分光计调整对三棱镜顶角和最小偏向角测量的影响

李心婧，宋新兵

(北京理工大学 物理学院，北京 100081 )

分光计是常见的光学仪器，可以用于测量介质的折射率、光栅常量、光谱线波长等[1-6].分光计测量三棱镜的折射率是大学物理实验中光学部分的重要实验[7,8].在分光计的调整过程中，需要保证载物台主轴和望远镜、平行光管主轴垂直，以得到精确的测量结果[9,10].在测量三棱镜折射率实验中，若载物台主轴和望远镜、平行光管主轴不是严格垂直，将对三棱镜顶角和最小偏向角的测量产生影响，这个影响的大小是值得探讨的.

本文将从理论和实验两方面，探讨三棱镜顶棱“抬头”或“低头”时，三棱镜顶角和最小偏向角的测量值随三棱镜倾斜程度的变化.理论上，我们利用几何光学反射折射定律[11]，对测量过程进行分析和计算，从而得到顶角和最小偏向角随三棱镜倾斜程度的变化.实验上，我们利用两种方法对载物台的倾斜程度进行了标定，对顶角和最小偏向角随三棱镜倾斜程度的变化进行实际测量.

1 准直光路

分光计的望远镜一般采用自准望远镜，由物镜、分划板和目镜等组成.准直光路如图1(a)所示，分划板上的绿色十字光源发出光束，经物镜聚焦的光束在平面镜上发生反射，反射后再经物镜和目镜，形成绿十字像.当平面镜与望远镜主轴垂直时，绿十字像的横线与分划板的上方水平刻线重合.图1(b)显示了此时(标准状况)视场中分划板上十字光源和反射的绿十字像的位置.

(a) 标准情况下的光路 (b) 绿十字像图1 标准情况下的光路和绿十字像

当望远镜与平面镜平面不垂直时，反射光路会偏离标准准直光路，绿十字像的位置也会发生移动，离开分划板的上方水平刻线.比如，平面镜向望远镜“低头”，如图2(a)所示.光束经平面镜反射后低于标准准直光路的反射光束，因而反射像的位置低于分划板上方的水平刻线.图2(b)展示了分划板上十字光源的位置和平面镜“低头”时绿十字像的位置.若平面镜不断“低头”，幅度超过一定限度，以至于反射光线未透过物镜，此时我们将无法在视野中观察到绿十字像.

(a) 平面镜“低头”时的光路 (b) 绿十字像图2 平面镜向望远镜“低头”时的光路和绿十字像

同样的，当平面镜向望远镜“抬头”时，如图3(a)所示，光束经平面镜反射后高于标准情况的反射光束，反射绿十字像的位置高于分划板上方的水平刻线.图3(b)展示了分划板上十字光源的位置和平面镜“抬头”时绿十字像的位置.若平面镜不断“抬头”，幅度超过一定限度，以至于反射光线高于望远镜筒，此时我们在视野中将无法观测到绿十字像.

(a) 平面镜“抬头”时的光路 (b) 绿十字像图3 平面镜向望远镜“抬头”时的光路和绿十字像

实验中用于准直的平面镜是双面的，当平面镜平面严格垂直于光路所在平面时，若其一面向望远镜“低头”，另一面必定向望远镜“抬头”.此时可能观测到的情况有：平面镜的正反两面反射的绿十字像都能通过望远镜被观察到；只有一面反射的绿十字像能被观察到；两面都观察不到绿十字像.实验上，我们在望远镜能观察到至少一面反射来的绿十字像的情况下，以绿十字像在分划板上的位置来描述平面镜的倾斜程度.

2 对顶角测量的影响

2.1 理论分析

首先讨论平面镜和光路严格垂直的情况，采用反射法对顶角进行测量.图4(a)是测量原理的俯视图.从三棱镜顶角方向入射一束平行光线，经三棱镜两侧面反射后的两束反射光线夹角设为θ，由几何关系得θ=2α，α是三棱镜顶角的大小.

