数形结合与绝对值最值问题的整合及应用
2021-08-17林伟燕
林伟燕
[摘 要]绝对值最值问题是需要学生结合绝对值的几何意义和代数意义进行运算、推理、迁移的一种题型.纵观近年来各省市的数学中考试题，绝对值最值问题日渐成为新亮点.解绝对值问题要从绝对值的几何意义与代数意义两方面去寻找着力点，重点是掌握求几个绝对值之和的最小值的方法.文章立足绝对值的代数意义与几何意义通过数形结合解决绝对值最值问题，以培养学生的创新思维，提高学生分析问题和解决问题的能力.
[关键词]绝对值;最值问题;数形给合
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2021）20-0029-03
数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学.当解决数学问题时，通常会将抽象的数学问题与直观的图形结合起来.纵观近年来各省市的数学中考试题，绝对值最值问题日渐成为新亮点.基于此，教师可引导学生通过数形结合理解绝对值的代数意义和几何意义，从而破解绝对值最值问题难点，有效掌握数形结合、分类讨论、建模、转化等数学思想.本文通过实例探究来分析数形结合与绝对值最值问题的整合及应用.
绝对值之和求最小值分两类：
1.未知数[x]系数为1，形如[x+2+x-1];
2.未知数[x]系数不为1，形如[x+2+2x-1].
探究一 未知数x系数为1 的情况
1.求[x+2+x+1]的最小值
解法一：利用绝对值的代数意义.
当[x≥0]时，[x=x];当[x<0]时，[x=-x].
当[x<-2]时，[x+2+x+1=-x-2-x-1=-2x-3>1]（如图1）;
图1
当[-2≤x<-1]时，[x+2+x+1=x+2-x-1=1]（如图2）;
图2
当[x≥-1]时，[x+2+x+1= x+2+x+1=2x+3≥1]（如图3）;
图3
∴[x+2+x+1≥1]，即[x+2+x+1]的最小值为1.
解法二：[x+2+x+1]的几何意义是在数轴上找一点x，使它到-2和-1的距离之和最小.
图4
由图4可知，根据“两点之间，线段最短”，当[-2≤x≤-1]时，[x]到-2和-1的距离之和最短，即[x+2+x+1]有最小值，最小值为1.
2.求[x+2+x+1+x-1]的最小值
解法一：
当[x<-2]时，[x+2+x+1+x-1=-x-2-x-1-x+1=-3x-2>4]（如图5）;
图5
当[-2≤x<-1]时，[x+2+x+1+x-1=x+2-x-1-x+1=-x+2]，∴[3<-x+2≤4]（如图6）;
图6
当[-1≤x<1]时，[x+2+x+1+x-1=x+2+x+1-x+1=x+4]，∴[3≤x+4<5]（如图7）;
图7
当[x≥1]时，[x+2+x+1+x-1=x+2+x+1+x-1=3x+2≥5]（如图8）;
图8
∴[x+2+x+1+x-1≥3]， 当[x=-1]时，有最小值3.
解法二：[x+2+x+1+x-1]的几何意义是在数轴上找到一点[x]，使它到-2，-1和1三个点的距离之和最小.
图9
由图9可知，根据“两点之间，线段最短”，当[-2≤x≤1]时， [x]到-2和1的距离之和最短（即[x+2+x-1]有最小值3）;当[x=-1]时，x到-1的距离最短（即[x+1]有最小值0），所以当[x=-1]时，[x+2+x+1+x-1]有最小值，最小值为3.
3.求[x+2+x+1+x-1+x-2]的最小值
解法一：利用绝对值的代数意义求解.
定义：使得[ax+b=0]的变量[x]的值为[ax+b]的 “零点”，即[ax+b]的零点为[-ba].
[x-2]的零点为2.
[x+1]的零点为-1.
[x+2]、[x+1]、[x-1]、[x-2]的零点分别是[-2]，[-1]，1，2，
（1）当[x<-2]时，[x+2+x+1+x-1+x-2=-x-2-x-1-x+1-x+2=-4x]，
∵[x<-2]，∴[-4x>8]，即原式[>8].
（2）当[-2≤x<-1]时，[x+2+x+1+x-1+x-2=x+2-x-1-x+1-x+2=-2x+4].
∵[-2≤x<-1]，∴[6<-2x+4≤8]，即 [6<]原式[≤8].
（3）当[-1≤x<1]时，[x+2+x+1+x-1+x-2=x+2+x+1-x+1-x+2=6].
（4）当[1≤x<2]时，[x+2+x+1+x-1+x-2=x+2+x+1+x-1-x+2=2x+4].
∵[1≤x<2]，∴[6≤2x+4<8]，即[6<]原式[≤8].
（5）当[2≤x]时，[x+2+x+1+x-1+x-2=x+2+x+1+x-1+x-2=4x]，
∵[2≤x]，∴[8≤4x]，即原式[≥8].
