用单点结构中的方法解答，而且会先算2行人数（如图3），再算10行人数，最后算总人数，即14×2=28，14×10=140，140+28=168。学生画图分析问题是先把符号语言转换为图表语言，再把图表语言转换为符号语言。转换过程说明学生能用乘法分配律先算2个14，再算10个14，最后求12个14，但没能与竖式联系起来。

（4）关联结构。学生不但能画图分析问题和解决问题，而且能沟通横式与竖式之间的联系，并把横式运算过程用竖式记录下来（如图4）。无论横式还是竖式，都是把符号语言转换为新的符号语言，说明学生已经理解先算2行人数、再算10行人数，最后算12行人数的方法。

（5）抽象拓展结构。学生能把握问题实质，会用更一般的方法解决问题，并形成清晰的逻辑体系。学生能正确列出不同竖式计算14×12，并掌握竖式的简洁书写方法与算理，理解位值制（如图5）。符号语言（横式）转换为新的符号语言（竖式），学生不但能从中抽象出两位数乘两位数的一般算法，而且为后续解决两、三位数乘两位数的乘法计算奠定了基础。

二、基于SOLO理論的数学语言转换评价反思

数学语言转换情况是学生思维水平的具体体现，SOLO评价可以帮助学生准确了解自己的思维层次，有助于学生提升学业水平、促进思维进阶、实现学科发展。

1.SOLO评价能提升学生学业水平

数学学业水平是学生完成学习任务后的学业质量表现，是学生达成学习目标的实际反映。数学语言转换情况是小学生学业水平的一种外化体现。教师对学生的数学语言转换情况用SOLO理论进行恰当评价，有助于学生明确自己的学业水平现状，发现自己的成功或不足之处，从而有针对性地查漏补缺，以便今后能用最短时间、最优方案解决类似问题，使自己的学业水平不断有更多、更快的提升。

2.SOLO评价能促进学生思维进阶

学生根据评价结果，正确认识自己的思维层次，就会在教师的引导下和教师、同学或自己进行对话，并在对话中学会反思和合作。前结构水平的学生不理解题意时，可以在教师引导或同学讲解下学会分析已知条件、问题或解题思路，也可以由思维水平高的同学补充分析;单点结构水平的学生思维单一时，可以根据评价结果尝试用不同方法解决问题，使自己的思考更深刻、更全面……这样，学生的思维水平就会通过SOLO评价逐渐由粗糙到精确、由浅显到深刻、由特殊到一般地实现思维的不断进阶。

3.SOLO评价能帮助学生学科发展

如果教师能根据学生的客观差异用SOLO理论评价学生的数学语言转换水平，就会鼓励部分学生熟练转换、允许部分学生只会简单转换甚至不会转换，学生就会“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”[6]，课堂就会慢慢形成一种优秀文化，学生在这种课堂文化的熏陶下，正确地评价自我，养成虚心向他人学习、热情帮助同伴的和谐互助的学习共同体;就会在数学语言转换中逐渐养成独立思考、大胆质疑和勇于创新的习惯，对知识的理解更深刻、思维更严谨、表达更准确。

参考文献

[1] 郭胜光.论三种数学语言转换能力的培养[J].中学数学研究，2011（07）：7-9.

[2] 比格斯，科利斯.学习质量评价：SOLO分类理论（可观察的学习成果结构）[M].高凌飚，张洪岩，译.北京：人民教育出版社，2010：29.

[3][4][5] 卢清荣.数学语言转换与小学数学教学[M].南京：河海大学出版社，2019：9.

[6] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012：2.

[责任编辑：陈国庆]