(a) 顶角测量的载物台俯视图 (b) 顶角测量光路图图4 顶角测量原理图

考虑更一般的情况，三棱镜顶点向平行光管“抬头”或“低头”，如图4(b)所示.置三棱镜于xyz坐标系中，使yOz平面是三棱镜顶角平分面.令三棱镜发生俯仰，设三棱镜顶棱与z轴夹角为γ，顶棱的方向向量OA=(0, sinγ, cosγ)，则三棱镜两侧面的法向量n1，n2可以写成

(1)

从顶角方向入射一光束k=(kx,ky,kz)，经棱镜两侧面反射后反射光线记为k1与k2，由反射定律得

(2)

(3)

其中，〈p,q〉表示向量p和向量q的夹角.

根据式(1)～(3)，可以求出两反射光线的方向向量为

对三棱镜顶角的测量，本质上是对构成顶角的两个面所反射的光在xOy平面上投影的夹角进行测量.k1与k2在xOy平面上投影记为k′1与k′2

(5)

因此，三棱镜“抬头”时，其两侧的反射光线在xOy平面上投影的夹角为

(6)

按照标准状况下的计算方法，即顶角是所测反射光线夹角的一半，得到顶角形式为

(7)

当三棱镜顶棱和平行光管主轴不互相垂直时，按式(7)计算所得的顶角是按照实验步骤测量的顶角数值，而不是顶角的真实大小，测量的偏差由此产生.

2.2 实验测量结果

我们可以用绿十字像的位置来标定载物台的倾斜程度.若平面镜平面和入射光束所在竖直平面(yOz)互相垂直，当绿色十字光源在平面镜一面的反射像唯一确定时，平面镜另一面的反射像位置将随之确定.实验上，我们用绿十字像中心在分划板上的位置来标定载物台主轴的倾斜程度.

如图5所示，图中圆点表示目镜视野中绿十字像中心的位置.实验上，自上而下测量的15个位置对应的绿十字中心等间距地分布在分划板上，对应着载物台的15种倾斜情况，每相邻两个测量位置间的载物台倾角为5′，其总体倾角为1.17°.在这些情况下测量的三棱镜顶角大小显示在图6中.

可以看出，测量的顶角大小在回归均值上下浮动，且回归均值始终在测量误差范围内.即当测量三棱镜的顶角时，在视野中可以看见绿十字像的情况下，载物台主轴偏离标准情况引起的测量偏差小于测量本身的误差.

图5 绿十字像中心位置示意图

图6 顶角测量值随载物台俯仰的变化关系

使载物台继续倾斜，直到平面镜正反两面反射的绿十字像都无法被观测到，此时我们借用外部激光来标记载物台的倾斜程度.如图7所示，由氦氖激光器发射激光，经平面镜反射后，用刻度尺测量入射和反射激光的高度差，由此测量载物台的倾斜角度.

(a) 测量装置俯视图 (b) 测量装置正视图图7 载物台倾角测量装置示意图

图8显示了三棱镜顶角测量值随载物台倾斜的关系.空心圆圈表示实验测量结果，实线表示拟合结果.可以看出，随着三棱镜不断“低头”，即顶棱偏离z轴的角度不断变大，三棱镜的顶角测量值逐渐变小，偏离标准情况最大为6.6′.在参照文献[12]中，表2给出JJY-1型分光计合成不确定度为1.9′.本实验中，当γ=1.35°时，顶角测量值偏离标准情况1.9′.在此范围内，因载物台倾斜引起的误差小于测量本身的误差.