∴[x+2+x+1+x-1+x-2≥6]，当[-1≤x≤1]时，有最小值6.
解法二：利用绝对值的几何意义求解.
[x+2+x+1+x-1+x-2]的几何意义是在数轴上找到一点[x]，使它到-2，-1，1和2四个点的距离之和最小.
图10
由图10可知，根据“两点之间，线段最短”，当[-2≤x≤2]时， [x]到-2和2的距离之和最短（即[x+2+x+2]有最小值4）;当[-1≤x≤1]时，[x]到-1和1的距离之和最短（即[x+1+x-1]有最小值2），所以当[-1≤x≤1]时，[x+2+x+1+x-1+x-2]有最小值，最小值为6.
4.求[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3]的最小值
解法一：[x+2]、[x+1]、[x-1]、[x-2]、[x-3]的零点分别为[-2]， [-1]， [1]， [2]， [3].
（1）当[x<-2]时，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=-x-2-x-1-x+1-x+2-x+3=-5x+3]，
∵[x<-2]，∴[-5x+3>13]，即原式[>13].
（2）当[-2≤x<-1]时，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2-x-1-x+1-x+2-x+3=-3x+7]，
∵[-2≤x<-1]，∴[10<-3x+7≤13]，即[10<]原式[≤13].
（3）当[-1≤x<1]时，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2+x+1-x+1-x+2-x+3=-x+9]，
∵[-1≤x<1]，∴[8<-x+9≤10]，即[8<]原式[≤10].
（4）当[1≤x<2]时，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2+x+1+x-1-x+2-x+3=x+7]，
∵[1≤x<2]，∴[8≤x+7<9]，即[8≤]原式[<9].
（5）当[2≤x<3]时，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2+x+1+x-1+x-2-x+3=3x+3]，
∵[2≤x<3]，∴[9≤3x+3<12]，即[9≤]原式[<12].
（6）当[3≤x]时，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=5x-3]，
∵[3≤x]，∴[12≤5x-3]，即原式[≥12].
∴[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3≥8]，当[x=1]时，有最小值8.
解法二：利用绝对值的几何意义求解.
[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3]的几何意义是在数轴上找到一点[x]，使它到-2，-1，1，2和3五个点的距离之和最小.
图11
由图11可知，根据“两点之间，线段最短”，当[-2≤x≤3]时， [x]到-2和3的距离之和最短（即[x+2+x-3]有最小值5）;当[-1≤x≤2]时，[x]到-1和2的距离之和最短（即[x+1+x-2]有最小值3）;当[x=1]时，[x]到1的距离最短（即[x-1]有最小值0），所以当[x=1]时，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3]有最小值，最小值为8.
总结规律：
1.代数解法——零点分段法
思路：①找出绝对值的所有零点，把数轴分成若干部分进行分类讨论.
②根据绝对值的代数意义，把所有的绝对值号去掉并化简.
③根据所讨论的x的范围，求出化简后的式子的范围.
④综合所有情况，得到原式的范围，从而得出其最值.
（注意：求零点值时，必须先把零点值按大小排序）
2.几何解法——数形结合法
[x-a1+x-a2+x-a3+…+x-an-1+x-an]的最小值（[a1≤a2≤a3≤…≤an]）.
当n为奇数时，[x=an+12]处取最小值，即在n个点的中心点处;
当[n]为偶数时，在区域[an2≤x≤an2+1]处取最小值，即数轴被n个点分成n+1段的中心区域.
口诀：奇数点取中间点，偶数点取中间段.
（零点值按大小顺序排序，处于最中间的零点值或区域即为代数式的值取最小值.）
探究二 未知数x系数不为1 的情况
遇到形如[x-2+2x-1+x+2] 的情况，又将如何求解？
对于代数式[b1x-a1+b2x-a2+b3x-a3+…+bn-1x-an-1+bnx-an]的最值问题，我们先将代数式转化为一般形式：[x-a1+x-a2+x-a3+…+x-an-1+x-an]（[a1≤a2≤a3≤…≤an]），然后通过上述方法求解.
如[x-2+2x-1=x-2+2x-12=x-2+x-12+x-12=x-12+x-12+x-2]，当[x=12]时，[x-2+2x-1]有最小值[32].
解绝对值的最值问题要从绝对值的几何意义与代数意义两方面去寻找着力点，重点是掌握求几个绝对值之和的最小值的方法.绝对值几何意义的导出是难点，在课堂上教师要留给学生充足的思考时间，以暴露学生的知识缺陷，通过问题引导学生联想、猜想，拓宽学生的知識面，加深学生对知识的理解，培养学生的创新意识和发散性思维。教师在教学中要教给学生探索性方法，使学生了解知识的形成过程，并掌握更多的数学思想与方法，做到形数兼备、数形结合.这样，课堂上往往能取得意想不到的效果.
（责任编辑 黄春香）
