例析二次函数最值问题的解法

赵莹莹

【摘要】 初中二次函数为中考数学中的重要考点，更是初中高中数学知识的衔接点，二次函数常以综合性的压轴题目出现，而二次函数的最值问题又是重要的考试热点之一，同时二次函数的最值问题也是初中阶段的数学学习中的一个重点和难点，为了提升学生解决这种类型问题的数学思维和解题技巧，本文从二次函数利润最大、线段的最值问题和二次函数面积最大这三个问题出发，试图归纳该类问题的解题思路、方法与技巧，供中考备考的师生们作为参考，基于此本文展开对二次函数最值问题的探讨。

【关键词】 二次函数 最值问题 待定系数法

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2017）03-168-01

一、“二次函数利润最大”问题

例1.[2015·滨州]一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件，为提高利益，就对该T恤进行涨价销售，经过调查发现，每涨价1元，每周要少卖出10件，请确定该T恤涨价后每周销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大。

分析：用每件的利润乘以销售量即可得到每周销售利润，即

y=（x-40）[300-10（x-60）]=-10（x-65）2+6250

∵x-60≥0且300-10（x-60）≥0，

∴60≤x≤90，

即当x=65时，y的值最大。

本题是利用二次函数解决利润问题，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题。解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，通过配方成顶点式，利用函数的性质，然后求出最大值。在实际问题中要特别注意自变量的取值要保证实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量的取值范围。

二、“二次函数线段最短”问题

例2.（2013广东，23）已知二次函数y=x2-2mx+m2-1，

（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；

（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；

（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由。

分析：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），代入二次函数得：m2-1=0∴m=±1，

∴二次函数的解析式为：y=x2-2x或y=x2+2x

（2）依题意可得：

∵m=2

∴y=x2-4x+3=（x-2）2-1

则二次函数的顶点为D（2，-1），C点坐标为（0，3）

（3）存在；理由如下：通过数形结合，由图可根据“两点之间线段最短”知，当点P是直线CD与x轴的交点时，

PC+PD最短，设直线CD的解析式为y=kx+b则有

本题为二次函数与平面几何的综合题，也是中考数学常见的题型，在题（1）

中要确定二次函数的解析式，需要构造关于待定系数m的方程；题（2）需要用配方法求出顶点坐标，题（3）考察的主要是两点之间，线段最短的应用。

三、“二次函数面积最值”问题

例3.[2015，安顺]如图，抛物线y=ax2+bx+与直线AB交于点A（-1，0），B（4，52），点D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大时的点C的坐标。

（1）由题意得

从近几年各地中考试卷来看，求解面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数结合，使得题目具有一定的难度.其中“铅垂高，水平宽”就是常用的求解面积最大值的方法（即是三角形的面积等于水平宽与铅锤高乘积的一半），通过归纳解题方法，可以使得我们摆脱题海战术，提高学生的解题能力。同时，善于总结题目的解决方法能够加快解题速度，提升效率，达到事半功倍的效果，同时也有利于培养学生的钻研能力和创新能力。

二次函数的最值问题一直是初中阶段试题中的常见综合题型，这类题型不仅包含的知识点多，而且融合了一些动态探索性的问题，它集平面几何、函数及方程等相关知识于一身，题型的灵活性强、难度较大，要求学生需要必备一定的解题经验，在灵活运用基础知识的同时充分发挥和运用各种数学技能去分析和解决问题。

[ 参 考 文 献 ]

[1]于石.关于二次函数实际应用的研究[J].2015（05）.

[2]刘元春.淺谈二次函数的常见题型[J].2009（29）.

[3]杨芸.二次函数最值的应用.2005（03）.