图8 顶角测量值与载物台倾角关系

3 对最小偏向角测量的影响

3.1 理论分析

三棱镜顶棱严格垂直于平行光管主轴时，光线k照向三棱镜侧面时发生折射，折射到棱镜介质中的光线k′ 将继续传播到三棱镜的另一侧面，并再次发生折射到达空气中(出射光线记为k″)，最终折射后的狭缝像可以通过旋转望远镜找到.旋转载物台，望远镜中的狭缝像也会随之移动，当望远镜中的狭缝像移动到尽头，并有向反方向移动的趋势时，此刻，出射光线与入射光线所成的角是最小偏向角，记为δ，如图9(a)所示.

考虑更一般的情况，即三棱镜顶棱“抬头”或“低头”.置三棱镜于图9(b)所示的直角坐标系中，并令yOz平面平分三棱镜的顶角.三棱镜顶棱与z轴夹角为γ.三棱镜两侧面法线向量由式(1) 给出.当三棱镜有俯仰角时，按照通常的测量步骤，对三棱镜折射最小偏向角的测量，本质上是在〈k′,k″〉达到极值时，测量出折射光线k″和入射光线k′在xOy平面上投影之间的夹角.

由菲涅尔定律，光在介质表面发生折射，有

(8)

(9)

其中，n21是三棱镜介质相对于空气的折射率.出于实验简便，令入射光线k平行于xOy平面，故k=(kx,ky,0)，由式(8)和(9)可以确定折射后光线的方向向量k″.其在xOy平面上的投影我们记为k3，这样我们测量的最小偏向角可以表示为：

(10)

(a) 标准况俯视图 (b) 三棱镜发生俯仰图9 折射光路图

3.2 实验测量与结果

实验上我们测量汞灯被三棱镜分光后，各单色光的最小偏向角.分光原理是不同波长的光在同一介质中折射率不同，而导致最小偏向角不同.实验上我们测量的主要谱线如表1所示.选用的三棱镜(边长为39.5 mm、高为40.0 mm)材料为重火石玻璃(ZF1).

表1 低压汞灯谱线

与测量顶角类似，当载物台偏离标准位置不太大时，可以看见双面镜至少一面反射的绿十字像，我们采用图5的标定方式，测量五种波长的光在不同标定位置的最小偏向角大小.

图10显示了5条谱线最小偏向角随载物台俯仰的关系.从图中可以看出，测量结果与标准情况(对应第5个点位置情况)下的结果偏离不大. 在视野中可以看见绿十字像的情况下，载物台主轴偏离标准情况引起的测量偏差小于测量本身的误差.

图10 最小偏向角测量值随载物台俯仰的变化关系

图11 最小偏向角随三棱镜顶棱倾斜变化关系图

当载物台倾斜角较大时，我们需要采用图7所示的方案来标定三棱镜的倾斜程度.图11显示了最小偏向角随三棱镜顶棱倾角γ的变化关系.图中各种离散点是实验结果，实线是拟合结果.可以看出，随着载物台逐渐偏离标准情况，测得的最小偏向角逐渐变小.载物台俯仰小于1.40°时，因载物台偏离标准情况而引起的测量结果最大偏差值小于文献[12]给出的合成不确定度值.在我们的测量范围内，最小偏向角测量值的最大偏移量不超过10′.

4 结语

本文从理论和实验两方面研究了三棱镜的俯仰对顶角和最小偏向角测量的影响.我们发现，在视野中可以观察到绿十字像的情况下，由于三棱镜的俯仰角度较小，其引起的顶角和最小偏向角的测量偏差小于系统的测量误差.进一步的结果显示，测量三棱镜顶角时，三棱镜俯仰在±1.35°的范围内，其俯仰引起的测量偏差小于测量本身的误差.在测量最小偏向角时，三棱镜俯仰在±1.40°的范围内，由其引起的测量偏差小于测量本身的误差.在整个测量范围内，三棱镜的俯仰对顶角和最小偏向角测量结果的影响小于10′.

本实验研究锻炼了学生设计实验方案和动手能力，提升了学生运用Matlab等软件的水平.同时也希望本文的研究结果能够加深人们对分光计装置的理解，为折射率测量实验课程教学提供参考.